參數(shù)方程化普通方程

1、參數(shù)方程化普通方程 重點難點掌握參數(shù)方程化普通方程的方法，理解參數(shù)方程和消去參數(shù)后所得的普通方程的等價性；應明確新舊知識之間的聯(lián)系，提高綜合運用所學知識解決數(shù)學問題能力。 例題分析1把參數(shù)方程化為普通方程(1)(R，為參數(shù)) 解: y=2+1-2sin2, 把sin=x代入， y=3-2x2,又 |sin|1, |cos2|1, |x|1, 1y3 所求方程為y=-2x2+3 (-1x1, 1y3) (2)(R，為參數(shù)） 解: x2=(sin+cos)2=1+2sincos，把y=sincos代入， x2=1+2y。 又 x=sin+cos=sin(+)y=sincos=sin2 |x|，|y

2、|。 所求方程為x2=1+2y (|x|, |y|) 小結:上述兩個例子可以發(fā)現(xiàn)，都是利用三角恒等式進行消參。消參過程中都應注意等價性，即應考慮變量的取值范圍，一般來說應分別給出x, y的范圍。在這過程中實際上是求函數(shù)值域的過程，因而可以綜合運用求值域的各種方法。 (3)(t1, t為參數(shù)) 法一:注意到兩式中分子分母的結構特點，因而可以采取加減消參的辦法。 x+y=1,又x=-1-1，y=2, 所求方程為x+y=1 (x-1, y2)。 法二:其實只要把t用x或y表示，再代入另一表達式即可。由x=, x+xt=1-t, (x+1)t=1-x，即t=代入y=1-x， x+y=1，（其余略） 這

3、種方法稱為代入消參，這是非常重要的消參方法，其它不少方法都可以看到代入消參的思想。 (4)(t為參數(shù)) 分析:此題是上題的變式，僅僅是把t換成t2而已，因而消參方法依舊，但帶來的變化是范圍的改變，可用兩種求值域的方法: 法一:x=-1, t20, t2+11, 0<1, -1<-11, -1<x1。 法二:解得t2=0, -1<x1,同理可得出y的范圍。 (5) (t為參數(shù)) 分析:現(xiàn)在綜合運用上述各種方法進行消參，首先，求x,y范圍。 由x=得x2=0, -1<x1,由y=, t=0時，y=0； t0時，|y|=1，從而|y|1。 法一:注意到分子，分母的結構，

4、采用平方消參， x2+y2=()2+()2=1。 法二:關鍵能不能用x, y表示t，且形式簡單由x=得t2=，代入y=t(1+x) t=再代入x=，化簡得x2+y2=1。 法三:注意到表達式與三角中萬能公式非常相象 可令t=tg，(-)，x=cos2,y=sin2, x2+y2=1，又2(-,)， -1<x=cos21, -1y=sin21,所求方程為x2+y2=1(x-1)。 2已知圓錐曲線方程是 1）若t為參數(shù)，為常數(shù)，求它的普通方程，并求出焦點到準線的距離。 2）若為參數(shù)，t為常數(shù)，求它的普通方程，并求它的離心率e。 解:1）由已知，由(1) 得t=代入(2) y-4sin+5=-

5、6·(x-5cos-1)2=-(y-4sin+5)為頂點在(5cos+1,4sin-5)開口向下的拋物線，其焦點到準線距離p=。 2）由已知 =1，表示中心在(3t+1, -6t2-5)的橢圓，其中a=5, b=4, c=3， e=。 分析:從上題可以看出，所指定參數(shù)不同，方程所表示的曲線也各不相同。從而給出參數(shù)方程一般應指明所取參數(shù)。 3拋物線y2=4p(x+p)(p>0)，過原點作互相垂直的兩條直線分別被拋物線截得線段為AB，CD，M為AB中點，N為CD中點，G為MN中點。求G點軌跡方程，并說明其圖形。 解:設AB方程為y=kx代入拋物線方程y2=4p(x+p) k2x2-

