數(shù)學(理)二輪復習通用講義：專題二第三講專題提能——優(yōu)化思路上高全面清障把漏補

1、第三講專題提能一一優(yōu)化思路上高度，全面清障把漏補、易錯易誤層面一一防止思維定式，實現(xiàn)“移花接木”01因忽視公比q的討論而失誤例1已知數(shù)列an的前n項和Sn=Aqn+B(qw0),則“A=B”是“數(shù)列an是等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析當八=B時，Sn=Aqn-A,則an=Aqn1(q1),當q=1或A=0時，an=0,此時數(shù)列an不是等比數(shù)列.若數(shù)列an是等比數(shù)列，當q=1時，Sn=nai,此時不具備Sn=Aqn+B(qw0)的形式，n故qwl,則Sn=-=qn,此時A=-,B=,A=B.1q1q1q1q1q綜上，“A=B”是“數(shù)列

2、an是等比數(shù)列”的必要不充分條件.答案Bna1(q=1微評(1)等比數(shù)列an的前n項和公式Sn=ia1(1-qn特別注意q=1時，1-q311Sn=na1這一特殊情況.(2)計算過程中，若出現(xiàn)方程qn=t,要看qn中的n是奇數(shù)還是偶數(shù)，若n是奇數(shù)，則q=版；若n是偶數(shù)，則t>0時，q=±n/t,t<0時，無解.tsiI因忘記an與Sn關系而解題受阻例2已知數(shù)列an的前n項和為Sn,即=1,當n>2時，2Sn=(n+1)an-2.(1)求a2,a3和通項an；(2)設數(shù)列bn滿足bn=an2nT,求bn的前n項和Tn.解(1)當n=2時,2s2=2(1+a2)=3a2

3、2,則a2=4,當n=3時，2s3=2(1+4+a&=4a32,則a3=6,當n>2時，2Sn=(n+1)an-2,當n>3時，2Sn1=nan1-2,所以當n>3時，2(SnSn1)=(n+1)annan1=2an,即2an=(n+1)annan1,anan-1整理可得(n1)an=nan-1,所以£=,nn-1因為*>2,所以an=an- 1n 1a3 a2 - §=a=2.因此，當n>2時，an=2n,而a1=1,故an=、2n (n > 21(n=1)(2)由(1)可知bn=Sn2n(n>2所以當n=1時，T1=b1

4、=1,當n>2時，Tn=bi+b2+b3+bn,則Tn=1+2X22+3X23+(n-1)X2n1+nx2n,2Tn=2+2X23+3X24+(n-1)X2n+nX2n1,作差得Tn=18(23+24+2n)+nX2n+1=(n1)X2n+1+1,易知當n=1時，也滿足上式，故Tn=（n1）X2n+1+1（n制*）.微評數(shù)列an中，由Sn與an的等量關系式求an時，先利用ai=Si求出首項ai,然后用n-1替換等量關系式中的n,得到一個新的等量關系式，再利用an=Sn-Sn1（n>2）便可求出當n>2時an的表達式，最后對n=1時的結果進行檢驗，看是否符合n>2時an的

5、表達式，若符合，則可以把數(shù)列an的通項合寫，若不符合，則應該分n=1與n>2兩段來寫.*_而 an an 1= d(n>2)f an+1-an= d(nC N )等價,anan- 1=q(n>2)f-1 =q(nC N*)等價, an不需驗證n=1的情形.回1用裂項相消法求和時因漏項或添項而失分例3(2018山東師大附中模擬)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，首項a1=1,公比q>0,其前n項和為Sn,且&+即，S3+a3,S2+a2成等差數(shù)列，=2喝an+1.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求數(shù)列'&bn二的前n項和Tn.解(1)由題意知 2(S3+

6、a3)= S1 + a1 + S2+ a2,所以2(a1 + a2+ a3)+ 2a3 = a1 + a1 + (a1 + a2)+ a2，所以21ai = 4a3=4aiq ,斛得 q=2.所以ian= 1 X g r 1(2)bn=2log1 an+ 1 = 2log 1+1 = 2n1,221所以bnbn+1 (2n1j2n + 1)212n1 2n+1所以數(shù)列bnbn + 1向前n項和為Tn= 112J-3+3-5+1= 一12n+1 : 2工11-2n+ 12n+1微評(1)利用裂項相消法求和的實質是將數(shù)列的通項寫成兩個式子的代數(shù)之差的形2n和.用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂

