單位根檢驗(yàn)與結(jié)構(gòu)突變的理論方法及應(yīng)用

1、單位根檢驗(yàn)與結(jié)構(gòu)突變的理論、方法及應(yīng)用南開(kāi)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)博士生導(dǎo)師中國(guó)數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)會(huì)常務(wù)理事 張曉峒1典型隨機(jī)過(guò)程簡(jiǎn)述。在介紹單位根檢驗(yàn)之前，先認(rèn)識(shí)一下各種隨機(jī)過(guò)程的表現(xiàn)形式。（1）白噪聲過(guò)程（white noise，如圖1）。屬于平穩(wěn)過(guò)程。yt = ut, ut IID(0, s2)圖2是日元兌美元差分序列（收益序列），近似于白噪聲序列。（2）隨機(jī)游走過(guò)程（random walk，如圖3）。屬于非平穩(wěn)過(guò)程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, s2)圖4是深圳股票綜合價(jià)格收盤(pán)指數(shù)序列，近似于隨機(jī)游走過(guò)程。隨機(jī)游走的差分過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程（白噪聲過(guò)程）。Dyt = ut。

2、圖1 白噪聲序列（s2=1） 圖2 日元兌美元差分序列 圖3隨機(jī)游走序列（s2=1） 圖4深圳股票綜合指數(shù) 圖5 隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m = 0.1） 圖6 隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m = -0.1）“隨機(jī)游走”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷Pearson K. 和 Rayleigh L.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機(jī)游走問(wèn)題”。文中討論尋找一個(gè)被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點(diǎn)開(kāi)始搜索。（3）隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程（stochastic trend process）或差分平穩(wěn)過(guò)程（difference- stationary process）、有漂移項(xiàng)的非平穩(wěn)過(guò)程

3、（non-stationary process with drift）。見(jiàn)圖5和6。屬于非平穩(wěn)過(guò)程。yt = m + yt-1 + ut , ut IID(0, s2)迭代變換，yt = m + (m + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t += m t +因?yàn)殡S機(jī)趨勢(shì)過(guò)程是由一個(gè)確定性時(shí)間趨勢(shì)mt和一個(gè)隨機(jī)游走組合而成，所以隨機(jī)趨勢(shì)過(guò)程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主導(dǎo)，表現(xiàn)出很強(qiáng)的趨勢(shì)性。yt圍繞著mt變化，但不會(huì)回到mt。趨勢(shì)的方向完全由m的符號(hào)決定。m為正時(shí)，趨勢(shì)向上（見(jiàn)圖5）；m為負(fù)時(shí)，趨勢(shì)向下（見(jiàn)圖6）。對(duì)yt做一階差分，Dyt = m + ut，為平穩(wěn)過(guò)程。差分平穩(wěn)

4、過(guò)程由此得名。E(Dyt) = m。當(dāng)yt表示對(duì)數(shù)變量時(shí)，E(Dyt)表示平均增長(zhǎng)率。隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程的差分過(guò)程是平穩(wěn)過(guò)程。Dyt = m + ut 。 圖7 退勢(shì)平穩(wěn)序列（m =0, a=0.1） 圖8 確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)序列（m =0.1, a=0.1）（4）趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（trend-stationary process）或退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程（見(jiàn)圖7）。屬于非平穩(wěn)過(guò)程。 yt = m + a t + ut, ut IID(0, s2)因?yàn)樵撨^(guò)程是由確定性趨勢(shì)m + a t和平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程ut組成，所以稱(chēng)為趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程由確定性時(shí)間趨勢(shì)t所主導(dǎo)。減去確定性時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)at之后，過(guò)程變?yōu)槠椒€(wěn)

5、過(guò)程，所以也稱(chēng)退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程的差分過(guò)程是過(guò)度差分過(guò)程。Dyt = a + ut - ut-1 。所以應(yīng)該用退勢(shì)的方法獲得平穩(wěn)過(guò)程。yt - a t = m + ut。（5）確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程（non-stationary process with deterministic trend）（如圖8）。屬于非平穩(wěn)過(guò)程。 yt = m + a t + yt-1+ ut, ut IID(0, s2)確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程中含有隨機(jī)趨勢(shì)、確定性趨勢(shì)并含有單位根成分。過(guò)程由確定性時(shí)間趨勢(shì)所主導(dǎo)。減去確定性時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)之后，過(guò)程仍是非平穩(wěn)過(guò)程。這種過(guò)程的時(shí)間趨勢(shì)性比隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程和退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程