6、4px-4p2=0, 若A，B坐標為(x1, y1), (x2, y2) 則 xM=, yM=, ABCD, CD方程為y=-x，代入y2=4p(x+p)， x2-4px-4p2=0，設C(x3, y3),D(x4,y4) N(2pk2, -2pk) 則G點坐標(x,y)為 y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)x=p(k2+)p·2=2p，而yR在方程中都已體現(xiàn)， 軌跡方程為y2=p(x-2p)為頂點(2p,0)開口向右的拋物線。 說明:消參一般應分別給出x,y的范圍，而二題中變量的范圍已體現(xiàn)在方程之中。在某些特殊情況，消參之后給出x,y的范圍也不能說明原曲線的軌跡

7、，這時應用語言作補充說明。如方程 0,，是個圓，但消參之后得x2+y2=1(|x|1, |y|1)卻無法說明這一點。在線測試窗體頂端選擇題1曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則方程所表示的曲線為（） A、射線B、線段C、雙曲線的一支D、拋物線 窗體底端窗體頂端2參數(shù)方程（為參數(shù)，且0<2）所表示的曲線是（）. A、橢圓的一部分B、雙曲線的一部分 C、拋物線的一部分，且過(-1，)點D、拋物線的一部分，且過(1，)點 窗體底端窗體頂端3已知直線l的參數(shù)方程為則直線l的傾斜角為（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端4拋物線（t為參數(shù)）的準線方程是（） A、x=3B、x=-1C、y=0D、y=-2

8、 窗體底端窗體頂端5彈道曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，v0，g為常數(shù)）當炮彈到達最高點時，炮彈飛行的水平距離是（） A、B、C、D、 窗體底端答案與解析 解析：（1） x=cos20，1，y=1-cos2=1-x， x+y-1=0， x0，1為一條線段。故本題應選B。 （3）本題認為直線l的傾斜角是是不對的，因為只有當直線的參數(shù)方程為：（其中t為參數(shù)），其中的才是直線的傾斜角，消去參數(shù)t，化參數(shù)方程為普通方程后，再求直線l的傾斜角是可以的。但直線l的傾斜角適合tan=，這里只要把兩個方程相除就可得：， tan=-，又0<， =。故本題應選D。 （4）化參數(shù)方程為直角坐標方程，得(x-2)2

9、=4(y+1)，其準線方程為y=-1=-2。故本題應選D。 （5）由y=v0tsin-知，當炮彈到達最高點時，t=，代入x=v0tcos，得x=v0cos·。故本題應選C。參數(shù)方程、極坐標·疑難辨析 參數(shù)方程是曲線與方程理論的發(fā)展，極坐標是坐標法的延伸參數(shù)方程的基本概念與極坐標系的理論是本章的重點參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程同解性的判定、極坐標方程與曲線的基本理論是本章的難點與疑點弄清這兩個難點，把握參數(shù)法變與不變矛盾的統(tǒng)一的思想是學好本章的關鍵 把握求軌跡方程的參數(shù)法的基本思路和消參數(shù)的基本方法，重視消參數(shù)前后x、y的取值范圍的變化是保證軌跡完備性、純粹性的關鍵弄清

10、一點的極坐標的多種表達式：（(-1)n，+n），（nZ）和極坐標與直角坐標的互化是運用極坐標解決問題的基本功 題1下列參數(shù)方程（t是參數(shù)）中方程y2=x表示同一曲線的是（ ） 【疑難或錯解】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得的普通方程是否表示同一曲線的判定是一難點問題的實質在于判定方程的同解性方程的同解性原是代數(shù)中的難點，加上參數(shù)方程中出現(xiàn)的函數(shù)不局限于代數(shù)函數(shù)，其困難就更大了本題各個參數(shù)方程消去參數(shù)后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而誤選A、B、C都有 【剖析】從A、B、C、D消去參數(shù)t后所得的普通方程都是y2=x但在A中y=t20，這與y2=x中y的允許值范圍yR不一致，故A應排除在B中，

11、x=sin2t0，x0，1與y=sint-1，1與方程y2=x中的x，y取值范圍不一致，故B也應排除 中的x0，+)，yR完全相同，所以D中參數(shù)方程與y2=x同解，應選D 【點評】參數(shù)方程與消去參數(shù)后所得普通方程是否同解的判定，涉及函數(shù)定義域與值域的研究而無通法可循，只能根據(jù)參數(shù)方程通方程F(x，y)=0中x，y的允許值范圍（即方程F(x，y)=0的定義域）是否一致來判斷僅根據(jù)消去參數(shù)后所得的普通方程F(x，y)=0的外形來判定，常易失誤 表示的曲線是（ ）A圓B半圓C四分之一圓D以上都不對 消去，得x2+y2=1，未分析x，y的取值范圍，即斷言表示的曲線為圓，而誤選A 時t不存在，所以消去t