7、項，如式，然后累加，抵消掉中間的許多項.此法適用于通項是分數(shù)且分母為積的形式的數(shù)列求-9»An(n+1)nn+1(21)2+1)2n12n+1-1(2)應用裂項相消法求和時，將通項裂項后需要調(diào)整前面的系數(shù)，使得裂開的兩項之差與裂項之前的通項恒等，同時注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項.二、技巧優(yōu)化層面靈活運用策略，嘗試“借石攻上”累加法求an+1一an= f(n)型通項問題例1已知數(shù)列an滿足a1=2,an-an1=n(n>2,nN),則an=.解析由題意可知，a2a1=2,a3a2=3,，anan1=n(n>2),以上式子累加得，anai=2+3+n.因為ai=2

8、,所以an=2+(2+3+n)42,=2 +(n>2).因為ai = 2滿足上式，所以2n2+ n+ 2an=21(n1-(2+n)n+n+2微評已知形如an+i=an+f(n)的遞推關系式，常令n分別為1,2,3,，n-1,把所得的n1個等式相加，即利用an=ai+(a2ai)+(a3a2)+(anani),求出通項公式a«+atsi累乘法求f(n)型通項問題an例2已知在數(shù)列an中,an+1=言an(nCN*),且a1=4,則數(shù)列an的通項公式annan+10故數(shù)列jan + 3 I是首項為W，公比為4的等比數(shù)列.所以an+巨笑4n，n解析由an+1=+2an,得an=+2

9、，故.1 a1 3a3 2a2 4anan - 1以上式子累乘得,an1 2 _a13 4n 3 n 2 n 12 - .n 1 n n+ 1n(n+ 1)因為a1 = 4滿足上式，所以8an=.n n+ 1答案8n n+ 1微評已知形如an"=f(n)的遞推關系式，常令n分別為1,2,3,，n-1,把所得的an1個等式相乘,即利用Mat./，求出通項公式an.構造法求an+1pan+q或an+1pan型通項問題例3(1)(2018河北省衡水中學模擬)數(shù)列an滿足ai=2,an+i=an(an>0,nCN*),則an=()A.10n1故數(shù)列an的通項公式為an=x 4n-1 ：

10、.3答案(1)D (2)*41113微評(1)求解遞推公式為 an + 1=pan(p, an>0)型的數(shù)列an的通項公式的關鍵：一是對已知等式兩邊取對數(shù)；二是利用待定系數(shù)法構造數(shù)列，并活用等比數(shù)列的定義，即可利用等比數(shù)列的通項公式，求出所構造數(shù)列的通項公式，從而得數(shù)列an的通項公式.(2)求解遞推公式為 an+ 1=pan+q(pwQ qw 1刑的數(shù)列an的通項公式的關鍵：一是利用待定系數(shù)法構造 an+1 + m=p(an+m);二是活用定義，即利用等比數(shù)列的定義，判斷出數(shù)列an+m為等比數(shù)列；三是利用等比數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列an+ m的通項公式，從而得B.10n1C.102n1D

11、.22n1(2)(2018陜西省實驗中學模擬)已知數(shù)列an中，a1=3,且點Pn(an,an1)(nCN*)在直線4xy+1=0上，則數(shù)列an的通項公式an=.解析(1)因為數(shù)列an滿足a1=2,an+1=an(an>0,nW),所以log2an+1=210g2an,1og2an+1即nog2ar=2.又a1=2,所以log2a1=1og22=1.故數(shù)列l(wèi)og2an是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.所以log2an=2n1,即an=22n-。故選D.(2)因為點Pn(an,an+1)(na*)在直線4xy+1=0上，所以4anan+1+1=0.所以an+1+3=4,n+3j一，,110因為

12、a1=3,所以a1+-=.33到數(shù)列an的通項公式.三、數(shù)學思想層面一一系統(tǒng)學科思維，實現(xiàn)“觸類旁通”(一)方程思想一一解決數(shù)列基本量的求解問題例1設an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn,并且對于所有的正整數(shù)n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，求an的通項公式.an+2解由題意可知2-=V2Sn,整理得Sn=8(an+2)2,當n=1時，Si=(ai+2)2=ai,8解得ai=2.又an+1=Sn+1Sn,-an+1=(an+1+2一(an+2)2,88整理得(an+1+an)(an+1an4)=0.又an>0,-3n+1an4=0,-an+1an=4,即an是首項為2,公差