6、更強(qiáng)烈、明顯。 yt = m + a t + yt-1 + ut = m + a t + (m + a (t-1) + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + m t + a t 2 - a (1+2 + t) += y0 + m t + a t 2 -( 1+ t ) t += (m -) t +t 2 + (設(shè)定y0=0)含有隨機(jī)趨勢(shì)和確定性趨勢(shì)的混合隨機(jī)過(guò)程實(shí)際上是隨機(jī)游走加上一個(gè)時(shí)間t的2次方過(guò)程。這種過(guò)程在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中非常少見(jiàn)。 確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程的差分過(guò)程是退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，Dyt = m + a t + ut。確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程的退勢(shì)過(guò)程是非平穩(wěn)過(guò)程，yt - a t

7、 = m + yt-1+ ut。只有既差分又退勢(shì)才能得到平穩(wěn)過(guò)程，Dyt - a t = m + ut。圖9 對(duì)數(shù)的中國(guó)國(guó)民收入序列 圖10 中國(guó)人口序列圖9是對(duì)數(shù)的中國(guó)國(guó)民收入序列，近似于隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)序列和退勢(shì)平穩(wěn)序列。圖10是中國(guó)人口序列，近似于確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)序列。對(duì)于單位根過(guò)程（差分平穩(wěn)），每個(gè)隨機(jī)沖擊都具有長(zhǎng)記憶性，方差趨于無(wú)窮大，其均值概念變得毫無(wú)意義；對(duì)于退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，隨機(jī)沖擊只具有有限記憶能力，其影響會(huì)很快消失，由其引起的對(duì)趨勢(shì)的偏離只是暫時(shí)的。對(duì)退勢(shì)平穩(wěn)序列，只要正確估計(jì)出其確定性趨勢(shì)，即可實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期趨勢(shì)與平穩(wěn)波動(dòng)部分的分離。大量的實(shí)證研究顯示，不變價(jià)格的宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)序列為退勢(shì)平

8、穩(wěn)過(guò)程的可能性遠(yuǎn)大于名義價(jià)格的宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)序列。中國(guó)的GDP、固定資產(chǎn)投資和居民消費(fèi)等序列均為退勢(shì)平穩(wěn)序列。這意味著，改革開(kāi)放以來(lái)，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)雖然因?yàn)槭艿礁鞣N沖擊因素的影響而出現(xiàn)不同程度的偏離趨勢(shì)的上下波動(dòng)，但這種偏離是暫時(shí)的，從較長(zhǎng)時(shí)期來(lái)看，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)總體上沿著確定的均衡增長(zhǎng)路徑平穩(wěn)運(yùn)行。而隨機(jī)趨勢(shì)過(guò)程雖然也有長(zhǎng)期引力線(xiàn)，但其數(shù)據(jù)生成過(guò)程含有單位根，隨機(jī)沖擊對(duì)它具有持續(xù)的長(zhǎng)期影響。只有通過(guò)差分才能使其平穩(wěn)，屬于差分平穩(wěn)過(guò)程。例：給出對(duì)數(shù)的中國(guó)GDP序列如下。無(wú)論采取線(xiàn)性退勢(shì)，還是2次退勢(shì)，所得序列都是平穩(wěn)序列。 線(xiàn)性趨勢(shì) 2次趨勢(shì) ADF= -3.05 < ADF(0.05) = -1.

9、95 ADF= -4.36 < ADF(0.05) = -1.952單位根檢驗(yàn)步驟。單位根檢驗(yàn)做得不好常常會(huì)把退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程誤判為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程（隱性趨勢(shì)）和確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)（顯性趨勢(shì)）過(guò)程。檢驗(yàn)時(shí)間序列中是否含有單位根時(shí)常會(huì)碰到如下幾種問(wèn)題：（1）當(dāng)被檢驗(yàn)過(guò)程（d.g.p.）的形式未知時(shí)，應(yīng)該考慮到其中是否含有隨機(jī)的或確定性的時(shí)間趨勢(shì)成分。（2）被檢驗(yàn)過(guò)程（d.g.p.）的形式通常要比AR(1) 形式復(fù)雜，可能是高階自回歸過(guò)程或含有移動(dòng)平均成分。（3）當(dāng)被檢驗(yàn)隨機(jī)過(guò)程接近含有單位根但實(shí)為平穩(wěn)過(guò)程（特征根小于1，但接近1）時(shí)，在有限樣本、特別是小樣本條件下的單位根檢驗(yàn)結(jié)果容易接受原假設(shè)