12、后方程x2+y2=1中x-1，即在圓x2+y2=1中應除去一點（-1，0）所以此參數(shù)方程表示的曲線為單位圓x2+y2=1上除去一點（-1，0）在普通方程x2+y2=1中應注明x(-1，1應選D 為參數(shù))交于A、B兩點，求弦長|AB| 【疑難或錯解】以直線的參數(shù)方程代入雙曲線的普通方程(y-2)2-x2=1，有(-4t)2-(-1+3t)2=1，即7t2+6t-2=0方程的兩個根分別為t1=PA，t2=PB，其中點P的坐標為（-1，2） 方程的兩個根： 錯解混淆了直線參數(shù)方程的標準型和非標準型中參數(shù)t的幾何意義在標準型中，P（x0，y0）為直線上的定點，Q（x，y）為直線上任意一點，則t表示有向

13、線段PQ的數(shù)量（規(guī)定直線向上、向右為正方向）這一結論不適用于非標準型因此運用直線參數(shù)方程求二次曲線的弦長時，應先將直線的參數(shù)方程化為標準型，否則將導致錯誤 將雙曲線方程化為普通方程： (y-2)2-x2=1 方程的兩個根分別為t1=PA，t2=PB,【點評】設A、B兩點的坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2） 的定點， 故x1-x2=a(t1-t2)，y1-y2=b(t1-t2)，(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2 利用這一結果也可求|AB|之長，結果與正解同 所以此曲線為以為端點的線段。 【點評】消去參數(shù)過程中不分析x，y的取值范圍，導致軌跡純粹性受破壞 【

14、剖析】錯解僅考慮ab0的情況，而忽視ab=0的情形，因而解答不完整ab=0時，有a=0，b0；a0，b=0；a=0，b=0三種情況，應逐一進行討論 【正確】當ab0時，如上解有 當ab=0時，有下列三種情形：（1）a=0，b0時，原方程為此時，曲線為y軸（含原點） （2）a0，b=0，原方程為|x|a|，即x|a|或x-|a|消去t，得普通方程為y=0，x(-，-|a|a|，+)此時曲線為x軸上的兩條射線，端點分別為(|a|，0)指向正半軸；(-|a|，0)指向負半軸 【點評】消去參數(shù)過程中不注意方程中x，y的取值范圍，對任意常數(shù)a，b的可能情況不分別討論是導致失誤的主要原因 （t為參數(shù)）問l

15、1與12是否表示同一曲線？為什么？ 【疑難或錯解】l1： 未對x，y的取值范圍進行分析，根據(jù)兩曲線的普通方程，即斷言l1和l2表示同一直線，焉能不失誤 【剖析】在曲線l1的參數(shù)方程中，x=1+cos2=2cos20，2，消去參數(shù)所得的普通方程2x-y+1=0中x0，2，所以曲線l1為以（0，1）與（2，5）為端點的線段只l2，所以l1、l2不是同一條曲線 【點評】在曲線l1消去參數(shù)時，未分析x的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性，是導致失誤的主要原因 A20°B70°C110°D160° 而誤選（A） （D） 還有將原方程化為而無法作出判斷 【剖析】 上述疑難

16、的根源在于對直線參數(shù)方程標準型概念模糊所致在直線參數(shù)方程的標準型： sin0，故當a0，b0，且a2+b2=1時，才是標準型 等都不是直線參數(shù)方程的標準型，由此推出的直線的傾斜角都是錯的。欲將其化為標準型，應將x=tsin20°+3化為x=3+(-t)sin(-20°)=3+(-t)cos(90°+20°)即x=3+(-t)cos110°，y=(-t)sin(90°+20°)=(-t)sin110° 這才是此直線參數(shù)方程的標準型，此直線傾斜角為110°，應選C 傾斜率為110°，無須化為標準型另