13、為4的等差數(shù)列，.an=4n一2.微評本例利用了方程的消元思想，通過an+1=Sn+1Sn、Sn=8(an+2)2消去Sn,找到數(shù)列中相鄰兩項的遞推關系，使問題得到解決.值得注意的是有時可借助an+1=Sn+1-Sn消去an,利用Sn+1、Sn的遞推關系解題.(二)分類討論思想一一解決數(shù)列前n項和問題例2設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和Sn>0(n=1,2,).(1)求q的取值范圍；一3(2)設bn=an+22an+1,記bn的前n項和為Tn,試比較Sn與Tn的大小.解(1)因為an是等比數(shù)列，Sn>0,可得a1=S1>0,qw0.當q=1時,Sn=na1>0；ai當

14、 qwl 時，Sn= 一nn1-q1-q1>0,即>0(n=1,2,),1-1-1q<0,上式等價于不等式組(n=1,2,)|1-qn<0,1-q>0,或5(n=1,2,)1qn>0,解式得q>1;解式，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得1<q<1.綜上，q的取值范圍是(一1,0)«0,+8).(2)由bn=an+23an+1得bn=an|q2-3q!,則其前n項和Tn=此一2q,Sn.于是TnSn=Snq2q1尸Snq+2(q2).又Sn>0且1<q<0或q>0.1,、一一一.當1<q<2或q>

15、;2時，TnSn>0,即Tn>Sn；,1當一2<q<2且qw0時，Tn-Sn<0,即Tn<Sn；1,一一一一當q=-2或q=2時，TnSn=0,即Tn=Sn.微評關于數(shù)列的分類討論一般有三個考查方向：對公差d的討論、對公比q的討論、對項數(shù)n的討論.本例中考查了對公比q的討論.(三)轉化與化歸思想一一解決遞推公式問題例3已知數(shù)列an的首項a1=1,前n項和為Sn,且Sn+1=4an+2(nCN*),求an的通項公式.解當n>2時，Sn+1=4an+2,Sn=4an1+2.兩式相減，得an+1=4an-4an1,將之變形為an+12an=2(an2an1)

16、.所以an+1-2an是公比為2的等比數(shù)列.又a1+a2=S2=4a1+2,a1=1,得a2=5,則a22ai=3.所以an+i-2an=32n1.兩邊同除以2n+1,得券-1=3,所以y思首項為a11=2,公差為3的等差數(shù)列.所以爭=1+3(n_1)=3n-1,22444所以an=(3n1)2n2.微評本例通過兩次化歸，第一次把數(shù)列化歸為等比數(shù)列，第二次把數(shù)列化歸為等差數(shù)列，隨著化歸的進行，問題降低了難度.化歸與轉化的思想中隱含著許多數(shù)學方法，如消元法、構造法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法、分組求和法等.四、創(chuàng)新發(fā)展層面一一關注臨界問題，挖掘“學科潛力”(一)定義新知型臨界問題例1若數(shù)

17、列an滿足：對任意的nCN*,只有有限個正整數(shù)m使得am<n成立，記這樣的m的個數(shù)為(an)*,則得到一個新數(shù)列(an)*,例如，若數(shù)列an是1,2,3,，n,，則數(shù)列(4)*是0,1,2,，n-1,.已知對任意的nCN*,an=n2解析因為am<5,而an= n ,所以 m=1,2,所以(a5) =2.因為(a1) = 0,(a2)= 1,(a3)= 1,(a4)= 1,(a5) =2, (a6)=2,(a7)=2, (a8)=2,(a9)=2,(a1o) =3,(a11)=3,(a12)=3,(a13)=3,(a14)=3,(a15)=3,(a16)=3,所以(a1)*)*=1

18、, (a2)*)* = 4, (a3)*)*=9, (a4)*)*= 16,猜想(an)*)*= n2.答案2 n微評本題以數(shù)列為背景，通過新定義考查學生的自學能力、創(chuàng)新能力、探究能力.(二)高等數(shù)學背景型臨界問題例2對于一切實數(shù)x,令x為不大于x的最大整數(shù)，則函數(shù) f(x)=x稱為高斯函數(shù) 或取整函數(shù).若an=fgnCN*, Sn為數(shù)列an的前n項和，則S3n=(),則(aq*=,(an)*)*A.3n22nB.3n2+1n22C. 3n22n9 2D.2 n2n解析由題意，當n=3k,n=3k+1,n=3k+2時均有an=f=g1=k,所以S3n=0+0+1+1+1,3個+2+2+2,3個

19、+(n-1(n-1廣(n-1),3個+n=1+n13213X2*（n-1）+n=2n-2n.答案A微評本題以高斯函數(shù)為背景考查數(shù)列求和問題，解決關鍵是正確理解兇的含義，考查學生對信息的理解和運用能力.專題提能訓練A組一一易錯清零練1 .（2018湖北八校聯(lián)考）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,60=1。,$30=130,則S40=（）A.-510B.400C.400或510D.30或40解析：選B等比數(shù)列an中，S10,S20S10,S30S如，$40S30成等比數(shù)列，且由題意知，S20>0,所以S10(S30S20)=(S20S10)2,即10(130S20)=(S2010)n為偶數(shù),