10、，誤判為單位根過(guò)程，即檢驗(yàn)功效降低。（4）應(yīng)該注意的是當(dāng)被檢驗(yàn)過(guò)程中含有未發(fā)現(xiàn)的突變點(diǎn)時(shí)，常導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)易于接受零假設(shè)（非平穩(wěn)過(guò)程）。（5）對(duì)于季節(jié)隨機(jī)過(guò)程除了檢驗(yàn)零頻率單位根外，還要檢驗(yàn)季節(jié)單位根（不講）。 檢驗(yàn)單位根通常有3種方法。（1）DF（ADF）檢驗(yàn)法（Dickey-Fuller,1979）、（2）CRDW（cointegration regression DW）檢驗(yàn)法（Sargan-Bhargava,1983）、（3）PP（或Z）檢驗(yàn)法（Phillips,1987）。最常用的是DF（和ADF）檢驗(yàn)法。DF檢驗(yàn)式的一種形式是 yt = b yt-1 + ut , ut IID(0,

11、 s2) (1.a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量DF =或 D yt = r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (1.b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計(jì)量。檢驗(yàn)式(1.b)更常用。盡管DF計(jì)算公式與t統(tǒng)計(jì)量相同，但在H0：r = 0成立（yt非平穩(wěn)）條件下，DF不服從t分布，而服從DF分布。以b = 1的（1）式為數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)（d.g.p.），DF分布百分位數(shù)用蒙特卡羅模擬的方法得到（見(jiàn)表1第1部分）。檢驗(yàn)用臨界值從中查?。ㄕ訤uller（1976）。用（1）式檢驗(yàn)

12、單位根等價(jià)于先驗(yàn)認(rèn)定被檢驗(yàn)過(guò)程yt是一個(gè)零均值、無(wú)趨勢(shì)項(xiàng)的AR(1)過(guò)程。因?yàn)橹挥挟?dāng)一個(gè)含有單位根的隨機(jī)過(guò)程中不含有確定性變量，那么該過(guò)程的均值完全由初始值決定，所以y0 = 0?？梢?jiàn)，只有在一個(gè)過(guò)程的均值為零時(shí)，使用（1）式檢驗(yàn)單位根才是正確的。換句話(huà)說(shuō)，如果被檢驗(yàn)的過(guò)程的均值非零，就應(yīng)該首先減去這個(gè)均值，然后再用（1）式檢驗(yàn)單位根。但實(shí)際中，被檢驗(yàn)過(guò)程的均值一般是不知道的。所以，當(dāng)不知被檢驗(yàn)過(guò)程的均值是否為零，或不知其初始值y0是否為零時(shí)，應(yīng)該用下式檢驗(yàn)單位根。 yt = m + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2.a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗(yàn)統(tǒng)

13、計(jì)量DF =或 D yt = m +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (2b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計(jì)量。DF檢驗(yàn)臨界值應(yīng)從表1第2部分查找。條件是數(shù)據(jù)由b =1的（1）式生成，而DF檢驗(yàn)式是（2）式。注意，估計(jì)（2）式得到的 和DF的分布都不受y0取值的影響。這一點(diǎn)太重要了。否則必須先知道y0的值和DF分布才能進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。 表1 DF分布百分位數(shù)表DF檢驗(yàn)式 T a 0.01 0.025 0.05 0.10 0.90 0.95 0.975 0.99 25- 2.66- 2

14、.26- 1.95- 1.600.921.331.702.16 50- 2.62- 2.25- 1.95- 1.610.911.311.662.08 (a) 100- 2.60- 2.24- 1.95- 1.610.901.291.642.03檢驗(yàn)式 (1) 250- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.291.632.01 500- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 ¥- 2.58- 2.23- 1.95- 1.620.891.281.622.00 25- 3.75- 3.33- 3.00- 2.63- 0.370.0