17、外結合直線的圖像，過點（3，0）、（3+sin20°，-cos20°）。所以直線的傾斜角為鈍角，排除A、B，又由cos20°sin20°，可知傾斜角160°，排除D，而選C誠如華羅庚所說：“不可得義忘形”，形義結合，?？煽焖佾@解。 B兩點，試求|PA|+|PB|之值 【疑難或錯解】直線l的參數(shù)方程為 代入橢圓方程，得 方程的兩個根分別為t1=PA，t2=PBt1=PA0，t2=PB0|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1-t2 【剖析】錯解對P(x0，0)的不同位置未加分析，貿然畫圖，把點P畫在橢圓內部，只就|x0|5的情況作解答，忽視了

18、點P在橢圓上或外的情況，可見錯解是不完整的 【正確】當點P(x0，0)在橢圓內部時，|x0|5，此時，上時，|x0|=5，方程為 當點P(x0，0)在橢圓外時，|x0|5，t1t20，即t1、t2同號， 【點評】當問題中出現(xiàn)任意常數(shù)（如這里的x0）時，應考慮各種可能，逐個進行分析討論，否則可能犯以偏概全或漏解的錯誤直線及圓的參數(shù)方程 教學重點和難點:直線參數(shù)方程及圓的參數(shù)方程的基本形式，對直線標準參數(shù)方程中參數(shù)t的理解，非標準參數(shù)方程如何化為標準方程并求出傾角，并應用直線參數(shù)方程解決有關問題。 例題分析:例1下列各式中，哪一個是直線的三角式方程，試述理由，若是點角式參數(shù)方程時，寫出始點和傾角，

19、若不是，化為點角式參數(shù)方程。 （1）（t為參數(shù)）；（2）（t為參數(shù)）；（3）（t為參數(shù)） 解:（1）始點（-2，3），傾角為是點角式參數(shù)方程。（2）不是點角式參數(shù)方程，不滿足為點角式參數(shù)方程的必要條件，即a2+b2=1。但是形如（t為參數(shù)）的可化為參數(shù)方程的標準式即（t為參數(shù)） （3）（t為參數(shù)）不是點角式參數(shù)方程，令t'=-t，得， 直線始點為（-2，2），傾角為。 例2寫出過點A（1，-2），傾角為45°的直線l1的點角式參數(shù)方程，若l1與l2:x+2y-4=0相交于B。（1）求|AB|； （2）求點B的坐標。 解:設l1的參數(shù)方程為:（I）（t為參數(shù)） 把（I）代入l2

20、方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II）， |AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小結:從此例可看出應用三角式參數(shù)方程求距離很簡捷。 例3求橢圓=1中斜率為2的平行弦中點的軌跡。 解：（1）用普通方程解決，設弦中點P(x0, y0)，弦的兩端點A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1)-(2)： =0， .(6) 將(5)代入(6)， 2=, x0+3y0=0,軌跡為含在橢圓內的一條線段。 法（2）參數(shù)方程解題設弦中點P(x0,y0)，弦的傾角為a， 平行弦的直線參數(shù)方程為:（t為參數(shù)）(1)將（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得

21、:(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3ysin)t+2x02+3y02-6=0, t1+t2= P為弦中點，t1+t2=0，即2x0cos+3y0sin=0，又tg=2, 2x0+6y0=0, P點軌跡是方程為x+3y=0在橢圓=1內的一條線段。 小結:此例用普通方程及參數(shù)方程對比解決，體會參數(shù)t的幾何意義，其中t1+t2=0對點角式方程而言具有普遍的意義，常用于解決弦中點問題。 例4設M，N是拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上兩點，且它們關于頂點O對稱，過M，N作兩條平行線，分別交拋物線于P1，P2，Q1，Q2，求證:|MP1|·|MP2|=|NQ1|&#

22、183;|NQ2|。證明:由已知可設M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 則直線MP1，NQ1的參數(shù)方程為: （1）和（2）其中t是參數(shù)，是傾斜角。 把（1）（2）分別代入y2=2px中，由韋達定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2| 評述:此例中應用了點角式參數(shù)方程中t的幾何意義，即|t1|,|t2|為相應點到定點M的距離，據(jù)此證明了關于線段的等式問題。 例5橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點F1引直線交橢圓于M，N兩點，設F2F1M=，0,），若|

