數(shù)形結(jié)合例題選集

1、數(shù)形結(jié)合一、在一些命題證明中得應(yīng)用舉例1、證明勾股定理：解析:上圖中，四個小三角形（陰影部分）得面積加上中間小正方形得面積等于大正方形得面積化簡后得到勾股定理。解析:在上圖中，利用正方形與小正方形面積得轉(zhuǎn)化，能更進(jìn)一步理解平方差公式 與完全平方公式得運(yùn)算過程以及公式得本質(zhì)問題。3、證明基本不等式：2、證明乘法公式（平方差與完全平方）：解析:如上圖所示，直角三角形斜邊上得中線等于斜邊得一半,長度為，根據(jù)直角三角形得相似關(guān)系，可以得到直角三角形斜邊上得高得長度為，顯然在直角三角形中斜邊上得中線得長度會大于等于高，利用這樣簡潔明了得幾何圖解，對基本不等式得理解也就更加簡單了。4、證明正（余）弦定理：

2、解析：（1）如上圖所示,;即；根據(jù)圓得性質(zhì)（等弧對等角）；綜上，得正弦定理：。(2)根據(jù)勾股定理AB2BE2AC2CE2,即c2(ccosB)2b2(accosB)2;整理可得余弦定理：;同理得出cosA、cosC得余弦定理、5、證明結(jié)論解析:如上圖所示，根據(jù)y=tanx、y=x、y=sinx在上得圖像可瞧出tanx>xsinx,、當(dāng)然，實際考試作圖不可能如此精確，那么轉(zhuǎn)化到右圖得單位圓中，當(dāng)時，角得終邊始終在第一象限內(nèi)，根據(jù)三角函數(shù)線可知，藍(lán)線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據(jù)弧長公式，即圖中黑色弧線得長度表示x,顯而易見。紅線長度弧線長度藍(lán)線長度，即tanx>x>sinx

3、,。6、證明兩角差得余弦公式：解析:如上圖所示，根據(jù)三角比得定義及單位圓得定義可知單位圓上得點得坐標(biāo)表示、左圖中，將B點旋轉(zhuǎn)至(1,0)處(右圖所示)。此時,，因為線段AB得長度沒有發(fā)生變化，即，化簡:。當(dāng)然也可以用向量得方法證明利用向量數(shù)量積定義，證明更加簡潔。如左圖，0二、在考試中得具體應(yīng)用：1、與函數(shù)得綜合運(yùn)用，主要體現(xiàn)在求零點、交點、解得個數(shù)及參數(shù)范圍等方面：例1(14奉賢)已知定義在R上得函數(shù)y=f(x)對任意x都滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)只有四個零點，則a得取值范圍就是答案：解析:根據(jù)已知條件，f(x)得周期為4,先畫f(x)一個周期圖像，當(dāng)1x<3時,，由此畫出-1,

4、3)得圖像，此為一個周期，圖像如下，只有四個零點即f(x)與y=只有四個交點，需分類討論：當(dāng)0<a<1時，有兩個界值，如下圖所示:此時3個交點代入點(3,1)，解得a=(2)當(dāng)a1時，也有兩個界值，如下圖所示:評注:數(shù)形結(jié)合體型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定位得特殊點要善于把握;另一方面，必須熟悉初等函數(shù)得所有性質(zhì)及函數(shù)圖像得變換、例2(14閔行)，若a、b、c、d互不相同，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),則abcd得取值范圍就是答案:(32,35)解析:根據(jù)題意，如下圖所示，ab=1,abcd=cd=,4<c<5所以答案就是(32,35)。評注:這類題