15、00.340.72 50- 3.58- 3.22- 2.93- 2.60- 0.40- 0.030.290.66 (b) 100- 3.51- 3.17- 2.89- 2.58- 0.42- 0.050.260.63檢驗(yàn)式 (2) 250- 3.46- 3.14- 2.88- 2.57- 0.42- 0.060.240.62 500- 3.44- 3.13- 2.87- 2.57- 0.43- 0.070.240.61 ¥- 3.43- 3.12- 2.86- 2.57- 0.44- 0.070.230.60 25- 4.38- 3.95- 3.60- 3.24- 1.14- 0.8

16、0- 0.50- 0.15 50- 4.15- 3.80- 3.50- 3.18- 1.19- 0.87- 0.58- 0.24 (c) 100- 4.04- 3.73- 3.45- 3.15- 1.22- 0.90- 0.62- 0.28檢驗(yàn)式 (3) 250- 3.99- 3.69- 3.43- 3.13- 1.23- 0.92- 0.64- 0.31 500- 3.98- 3.68- 3.42- 3.13- 1.24- 0.93- 0.65- 0.32 ¥- 3.96- 3.66- 3.41- 3.12- 1.25- 0.94- 0.66- 0.33 t(¥) N(0

17、,1)- 2.33- 1.96- 1.65- 1.281.281.651.962.33 注：1. 適用于DF檢驗(yàn)式(1), (2) 和 (3)。T：樣本容量，a：檢驗(yàn)水平。 2. d.g.p.是yt = yt-1 + ut , ut IID(0, s2)。 3. 摘自Fuller (1976) 第373頁(yè)。 DF檢驗(yàn)式（2）中t()的分布見(jiàn)圖11。t()不再服從t分布。可見(jiàn)對(duì)m的顯著性檢驗(yàn)也應(yīng)該用蒙特卡羅模擬結(jié)果計(jì)算。T = 50條件下，臨界值t()0.05 = -2.57，臨界值t()0.95 = 2.51。 圖11 t()統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬（T =50，模擬1萬(wàn)次） 當(dāng)真實(shí)的隨機(jī)過(guò)程

18、如（2）式時(shí)，就不能用（2）式檢驗(yàn)單位根了。因?yàn)楫?dāng) r = 0時(shí)，yt是一個(gè)隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。根據(jù)m的符號(hào)（正或負(fù)）分別呈向上或向下的固定趨勢(shì)變化。當(dāng)r < 0時(shí)，yt是一個(gè)以m / (-r )為均值的平穩(wěn)過(guò)程，不含有趨勢(shì)分量。所以這種條件下，用（2）式檢驗(yàn)單位根就沒(méi)有辦法包括零假設(shè)和備擇假設(shè)所有可能結(jié)果即不能包括退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，yt = m +at + ut (3)所以有必要在檢驗(yàn)式中加入確定性時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)at，即用下式檢驗(yàn)單位根。 yt = m +at + b yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4a)H0：b =1，H1：b <1。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量DF =或 D y

19、t = m +at +r yt-1 + ut , ut IID(0, s2) (4b)其中r = b -1。H0：r = 0，H1：r < 0。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量DF =。其中和分別表示b 和r 的OLS估計(jì)量。原假設(shè)： a = 0，r = 0；原假設(shè)之一：a = 0，r ¹ 0（平穩(wěn)過(guò)程）；原假設(shè)之一：a ¹ 0，r ¹ 0（退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程）；DF檢驗(yàn)臨界值應(yīng)從表1第3部分查找。條件是數(shù)據(jù)由b =1的（1）式生成，而DF檢驗(yàn)式是（4）式。DF檢驗(yàn)式（4）中t(), t()統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬結(jié)果見(jiàn)圖12。t(), t()的分布近似相同，但服從的不是t分布，所以不

20、能用通常的t分布臨界值做顯著性檢驗(yàn)。T =100條件下，臨界值t()0.05 = -2.80，臨界值t()0.95 =2.87；臨界值t()0.05 = -2.89，臨界值t()0.95 =2.66。 圖12 t(), t()統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬（T =100，模擬1萬(wàn)次）圖13 （1）、（2）、（4）式中DF分布的蒙特卡羅模擬（T =50，模擬1萬(wàn)次）與正態(tài)分布曲線(xiàn)數(shù)據(jù)由b =1的（1）式生成，而DF檢驗(yàn)式是（1）、（2）、（4）的DF分布的蒙特卡羅模擬結(jié)果見(jiàn)圖13。從圖13和表1都可以看出檢驗(yàn)式中隨著m和at項(xiàng)的加入，相應(yīng)的DF分布或臨界值逐漸向左移，即臨界值相應(yīng)變小?？梢?jiàn)在不正確地使

