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1、第十四章 曲線積分與曲面積分(高教社劉玉蓮361) §14.1 曲線積分一、第一型曲線積分 首先討論物質(zhì)曲線的質(zhì)量。如果在xy平面上有一條可求長的曲線C,如圖14.1,已知曲線C上點(x,y)的線密度是(x,y),求曲線C的質(zhì)量。在曲線C上依次任取一組點:A=,=B,記為分法T。它們將曲線C分成n個小?。海?,.設第k個小弧的長是,在其上任取一點(,)。在點的線密度(,)近似代替第k個小弧上每一點的線密度。于是,(,)應是第k個小弧質(zhì)量的近似值,k=1,2,n。它們的和,即應是曲線C質(zhì)量的近似值。 設(T)是分法T的n個小弧之長中最大者。(T)越小,越接近于曲線C的質(zhì)量。于是,曲線C
2、的質(zhì)量m應該是極限m=.抽取上式的物理意義就得到第一型曲線積分。設二元函數(shù)(x,y)在xy平面上一條可求長曲線C(A,B)上有定義。用任意分法T,將曲線C依次分成n個小弧: , ,其中=A,=B。設它們的弧長分別是,。在小弧上任取一點(,),k=1,2,n,取該點的函數(shù)值 (,)與作乘積,然后作和 =, (1)稱為二元函數(shù)(x.y)在曲線C(A,B)的積分和。令(T)=max,。定義 設二元函數(shù)(x,y)在可求長曲線C(A,B)有定義。若當(T)0時,二元函數(shù)(x,y)在曲線C(A,B)的積分和(1)存在極限I,即=I,則稱I是函數(shù)(x,y)在曲線C的第一型曲線積分,記為I=,其中ds是弧長微
3、元。 不難看到,在xy平面上一條物質(zhì)曲線C(A,B),若其上每一點(x,y)的線密度是(x,y),則物質(zhì)曲線C的質(zhì)量m是第一型曲線積分,即 m=. 根據(jù)第一型曲線積分定義,不難證明,第一型曲線積分有下述性質(zhì)(僅列舉其中四個性質(zhì)): 1=,即第一型曲線積分與曲線C的方向(由A到B或由B到A)無關(guān)。事實上,在積分和(1)中小弧之長與曲線C的方向無關(guān)。 2=. 3k,其中k是常數(shù). 4=+. 定理1 若曲線C(A,B):x=,y=, ,是光滑的,即,在,連續(xù),且不同時為零,函數(shù)(x,y)在C連續(xù),則函數(shù)(x,y)在C(A,B)存在第一型曲線積分,且 =. (2) 證明 給區(qū)間,任意分法T,分點依次是
4、.第k個小區(qū)間對應曲線C上第k個小弧,設其長是.由§8.5弧長公式與定積分中值定理,有=dt=,其中=,.在上任取一點,在曲線C上對應點是P().作和 =. (3)注意上面等式中與都屬于,但是不一定相等。為此將它改寫為 =+, (4)其中=- . (4)式第一個和數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,的積分和。因此,有 =. 下面證明. 事實上,已知函數(shù)在閉區(qū)間,連續(xù),從而它在,有界;函數(shù)在閉區(qū)間,連續(xù),從而一致連續(xù)。即,有|.又,),有|-|.于是,當時,有|.|-|=,即 . 當時,有.當時,(4)式存在極限,即函數(shù)(x,y)在曲線C上存在第一型曲線積分,即=. (2)式將第一型曲線積分化成了定積
5、分,它就是計算第一型曲線積分的公式。 特別地,曲線C(A,B)是由方程y=y(x)給出,且(x)在a,b連續(xù)時,(2)式是=. (5)例1 計算,其中C:x=acos t,y=bsin t,. 解 ,t. dt.由公式(2),有 I=dt=dt.設,或,有例2 計算,其中C是圓周,. 解 如圖14.2. . :, :. , . 由公式(5),有 設三維歐式空間有一條可求長的曲線C(A,B)。函數(shù)在曲線C有定義。可仿照平面(二維空間)第一型曲線積分定義給函數(shù)在空間曲線C上的第一型曲線積分 (6)的定義,其中ds是空間曲線C的弧長微分。 若三維歐式空間中光滑曲線C的參數(shù)方程 ,則三維歐式空間中第一
6、型曲線積分(6)可化成定積分,有公式 , (7)其中是空間曲線C的弧長微分,即.例3 計算,其中C是圓柱螺旋線: ,. 解 ,. . .二、第二型曲線積分 首先討論力場作功問題。我們知道,若質(zhì)點在常力F(大小與方向都不變)的作用下沿直線運動,位移是(有向線段),則常力F所作的功W是F與的內(nèi)積,即 ,其中是F與之間的夾角。 設有一質(zhì)點在平面力場的作用下,沿光滑的有向曲線C由點A運動到點B,如圖14.3,求力場F所作的功。 有任意分法T,將曲線C分成n個有向的小弧:,其中,.設的坐標是()。將第k個有向小弧的弦記為,則弦在x軸與y軸上的投影分別是與,即 .在第k個小弧上任取一點.在點的(力)向量是