5、出現(xiàn)很多，典型得數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì)，尤其就是對稱性與周期性；在草稿紙上作圖時，雖說就是草圖，但有必要做出一些特殊點進(jìn)行定位；寫區(qū)間時,務(wù)必考慮區(qū)間得開閉情況。變式已知函數(shù)f(x)=|x1|一1,若關(guān)于x得方程f(x)=t(tR)恰有四個互不相等得實數(shù)根得取值范圍就是答案：(3,4)解析:根據(jù)題意，如下圖所示，=0例3(14楊浦)定義一種新運(yùn)算：。已知函數(shù)f(x)=(1+，若函數(shù)g(x)=f(x)k恰有兩個零點，則k得取值范圍就是()A、(1,2;B、(1,2);C.(0,2);D。(0,1)答案:B解析：f (x) (1 3)log 2XX441一，log2X1一

6、XX,4log 2X,log 2X1一Xlog2X,0 x 4示:，如下圖所令g(X)=f(x)-k=0，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(X)與函數(shù)y二k有兩個交點，則k(1,2)。評注:本題考查分段函數(shù)表達(dá)式求法，函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點問題，數(shù)形結(jié)合很容易求解，可以作適當(dāng)?shù)醚由?，比如，有一個零點，求k得取值范圍等。例4(14寶山)關(guān)于函數(shù)f(x)=，給出下列四個命題：當(dāng)x>0時,y=f(X)單調(diào)遞減且無最值;方程f(x)=kx+b(k0)一定有解；如果方程f(x)=k有解，則解得個數(shù)一定就是偶數(shù)；y=f(x)就是偶函數(shù)且有最小值、則其中真命題就是答案:、解析:含絕對值、分類討論、先畫x1與

7、0<x1得部分，然后根據(jù)偶函數(shù)得性質(zhì)(關(guān)于y軸對稱)畫出左半部分，函數(shù)圖像如下圖所示：明顯錯誤；k=0時，解得個數(shù)為1;、正確。評注:含絕對值得數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對值內(nèi)得情況，進(jìn)行分類討論，畫出函數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，一般就是對稱性或奇偶性，然后根據(jù)函數(shù)圖像對各項進(jìn)行分析篩選。例5(14奉賢)定義在上得函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)時,；f(3x)=3f(x)。設(shè)關(guān)于x得函數(shù)F(x)=f(x)1得零點從小到大依次記為、，則答案:50解析:結(jié)合已知條件，分析函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像，如下圖所示，2+4+8+10+26=50評注:數(shù)學(xué)結(jié)合最直觀，或根據(jù)函數(shù)得對稱性，找到對稱關(guān)系，圖像就畫出來了，答案

8、也就呼之欲出，這就就是數(shù)形結(jié)合在直觀呈現(xiàn)方面得快捷、2、與三角函數(shù)得綜合運(yùn)用：例1(14十三校聯(lián)考)已知f(x)=asin2x+bcos2x(a、b為常數(shù))，若對于任意xR都有f(x)f(),則方程f(x)0在區(qū)間0,內(nèi)的解為12答案：x=解析:根據(jù)“若對于任意”可知，當(dāng)乂二時，函數(shù)圖像取最低點，再結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因為函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點之間相差個周期，即，所以在區(qū)問0,內(nèi)得解(即在區(qū)間0,內(nèi)得零點)為x=。評注:本題瞧似復(fù)雜，因為有字母a、b,但只要理解了“三角函數(shù)得最值橫坐標(biāo)與相鄰零點急間相差個周期”這樣得圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃而解了。例2(14閘北)設(shè)a0且a

9、1,已知函數(shù)f僅)=至少有5個零點，則a得取值范圍為答案:(0,1)(1,2)解析:就就是求函數(shù)上得交點個數(shù)，分兩種情況：當(dāng)0<a<1時，在兩個函數(shù)圖像有無數(shù)個交點，如下圖所示：所以0a<1時，滿足至少有5個交點(2)當(dāng)a>1時，如下圖所示,在要至少5個交點，在x=1處要大于0即2a>0,a2,滿足至少有5個交點。評注:這就是一道典型得數(shù)形結(jié)合得題型，將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點個數(shù)問題注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間得轉(zhuǎn)化、例3(14虹口)函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像所有交點得橫坐標(biāo)之與為答案:17解析:畫出函數(shù)f(x)=2sin與函數(shù)得圖像，如下圖所示：這