21、用了缺少m和at項(xiàng)的檢驗(yàn)式將導(dǎo)致以過(guò)大的概率拒絕零假設(shè)。檢驗(yàn)式中加入的確定性成分越多，這種情形越嚴(yán)重。注意：（4）式中的r 和DF的分布不受y0和m值的影響。若實(shí)際過(guò)程是（4）式（同時(shí)存在隨機(jī)趨勢(shì)和確定性趨勢(shì)）。這時(shí)應(yīng)該用帶有t2趨勢(shì)項(xiàng)的檢驗(yàn)式檢驗(yàn)單位根。但實(shí)際中可以排除這種情形。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)序列在取對(duì)數(shù)的情況下不可能含有t2的增長(zhǎng)趨勢(shì)。注意：也可以對(duì)（4）式進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)，H0：a =r =0。但所用的F統(tǒng)計(jì)量不再服從F分布。而服從如表2的分布。對(duì)于檢驗(yàn)式（4），若r =0不能被拒絕，但F檢驗(yàn)的零假設(shè)a =r =0被拒絕，這意味著a ¹0，則yt是一個(gè)確定趨勢(shì)加單位根過(guò)程。這時(shí)隨機(jī)單位根

22、過(guò)程完全被確定性趨勢(shì)t所主導(dǎo)，對(duì)應(yīng)于r的DF統(tǒng)計(jì)量漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這時(shí)應(yīng)該查t分布或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值表。表2 對(duì)（4）式進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)H0：a =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.99250.760.901.081.335.917.248.6510.61500.760.931.111.375.616.737.819.311000.760.941.121.385.476.497.448.732500.760.941.131.395.396.347.258.435000.760.941.131.395.366.307.208.340.7

23、70.941.131.395.346.257.168.27s.e.0.0040.0040.0030.0040.0150.0200.0320.058摘自：Dickey-Fuller（1981）對(duì)于（2）式也可能發(fā)生類(lèi)似情形。當(dāng)r =0被接受，F(xiàn)檢驗(yàn)的零假設(shè)m =r =0被拒絕，這意味著m ¹0，于是非平穩(wěn)單位根過(guò)程被隨機(jī)趨勢(shì)主導(dǎo)。對(duì)應(yīng)于r的DF統(tǒng)計(jì)量漸近服從t分布。對(duì)（2）式進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)，H0：m =r =0。但所用的F統(tǒng)計(jì)量不再服從F分布。實(shí)際分布見(jiàn)表3。表3 對(duì)（2）式進(jìn)行聯(lián)合檢驗(yàn)H0：m =r =0的F分布表T1-a0.010.0250.050.100.900.950.9750.

24、99250.290.380.490.654.125.186.307.88500.290.390.500.663.944.865.807.061000.290.390.500.673.864.715.576.702500.300.390.510.673.814.635.456.525000.300.390.510.673.794.615.416.470.300.400.510.673.784.595.386.43s.e.0.0020.0020.0020.0020.010.020.030.05摘自：Dickey-Fuller（1981）注意：當(dāng)上述兩種F檢驗(yàn)的結(jié)論是拒絕零假設(shè)H0：m =r =0（

25、對(duì)應(yīng)（2）式），a =r =0（對(duì)應(yīng)（4）式）時(shí)，分別為m ¹0，r =0；a ¹0，r =0。被檢驗(yàn)的真實(shí)過(guò)程和檢驗(yàn)式具有了相同的形式（非平穩(wěn)過(guò)程且含有確定性成分）。此時(shí)稱(chēng)檢驗(yàn)為準(zhǔn)確檢驗(yàn)（exact test），而利用DF統(tǒng)計(jì)量臨界值的檢驗(yàn)稱(chēng)作近似檢驗(yàn)（similar test，含義是可以用t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)）。使用準(zhǔn)確檢驗(yàn)時(shí)有兩點(diǎn)需要注意：（1）只有當(dāng)待檢驗(yàn)d.g.p.中有非零漂移項(xiàng)（或趨勢(shì)項(xiàng)），而相應(yīng)DF（ADF）檢驗(yàn)式中也含有漂移項(xiàng)（或趨勢(shì)項(xiàng)）時(shí)，DF（ADF）統(tǒng)計(jì)量才漸近服從t分布。比如d.g.p.中不含有趨勢(shì)項(xiàng)，而相應(yīng)DF（ADF）檢驗(yàn)式中含有趨勢(shì)項(xiàng)，這意味著應(yīng)該使用

