圓錐曲線與方程解題歸納分析附真題練習(xí)與答案

1、圓錐曲線與方程解題歸納分析（附同步高考真題練習(xí)與答案）1. 點(diǎn)到直線的距離2.弦長(zhǎng)公式：線上兩點(diǎn)間的距離： 或3.焦點(diǎn)三角形面積公式：（其中）4.焦半徑公式：（1），可簡(jiǎn)記為“左加右減，上加下減”。（2）（3）最值問(wèn)題（1）定義轉(zhuǎn)化例1.已知點(diǎn)F是雙曲線1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|PA|的最小值為_(kāi)解析:圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，將|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|PA|的最小值為9.故填9

2、.（2）切線法（3）參數(shù)法例2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x，y)是橢圓y21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則Sxy的最大值為_(kāi)解析因?yàn)闄E圓y21的參數(shù)方程為(為參數(shù))故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，當(dāng)時(shí)，S取最大值2.（4）基本不等式法例3.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值解：題設(shè)得橢圓的方程為y21.直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2滿(mǎn)足方程(14k2

3、)x24，故x2x1.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式，得點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為h1，h2，又|AB|，所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)··22，當(dāng)2k1，即k時(shí)，取等號(hào)所以四邊形AEBF面積的最大值為2.圓錐曲線范圍問(wèn)題（1）曲線幾何性質(zhì)例4已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析根據(jù)雙曲線定義|PF1|PF2|2a，設(shè)|PF2|r，則|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故雙曲線的離心

4、率e的取值范圍是.故填.（2）判別式例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知條件，知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，

5、B(0,1)，得(，1)所以與共線等價(jià)于x1x2(y1y2)，將代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合題意的常數(shù)k.圓錐曲線定值定點(diǎn)問(wèn)題特殊到一般例6.已知雙曲線C：x21，過(guò)圓O：x2y22上任意一點(diǎn)作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，證明：AOB的大小為定值證明當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x±.當(dāng)x時(shí)，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時(shí)AOB90°，同理，當(dāng)x時(shí)，AOB90°.當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由直線l與雙曲

6、線交于A，B兩點(diǎn)故2k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則AOB的大小為定值90°常用方法1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問(wèn)題）設(shè)、，為橢圓的弦中點(diǎn)則有，；兩式相減得=例7.已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.（1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;（2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D

7、的軌跡方程.解：（1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設(shè)直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過(guò)定點(diǎn)（0，設(shè)D（x,y），則，即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。2設(shè)而不求法例8.如圖，已知梯形ABCD中，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍。 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標(biāo)系，則CD軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) 依

8、題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 ， 設(shè)雙曲線的方程為，則離心率由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ， 由式得 ， 將式代入式，整理得 ，故 由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標(biāo)表示，回避的計(jì)算, 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略 解法二：建系同解法一，又，代入整理，由題設(shè)得，解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 3求根公式法例9.設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程

9、，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.同步高考真題練習(xí)1設(shè)P是曲線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到x1直線的距離之和的最小值為()A. B. C. D.2已知A，B，C三點(diǎn)在曲線y上，其橫坐標(biāo)依次為1，m,4(1<m<4)，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，m等于()A3 B.C. D.3.橢圓的切線 與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn) ， 求三角形OAB的最

10、小面積 。4.已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。5橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，當(dāng)PFO的面積最大時(shí)，求直線l的方程6橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個(gè)交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為()A.e B0eC.e D.e7.橢圓（a>b>0）的二個(gè)焦點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，且。 求離心

11、率e的取值范圍.8.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最大值和最小值;（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.9.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：（1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及軸圍成的三角形的面積；（2）設(shè)斜率為1的直線交于、兩點(diǎn)，若與圓相切，求證：；（3）設(shè)橢圓：，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，求證：到直線的距離是定值10.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以

12、為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)練習(xí)答案1.解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x1的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離；于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,1)的距離與點(diǎn)P到F(1,0)的距離之和最??；顯然，連AF交曲線于P點(diǎn)故最小值為，即為.2.解析：由題意知A(1,1)，B(m，)，C(4,2)直線AC所在的方程為x3y20，點(diǎn)B到該直線的距離為d.SABC|AC|·d××|m32|()2|.m(1,4)，當(dāng)時(shí)，SABC有最大值，此時(shí)m.故選B.3.解：設(shè)切點(diǎn)為 ， 則切線

13、方程為 .令y=0, 得切線與x軸交點(diǎn)；令x=0,得切線與y軸交點(diǎn)B(0,)= 4.解：(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),由中點(diǎn)標(biāo)公式得x=x0=2x1，y0=2y，由點(diǎn)P在橢圓上,得, 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當(dāng)k=

14、時(shí),等號(hào)成立.SABC的最大值是. 解：求直線方程，由于F(c,0)為已知，僅需求斜率k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y0，由于SPFO|OF|·|y0|y0|只需保證|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此時(shí)a2|k|k±，故直線方程為：y±(xc)6.解析：此題的本質(zhì)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)(a,0)與(0，b)一個(gè)在圓外、一個(gè)在圓內(nèi)即：e.7.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 又由點(diǎn)M在橢圓上，得y2=b2，代入，得x2-c2，即。0，

15、0，即01，01，解得1。又01，1.8.解：（）易知所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值（）顯然直線不滿(mǎn)足題設(shè)條件，可設(shè)直線，聯(lián)立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或9.解：(1)雙曲線C1：y21，左頂點(diǎn)A，漸近線方程：y±x.過(guò)點(diǎn)A與漸近線yx平行的直線方程為y，即yx1.解方程組得所以所求三角形的面積為S|OA|y|.(2)設(shè)直線PQ的方程是yxb，因直線PQ與已知圓相切，故1，即b22.由得x22bxb210.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2(x1b)(x2b)，所以·x1x2y1y22x1x2b(x1x2)b22(1b2)2b2b2b220.故OPOQ.(3)當(dāng)直線ON