10、倆圖像都就是關(guān)于點(1,0)對稱，所以它們得交點也就是關(guān)于點(1,0)對稱，即一對對稱交點得橫坐標(biāo)之與為2,總共有8對關(guān)于點(1,0)對稱得點，再加上(1,0)點本身，即所有交點得橫坐標(biāo)之與為17。評注:本題首先要熟悉函數(shù)得圖像變換，精確畫出函數(shù)圖像，然后再研究交點得特性，在這道題中，交點關(guān)于點(1,0)對稱得，在這個前提下，求橫坐標(biāo)之與就轉(zhuǎn)化成簡單得中點問題。例4已知函數(shù)y=f(x),任取tR,定義集合:,，設(shè)，記(1)若函數(shù)f(x)=x，則h(1)=(2)若函數(shù)f(x)=sin，則h得最大值為答案:(1)2;(2)2解析:定義得意思就是函數(shù)y=f(x)在以定點P(點P在函數(shù)圖像上)為圓心半

11、徑為得圓內(nèi)得部分，這部分函數(shù)圖像得值域即定點P(1,1)，如下圖所示，藍(lán)色實線段部分為符合定義得圖像部分，這部分圖像最大值為2，最小值為0,所以h(1)=2(2)對于f(x)=s1n,函數(shù)最大值與最小值之差2,如下圖所示，通過理解觀察，可得出能夠同時包含最大值與最小值，所以h(t)得最大值為2，此時t=2k,k、評注:這就是一道理解性得定義體型，理解題目得定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像分析就不難了。例5(14閔行)對于函數(shù)f(x)=，有以下四個命題：任取包成立；4x)=2kf(x+2k)(k),對于一切x包成立；函數(shù)y=f(x)-In(x-1)有3個零點；對任意x>0,不等式f(x)包成立

12、，則實數(shù)k得取值范圍就是則其中所有命題得序號就是答案:、解析:根據(jù)下圖所示可知：選項就是，選項反比例函數(shù)圖像至少要滿足點（）上,此時，量做到精確，才能避免差錯3、與解析幾何得綜合運(yùn)用：例1（14閘北）設(shè)曲線C:,則曲線C所圍封閉圖形得面積為答案：解析:因為圖像關(guān)于x軸、y軸對稱，所以可以先畫第一象限得圖像，第一象限x0,y0，絕對值直接去掉，可得一段圓弧，然后關(guān)于x軸、y軸對稱翻折，如下圖所示,根據(jù)題目數(shù)據(jù)，可得,AB=2，可以先算第一象限得面積，由一個扇形與一個四邊形構(gòu)成，然后再乘以4,全面積為。評注:方程圖像問題，含絕對值，所以根據(jù)象BM分類討論，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫出方程圖像，割補(bǔ)法求面積。變

13、式由曲線所圍成得封閉圖形得面積為答案:2+例2（14金山）已知直線:4x-3y+6=0,拋物線C:圖像上得一個動點P到直線與y軸得距離之與得最小值就是答案：1解析:結(jié)合題意，畫出直線與拋物線得草圖，找到點P到直線與y軸得距離之與，如下圖所示，即PH+PA=PH+PB-1=PH+PF1用點到直線距離公式求出來等于2,所以答案為1。評注:注意圓錐曲線得相關(guān)定義，進(jìn)行巧妙得轉(zhuǎn)化，如本題中用到了“拋物線上得點到焦點得距離等于這個點到準(zhǔn)線得距離”這個性質(zhì)，然后結(jié)合圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例3（14金山）已知有相同焦點得橢圓二0（）A.;B、;C.2;D01答案:D解析:法一:如下圖所示，由題意得：PF12詬，兩式