26、DF分布的臨界值。因?yàn)橐话悴桓冶ＷC對(duì)DF（ADF）檢驗(yàn)式的設(shè)定完全與d.g.p.形式吻合，所以在實(shí)際中使用DF分布的臨界值更安全些。（2）Banerjee等認(rèn)為，盡管當(dāng)DF（ADF）檢驗(yàn)式中含有漂移項(xiàng)或（和）趨勢(shì)項(xiàng)，樣本容量T時(shí)，使用t分布臨界值要好些，但在有限樣本條件下，還是使用DF分布的臨界值做單位根檢驗(yàn)更好些。（3）當(dāng)在檢驗(yàn)式中不適當(dāng)?shù)囟嗉右恍┐_定項(xiàng)（如漂移項(xiàng)m，趨勢(shì)項(xiàng)t等），盡管真實(shí)的過(guò)程是平穩(wěn)的，DF檢驗(yàn)仍將以更大的概率接受原假設(shè)（非平穩(wěn)），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)功效降低。（4）因?yàn)閷?duì)于檢驗(yàn)式（1）、（2）、（4），DF檢驗(yàn)臨界值越來(lái)越向左移，說(shuō)明檢驗(yàn)式中增加確定項(xiàng)，使臨界值變得越來(lái)越?。ń^對(duì)

27、值變得越來(lái)越大）。盡管d.g.p.是平穩(wěn)的，但檢驗(yàn)結(jié)果卻很難拒絕原假設(shè)（非平穩(wěn)）。（5）盡管增加多余參數(shù)會(huì)降低檢出平穩(wěn)序列的功效，當(dāng)被檢驗(yàn)過(guò)程的真實(shí)形式未知時(shí)，仍建議用（4）式（盡量多含確定性項(xiàng)）檢驗(yàn)單位根。因?yàn)槿绻麢z驗(yàn)式中確定項(xiàng)（漂移項(xiàng)或趨勢(shì)項(xiàng)）不足，將不能把原假設(shè)和備擇假設(shè)的所有情形都包括在假設(shè)中。給出單位根檢驗(yàn)順序如下。首先從（4）式開(kāi)始。若檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕原假設(shè)，序列具有平穩(wěn)性，檢驗(yàn)結(jié)束。若不能拒絕原假設(shè)，則逐步剔除趨勢(shì)項(xiàng)和漂移項(xiàng)（即增加約束條件）直至拒絕原假設(shè)為止。若一直不能拒絕原假設(shè)，說(shuō)明原序列是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程。具體檢驗(yàn)步驟見(jiàn)表4。表4 被檢驗(yàn)過(guò)程（d.g.p.）未知條件下的單位根檢

28、驗(yàn)步驟DF單位根檢驗(yàn)式統(tǒng)計(jì)量說(shuō)明1Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。若接受H0，進(jìn)入下一步，做F檢驗(yàn)。2Dyt = m +at +r yt-1 + utH0：a =r =0F若拒絕H0，意味著a ¹0，yt含時(shí)間趨勢(shì)。繼續(xù)做3a式檢驗(yàn)。若接受H0，進(jìn)一步做3 b式檢驗(yàn)。3aDyt = m +at +r yt-1 + utH0：r =0t若拒絕H0，yt為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。若接受H0，yt為趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。3bDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為均值為m的平穩(wěn)過(guò)程。檢

29、驗(yàn)止。若接受H0：r =0，進(jìn)入下一步檢驗(yàn)。4Dyt = m +r yt-1 + utH0：m =r =0F若拒絕H0，意味著m ¹0，yt為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。繼續(xù)做5a式檢驗(yàn)。若接受H0：m =r =0，進(jìn)一步做5 b式檢驗(yàn)。5aDyt = m +r yt-1 + utH0：r =0t若拒絕H0，yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。若接受H0，yt為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。5bDyt = r yt-1 + utH0：r =0DF若拒絕H0，yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。若接受H0，yt為隨機(jī)游走過(guò)程。檢驗(yàn)止。DF檢驗(yàn)流程圖如圖13。(1) 檢驗(yàn)式y(tǒng)t為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。 若拒絕H0 若接受H0