20、3. （2018 海淀二模）在數(shù)列an中，"an=2an-1,等比數(shù)列”的（）,解得S20=40,又(S20S10)(S40-S30)=(S30S20)2,即30(S40-130)=902,解得$40=400.2 .在數(shù)列an中，a1=1,a2=2,an+2an=1+(T)n,那么S100的值為()B. 2 600D.2 800A.2500C.2700解析：選B當n為奇數(shù)時，an+2an=0?an=1,當n為偶數(shù)時，an+2an=2?ann為奇數(shù),是 S100= 50 +(2+ 100 )X 50=2 600.n= 2,3,4,”是“ an是公比為2的A.充分不必要條件B.必要不充分

21、條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B當an=0時，也有an=2an1,n=2,3,4,，但an不是等比數(shù)列，因此充分性不成立；當an是公比為2的等比數(shù)列時，有-an-=2,n=2,3,4,，即an=2anan11, n=2,3,4,，所以必要性成立.24 .已知數(shù)列an的刖n項和為Sn=n+1,數(shù)列bn滿足bn=一工則bn=，an1解析：當n=1時，a1=s1=2,因為Sn=n2+1,Sni=(n-1)2+1(n>2),兩式相減得an=SnSn1=2n-1(n>2),所以當n>2時，an=2n1,f2(n=1)又a1=2不符合上式，所以an=$|2n-1(n&g

22、t;2因為bn=，所以an+ 12產(chǎn)1)答案：1I"2)5 .(2018安徽阜陽一中月考)已知一個等比數(shù)列an的前4項之積為上，第2,3項的和為16而，則數(shù)列an的公比q=.解析：設數(shù)列an的前4項分別為a,aq,aq2,aq3,46±46±aq=16，aq=16,則416可得s16aq+aq2=&aq(1+q戶電,所以(1+q)4=64q2,即(1+q)2=18q,2當q>0時，可得q-6q+1=0,解得q=3±2.2,當q<0時，可得q2+10q+1=0,解得q=5立6.綜上，q=3i25或q=5上班.答案：3立2或一5±

23、;2另B組一一方法技巧練1.已知正項數(shù)列an中，ai=1,且（n+2）a:（n+1）an+%an+i=0,則它的通項公式為（）A.1n+ 12B - an= n+ 1C. ann+ 2D.an= n解析：選B因為(n+2)an+1(n+1)an+anan+1=0,所以(n+2)an+1(n+1)an(an+1an+1n+1+an)=0.又an為正項數(shù)列，所以(n+2)an+1(n+1)an=0,即=,則an=ann+222 ,3 1=.故選 B.anan1a2nn1:la1=an1an2a1n+1n2. （2018鄭州質檢）已知數(shù)列an滿足a1a2a3-an=2n2(nCN*),且對任意nCN

24、*都有;1+a1a2+則實數(shù)t的取值范圍為（）+00I+OO解析:選D依題意彳導,當n>2時,a1a2a3 an an =a1a2a3an 1-2n=2n2(n1)2=22n 2(n1) 又 a1=21=221; 因此 an= 22n 1an22n 1即數(shù)列=2x_1an"為11111'12'14nJ2（1、2口-公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于1=；1京<因此實數(shù)t的取值aI'范圍是+ OOan3 .已知數(shù)列an中，ai=1,an+1=1;73（nCN）,則數(shù)列an的通項公式為解析：因為an+i=：3（nW*），所以上=導+1,設六+t=D

25、,i所以3t-1=1,解得t=2,所以1an + 1+ 2=3 12,力p1113又£+2=1+i=2所以數(shù)列1會+2是以3為首項，3為公比的等比數(shù)歹U,所以 2=3-1=n3_2，13n-1所以工=丁，所以2* 3n-1答案：an="n314 .（2018惠州調(diào)研）已知數(shù)列an中，點（an,an+1）在直線y=x+2上,且首項a1=1.（1）求數(shù)列an的通項公式；Tn（2）數(shù)列an的前n項和為Sn,等比數(shù)列bn中，b1=a1,b2=a2,數(shù)列bn的前n項和為請寫出適合條件Tn<Sn的所有n的值.解：(1)根據(jù)已知a1=1,an+1=an+2,即an+1an=2=d,