7、 .以點的向量近視代替第k個小弧上每一點的向量。于是,內(nèi)積應是質(zhì)點在力場F的作用下,沿第k個小弧由點運動到點所作功的近似值。它們的和應是質(zhì)點在力場F的作用下,沿曲線C由點A到點B所作功W的近似值。當越小,近似程度越好。于是,當時,有.由內(nèi)積公式,有 ,即 . (8) 抽出(8)式的物理意義就得到第二型曲線積分。 設平面上有光滑有向曲線C(A,B),二元函數(shù)在曲線C上有定義。用任意分法T,將曲線C依次分成n個有向小?。?,其中,.設第k個小弧的弦在x軸與y軸上的投影區(qū)間的長(帶有符號)分別是與.在第k個小弧上任取一點.作和與, (9)分別稱為二元函數(shù)在曲線C(A,B)關(guān)于x與y的積分和. 令.(
8、是第k個小弧的長。) 定義 設二元函數(shù)在有向光滑曲線C(A,B)有定義。若時,二元函數(shù)在曲線C(A,B)關(guān)于x(或y)的積分和(9)存在極限(或),即 (或),稱(或)是(或)在曲線C(A,B)的第二型曲線積分,記為 (或). 由(8)式不難看到,質(zhì)點在平面力場的作用下,沿光滑的有向曲線C由點A運動到點B,力場F所作的功W是在曲線C(A,B)上的第二型曲線積分之和,即 .通常上式簡寫為. (10) 由弧長微分知,dx與dy分別是弧長微分ds在x軸與y軸上的投影。弧長微分ds的方向就是曲線C(A,B)的方向,則弧長向量微元.于是,功W可寫成向量形式的積分 . (11) 注 第二型曲線積分與曲線C
9、(A,B)的方向有關(guān).因為與分別是第k個有向小弧的弦在x軸與y軸上的投影,當改變曲線C的方向時,與要改變符號,所以第二型曲線積分也要改變符號,即 與 .定理2 如果二元函數(shù)在有向光滑曲線C(A,B):x=x(t),y=y(t),連續(xù),且,則與在C(A,B)的第二型曲線積分都存在,且 , (12) . (13)證明 只給出等式(12)的證明,同法可證等式(13).給區(qū)間任意分法T,分點式.第k個小區(qū)間對應曲線C是哪個第k個小弧,在上任取一點.在第k個小弧上有對應的點,其中,.于是, . (14)另一方面,(12)式等號右端可改寫成 . (15)(14)式與(15)式等號兩端之差是 . 因為函數(shù)在
10、閉區(qū)間連續(xù),所以它在一致連續(xù),即,:,有 |.又因為在閉區(qū)間連續(xù),所以在有界,即,有.于是,當時,有 ,從而,即 若光滑有向曲線C(A,B)的方程是 ,.,而在連續(xù),則 . 例4 計算,其中曲線C是上半橢圓,取順時針的方向。 解 ,由公式(12)與(13)有 例 5 計算,其中曲線C分別是 1)直線; 2)拋物線; 3)立方拋物線.都是由原點(0,0)到點(1,1). 解 1)沿直線,有. 2)沿拋物線,有 . 3)沿立方拋物線,有 .例 6 計算,其中曲線C與例5相同,并有與例5相同的始點與終點. 解 1)沿直線,有 . 2)沿拋物線,有 . 3)沿立方拋物線,有 . 例 7 有質(zhì)量為m的質(zhì)
11、點,在重力的作用下,沿鉛垂面上曲線C由點A到點B,計算重力F所作的功,如圖14.4. 解 設平面曲線C的參數(shù)方程是. ,.已知.于是,重力所作的功 = .此例說明,質(zhì)點從點A移動到點B,重力F所作的功只與A與B的位置有關(guān),而與曲線C無關(guān)。這是重力場的一個重要物理特性。從上述三例看到,當始點與終點相同,沿著不同的曲線,有的曲線積分相等(如例5與例7);有的曲線積分不相等(如例6)。那么在什么條件之下,當始點與終點取定時,曲線積分與所沿的曲線無關(guān)呢?后面我們將討論這個問題。設三維歐式空間中有向光滑曲線C(A,B),函數(shù)在曲線C上有定義??煞抡掌矫妫ǘS空間)第二型曲線積分定義,給出在曲線C(A,B
12、)的第二型曲線積分 (),其中(與)是有向弧長微元在x軸(y軸與z軸)上的投影。當曲線C(A,B)改變方向時,有.不難寫出,向量場F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在有向光滑曲線C(A,B)的第二型曲線積分是其中ds=(dx,dy,dz). 如果三維空間的有向光滑曲線C(A,B)是參數(shù)方程x=x(t),y=y(t), z=z(t), t由到對應曲線C上由點A到點B,則三維歐式空間的第二型曲線積分可化成定積分,有公式 , , (17) . 例 8 計算,其中曲線C:,從t=0到 解 由公式(17)有三、第一型曲線積分與第二型曲線積分的關(guān)系在三維歐式空間中,由于弧長微分d
13、s與它在坐標軸上的投影dx,dy,dz有密切聯(lián)系,因此兩類曲線積分可以互相轉(zhuǎn)換。設三維歐式空間中有向光滑曲線C(A,B),去弧長s為參數(shù),曲線C的參數(shù)方程是,. 表示曲線C的長。A(x(0),y(0),z(0), B(x(),y(),z().在曲線C上任取一點G(x,y,z),如圖14.5.已知在點G的切線GT的切向量是,弧長微分ds是 .又有 .于是,就是曲線C在點G的切線GT的方向弦。設分別表示切線GT與x軸,y軸,z軸正向的交角,GT的方向余弦是,即 , 或 , (18)由(18)式,可將第二型曲線積分(16)化為第一型曲線積分,即. (19)注 P,Q,R,都是曲線C上點(x,y,z)的函數(shù),而,表示向著弧長增加方向的切線與x軸,y軸,z軸正向的夾
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