30、yt為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。式(3a) 檢驗(yàn)式進(jìn)入(2) 檢驗(yàn)式。 做F檢驗(yàn) (2) 檢驗(yàn)式 若拒絕H0 若拒絕H0 若接受H0yt為趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。式 若接受H0進(jìn)入(3b) 檢驗(yàn)式 yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。 若拒絕H0若接受H0進(jìn)入(4) 檢驗(yàn)式。 yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。 (5a) 檢驗(yàn)式 若拒絕H0 若拒絕H0 若接受H0 若接受H0yt為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。 進(jìn)入(5b) 檢驗(yàn)式 若拒絕H0yt為平穩(wěn)過(guò)程。檢驗(yàn)止。 若接受H0 隨機(jī)游走過(guò)程。檢驗(yàn)止。 圖13 單位根檢驗(yàn)流程圖3ADF檢驗(yàn)如果被檢驗(yàn)的真實(shí)過(guò)程是一個(gè)AR(p) 過(guò)程，而檢驗(yàn)式是AR(1)形式，那么由于對(duì)y

31、t形式的設(shè)定錯(cuò)誤，檢驗(yàn)式對(duì)應(yīng)的誤差項(xiàng)必然表現(xiàn)為自相關(guān)。因?yàn)榧俣z驗(yàn)式誤差項(xiàng)是非自相關(guān)的，所以當(dāng)誤差項(xiàng)具有相關(guān)性時(shí)，回歸參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不再服從DF分布。假定yt是AR(p) 過(guò)程，yt = f1 yt-1 + f2 yt-2 + + f p yt-p + u t 檢驗(yàn)式應(yīng)寫(xiě)為yt = b yt-1 + + ut Dyt = r yt-1 + + ut (5)其中r = b -1 = ()-1，fj* = -, j = 1, 2, , p 1。如果r = 0成立，則yt含有單位根。稱(chēng)此檢驗(yàn)為ADF（增項(xiàng)或擴(kuò)展的DF）檢驗(yàn)。稱(chēng)此統(tǒng)計(jì)量為ADF統(tǒng)計(jì)量。檢驗(yàn)用臨界值從附表6的第1部分中查找。注意，只有

32、在樣本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的臨界值。因?yàn)樵谛颖緱l件下ADF分布與DF分布不一樣。與上面的討論相仿，在A(yíng)DF檢驗(yàn)式（5）中也可以加入漂移項(xiàng)m 和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)t。檢驗(yàn)用臨界值從表1的2、3部分中查找。同理這些臨界值也是在樣本容量充分大的前提下才可用。對(duì)于下式 Dyt = r yt-1 +m + ut (6)原假設(shè)認(rèn)為yt是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，備擇假設(shè)認(rèn)為yt是一個(gè)均值非零的平穩(wěn)過(guò)程。對(duì)于下式 Dyt = r yt-1 +m +a t + ut (7)原假設(shè)認(rèn)為yt是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，備擇假設(shè)認(rèn)為yt是一個(gè)確定性趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。ADF檢驗(yàn)式（5）、（6）、（7）也可以擴(kuò)展到d.g.p

33、.帶有移動(dòng)平均成分的情形。只要檢驗(yàn)式中的附加項(xiàng)Dyt-j充分多，就能夠?qū)RMA(p,q)形式的yt做很好的近似，從而保證ut為白噪聲。因?yàn)閷?shí)際中yt的具體形式未知，所以差分滯后項(xiàng)Dyt-j個(gè)數(shù)的選擇非常重要。滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)太少，會(huì)導(dǎo)致當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，拒絕原假設(shè)的概率變大。當(dāng)滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)太多時(shí)，又會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)功效降低（當(dāng)備擇假設(shè)為真時(shí)，檢出的概率變低）。有人主張通過(guò)附加項(xiàng)是否具有顯著性以及調(diào)整的可決系數(shù)確定ADF檢驗(yàn)式中差分滯后項(xiàng)的個(gè)數(shù)。如果是線(xiàn)性檢驗(yàn)式，這種判別方法與赤池準(zhǔn)則是等價(jià)的。也有人認(rèn)為用調(diào)整的可決系數(shù)判別滯后項(xiàng)數(shù)不盡如人意。各種形式（ARMA、AR、MA）的yt的蒙特卡羅試驗(yàn)結(jié)果顯示這種判