14、平方相減得：PPF2mn2,所以PF；PF22（PF1P2法二:對于橢圓而言，焦點三角形得面積為，對于雙曲線而言焦點三角形面積，而這就是同一個三角形，所以，所以1、評注:熟悉圓錐曲線得定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定得關(guān)系，做數(shù)學(xué)題時,很多時候要辯證思考，透過變化得表象，發(fā)現(xiàn)不變得內(nèi)在聯(lián)系，動靜結(jié)合，有機(jī)分析，以靜制動,以不變應(yīng)萬變。例4（14金山）設(shè)雙曲線上動點P到定點得距離三最小值就是（）A、；B.;C。；D、1答案:B解析:雙曲線方程兩邊同時除以，得到，即方程,即求點得距離，選B評注:這就是一類要考慮極限位置得極限體型，在高考中出現(xiàn)過類似得題目，一般找到了極限得位置，題目就很容易解

15、得，很多同學(xué)不會因為沒有想到極限得位置，而像=想把、例5（14閔行）若曲線上存在兩個不同點處得切線重合，則稱這條切線為曲線得自公切線，下列方程得曲線有自公切線得就是（）Ao;B.;C、；D、答案：C解析:A、B、C、D選項圖像依次如下圖所示，根據(jù)題意，選C評注:利用數(shù)形結(jié)合得方法，考查了含絕對值曲線方程得畫法，一般根據(jù)圖像得對稱性，或者分區(qū)間、分象限進(jìn)行分類討論函數(shù)方程在各個象限得圖像，再結(jié)合題意解題。4、與向量得運(yùn)用：例1（14徐匯）如下圖所示，已知點兩邊分別交于17；答案:解析:法一：M、G、N三點共線，設(shè)AGAMAN,有，因為一1八口門ABAC,即 x31 1 3'3x1xy1,

16、化簡上-3yx y法二:取特殊值，。評注:作為填空題，本題得第一做法就是法二，同時也要知道具體過程，注意向量些常用知識點及一些轉(zhuǎn)化技巧、例2（14閔行）設(shè)i、j依次表示平面直角坐標(biāo)系x軸、y軸上的單位向量，且a j答案:解析:根據(jù)題意，得幾何意義為一個點到得距離加上這個點到得距離等于，如下圖所示，即到A點得距離加上到B點得距離等于，而，所以這個點得軌跡為線段，而我們要求得取值范圍得幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段上得點到點（）得距離得取值范圍，最短距離就是下圖中得長度，用點到直線得距離公式或等面積法可求得評注:用代數(shù)得方法計算，因為有根號，過程很復(fù)雜，結(jié)合向量得模得幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問題就簡明了，易于理

17、解，教學(xué)過程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合得使用、例3（14徐匯）如下圖所示，在邊長為2得正六邊形中，動圓得半徑為1,圓心在線段CD（含端點）三上運(yùn)動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向量答案：解析:如上圖所示,。評注:本題結(jié)合動態(tài)圖像考查了向量得分解，要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其她知識點得綜合運(yùn)用：例1（14浦東）用S集合S中的元素的個數(shù)，設(shè)A、B、C為集合，稱（A,B,C）有序三元組。如果集合A、B、C滿足AB|BCAC1,且ABC=,則稱有序三元組（A、B、C）為一最小相交，由集合1,2,3,4的子集構(gòu)成得所有有序三元組中，最小相交得有序三元組得個數(shù)為答案：解析:設(shè)，如下圖所示，因為ABBC|AC1,所以Mi,M2,M3中個各有一個元素，將得元素排入，有種方法，由題意得，還剩下得一個元素，可排在種方法，由分步原理得。評注:本題要注意分步原理與分類原理得綜合運(yùn)用，抽象出解題模型，從而使問題得到解決，當(dāng)然也可以用列舉法，顯然中A為含有1個或者4個元素的子集不符合題意，A為含有2個或者3個元素的子集，列舉即可求解。對于新定義題型，要善于將陌生問題化為熟悉模型，注重基本原理得運(yùn)用。例2（14十三校聯(lián)考）集合zxy恰有一個成立，若（x,y,z）S且（z,w