26、所以數(shù)列an是首項為1,公差為2的等差數(shù)歹U,an=a1+(n1)d=2n1.2(2)數(shù)列an的前n項和Sn=n.等比數(shù)列bn中，b1=a1=1,b2=a2=3,所以q=3,bn=3n1.1-3n3n1數(shù)列bn的前n項和Tn=.1-323n1Tn W Sn 即2wn2,又 n鄰*,所以n=1或2.C組一一創(chuàng)新應用練1.（2019屆高三襄陽四校聯(lián)考）我國古代數(shù)學名著九章算術中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：（1）構造數(shù)列1,1，1，1，1；234n（2）將數(shù)列的各項乘以n,得到一個新數(shù)列a1,a2,a3,a4,，an./ 2 nL B. 4則a1a2+a2a3+a3a4+an1

27、an=(2nA.丁4C.n n 14D.n(n+1)4解析：選C 依題意可得新數(shù)列為n, n, n,2 4 6,nxn,所以a1a2+ a2a3+ + an 1an42 n/+ +1+1-1+2 2 3n 12n-x4n 1選C.2.已知數(shù)列an的通項公式為an=log(n1)(n+2)(nN),我們把使乘積a1a2asan為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在(0,2018內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為()A.1024B.2012C.2026D.2036解析：選Ca1a2a3an=log2310g3410g45log(n+1)(n+2)=log2(n+2)=k,kZ,令0<n=2k-2<2018,

28、則2<2kW2020,1<k<10,所有“優(yōu)數(shù)”之和為(222)+(232)+10221-2911+(210-2)=18=222=2026.故選C.1 23. （2018南寧、柳州聯(lián)考）中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第五天走了（）A.48里B.24里C . 12 里D.6 里1解析：選C由題意知該人每天走的路程數(shù)構成公比為萬的等比數(shù)列，記為an,設

29、其1e"24= 12（里）,ai1前n項和為Sn,由a=378,得一11_12'=378,解得ai=192,所以a5=192X故選C.4.(2018甘肅張才一模)如圖，矩形AnBnCnDn的一邊AnBn在X軸上，另外兩個頂點Cn,Dn在函數(shù)f(X)=X+X>。)的圖象上，若點Bn的坐標為X(n,0)(n>2,nCN*),記矩形AnBnCnDn的周長為an,則a2+a3+ao=()A.208B.212C.216D.220解析：選C由題意得AnDn|=|BnCn=n+n,設點Dn的坐標為x,n+；則有X+1=n+n,得X=，=n舍去)，即An已，0!,則|AnBn|=

30、nn,所以矩形的周長為an=2(|AnBn|十|BnCn|)=2,n2,+nj=4n,則改+a3+ao=4(2+3+4+10)=216.5.(2019屆高三上海松江區(qū)聯(lián)考)在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間添加一項，使其等于兩相鄰項的和，我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴展”.已知數(shù)列1,2第一次“H擴展”后得到數(shù)列1,3,2,第二次“H擴展”后得到數(shù)列1,4,3,5,2,那么第10次“H擴展”后得到的數(shù)列的所有項的和為()A.88572B.88575C.29523D.29526解析：選B記第n次“H擴展”后得到的數(shù)列所有項的和為Hn,則H1=1+2+3=6,H2=1+3+2+4+5=15,H

31、3=15+5+7+8+7=42,從中發(fā)現(xiàn)H3H2=27=33,H2-H123n+1+3=9=32,歸納得Hn-Hn1=3n(n>2),利用累加法求和得Hn=-2，n>2,所以H10311+3=-2-=88575,故選B.a1+2a2+2n1an6. (2018河北衡水中學檢測)對于數(shù)列an,定義Hn=n為an的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列an的“優(yōu)值"Hn=2n+:記數(shù)列ankn的前n項和為Sn,若SnWS5一、一*,.對任意的nCN恒成立，則實數(shù)k的取值范圍為.n1解析：由題意知Hn =ai+2a2+2an=2n+所以a+2a2+2n1an=nx2n+1,當n>2時，a+2a2+2n2an=(n1)x2n,得：2n1an=nx2n+1(n1)X2n,解得an=2n+2,n>2,當n=1時，ai=4也滿足上式，所以數(shù)列an的通項公式為an=2n+2,且數(shù)列an為等差數(shù)列，公差為2.令bn=an-kn=(2-k)n+2,則數(shù)列bn也是等差數(shù)列,由SnWS5對任意的n制*恒成立，知2-k<0,且b5=12-5k>0,b6=14-6k<0,解得7wkw12.35答案:7 1213 5 J7. (2019屆高三江西宜春中學與新余一中聯(lián)考)設函