23、MN|等于短軸時，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，橢圓方程+y2=1。 法（1）設MN所在直線參數(shù)方程為.(1)（t為參數(shù)） 將(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1·t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,）， sin=, =或。 （法二）設MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1·x2=.(2) <i> |MN|=|x1-x2|.<I>又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 將(1),(2)代入(3)，將(3)代入(

24、I)解得:k2=(下略) 另；<ii> e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定義:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=·+6, k2=(下略)。 評述:利用直線參數(shù)方程，常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長公式可知，形式上要簡捷，運算上也將更加簡化，減少運算的出錯可能。 例6過M(-1,0)的直線l交雙曲線x2-y2=10于A，B兩點，且|MA|=3|MB|，求直線l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若設普通方程，則兩線段間的上述關系表述很繁瑣，條件不利于應用。設直線參數(shù)方程點角

25、式，直接利用參數(shù)t的幾何意義表達|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去應用。 解:設直線MA的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1·t2= 又 |MA|=3|MB|， t1=±3t2。 <i>當t1=±3t2時，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=±， l: y=±(x+1)。<ii> 當t1=3t2時，同理可求l:y=(x+1)。 本周小結:直線參數(shù)方程點角式問題，應注重

26、從下面幾點講解。<1>會判斷方程是否為點角式參數(shù)方程；<2>若參數(shù)方程為會化為點角式，并會求出傾角，一定要注意傾角的范圍。<3>會應用它解決弦長問題，弦的中點線分弦成定比問題，點在直線上位置等常見問題。 參考練習:1直線:（t為參數(shù)）的傾斜角是（ ）A、20°B、70°C、110°D、160° 2直線（t是參數(shù)）與圓（為參數(shù)）相交所得弦長為（） A、(3-) B、C、D、(3+) 3圓x2+y2=8內有一點P0(-1,2)，AB為過P0且傾角為的弦。 （1）當=，求|AB|；（2）當弦A'B'被點P0平

27、分時，寫出直線A'B'的方程。 參考答案: 1.C2.B 3.解:設直線AB方程為:(1)（t為參數(shù)）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos-2sin)t-3=0.(2) 直線與圓相交，(2)有實根，則由韋達定理:t1+t2=2(cos-sin), t1·t2=-3, (1)當=時，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4×(-3)=30（2）弦A'B'被點P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, A'B'方程為:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在線

28、測試窗體頂端選擇題1直線（t為參數(shù)）的傾斜角是（） A、20°B、70°C、110°D、160° 窗體底端窗體頂端2曲線的參數(shù)方程為（0t5），則曲線是（） A、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線 窗體底端窗體頂端3橢圓的兩個焦點坐標是（） A、(-3,5), (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗體底端窗體頂端4下列參數(shù)方程(t為參數(shù))與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端5曲線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)，t0)，它的普通方程是（） A、(x-

29、1)2(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗體底端答案與解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本題考查三角變換及直線的參數(shù)方程。解：由直線方程知此直線過定點(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20°=tg(90°+20°)=tg110°。因此直線的傾斜角為110°。故應選C。 2本小題考查化參數(shù)方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。 解：消去參數(shù)t，得x-3y-5=0。因為0t5，所以2x77，-1y24。因此是一條線段，故選A。 3本小題考查參數(shù)方程和橢圓方程的知識，以及坐標軸平移。解：原方程消參得=1，

30、是中心為（3，-1），焦點在x=3這條直線上的橢圓，c=4，焦點坐標為(3，3)及(3，-5)，所以選B。 4本小題考查參數(shù)方程和三角函數(shù)式的恒等變形解：選項A中x0，與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1x1，與x2-y=0中的x范圍不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，y=tg2t=x2，即x2-y=0，故選D。 5本題考查參數(shù)方程的知識。解：由參數(shù)方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故選B參數(shù)方程、極坐標知識小結 一、求軌跡的參數(shù)方程（1）對于曲線的參數(shù)方程應注意以下兩點：一是參數(shù)方程中參數(shù)的變化范圍是有限制的；二是給出一個t，解出唯一對應的x, y的值，因而得出唯一的對應點。 （2）可供選擇的參數(shù)較多，如角度、時間、點的坐標、位移、直線斜率等。 二、普通方程與參數(shù)方程的互化1注意方程等價性在曲線的普通方程與參數(shù)方程的互化中應注意方程的等