34、別方法存在一些問(wèn)題。所以Schwert建議用下式確定最佳滯后期數(shù)k。k = int12(T/100)1/4其中int表示整數(shù)（比一般想象的要多）。 例1：日本人口序列的單位根檢驗(yàn)圖14 日本人口序列Dyt = -0.0250 yt-1 -0.2098Dyt-1 +0.0092 +0.00025 t + ut(-2.6)* (2.3) (3.6) (3.1)R2=0.23, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.45, t=1, (1878年), T=119因?yàn)闀r(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的t值是3.1，有顯著性（有確定性時(shí)間趨勢(shì)），ADF=-2.6，無(wú)顯著性，所以，日本人口序列為趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。例2：深

35、圳綜合成指收盤(pán)價(jià)序列如圖15。檢驗(yàn)是何種過(guò)程。圖15 深圳綜合成指收盤(pán)價(jià)序列首先按（4）式估計(jì)，Dyt = -0.0004 yt-1 +0.4100 -0.0030 t + ut(-0.1)* (0.7) (-1.0) R2=0.006, DW=2.0, ADF(0.05) = -3.42, T=660因?yàn)闀r(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的t值是-1.0，無(wú)顯著性（無(wú)確定性時(shí)間趨勢(shì)），DF=-0.1，接受H0，進(jìn)一步按（2）式估計(jì)，Dyt = -0.0050 yt-1 +2.8541 + ut(-1.8)* (1.9) R2=0.005, DW=2.0, ADF(0.05) = -2.87, T=660因?yàn)镈F=-

36、1.8，接受H0，漂移項(xiàng)的t值是1.9，無(wú)顯著性（無(wú)隨機(jī)時(shí)間趨勢(shì)），進(jìn)一步按（1）式估計(jì)，Dyt = -0.0002 yt-1 + ut(0.4)* R2=0.00-6, DW=2.0, ADF(0.05) = -1.94, T=660因?yàn)镈F = 0.4 > -1.94，接受H0。深圳綜合成指收盤(pán)價(jià)序列是單位根過(guò)程（非平穩(wěn)）。3多重單位根的檢驗(yàn)方法 若yt含有多重單位根，當(dāng)對(duì)yt做單位根檢驗(yàn)，結(jié)論必然是接受H0，說(shuō)明yt是非平穩(wěn)序列（起碼為一階非平穩(wěn)序列）。接下來(lái)應(yīng)該繼續(xù)檢驗(yàn) D yt 的平穩(wěn)性。檢驗(yàn)式是 D 2 yt = r D yt-1 + ut (8)H0：r=0。若仍不能拒絕原

37、假設(shè)，則應(yīng)該繼續(xù)對(duì)D2yt序列做單位根檢驗(yàn)。直至結(jié)論為平穩(wěn)序列為止。從而獲知 yt 為幾階單整序列。例如對(duì)D2yt序列的單位根檢驗(yàn)結(jié)論是D2yt I(0)，則yt I(2)。 Dickey and Pantula（1987）對(duì)此提出異議。他們認(rèn)為當(dāng)yt I(2)時(shí)，備擇選擇是yt I(1)，而單位根檢驗(yàn)的備擇假設(shè)是yt I(0)。出現(xiàn)了不一致。這時(shí)需要檢驗(yàn)的是D yt 是否為平穩(wěn)序列。所以正確的檢驗(yàn)程序應(yīng)該是首先對(duì)yt取足夠次數(shù)的差分，從而保證被檢驗(yàn)序列為平穩(wěn)序列。然后每次用減少一次差分次數(shù)的序列依次進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。直至接受原假設(shè)為止。從而判斷出yt的單整階數(shù)。當(dāng)yt I(2)時(shí)，D2yt I

38、(0)。首先應(yīng)該做如下檢驗(yàn)， D 2 yt = r D yt-1 + ut (9)如果結(jié)論是接受原假設(shè)，則yt I(2)有兩個(gè)單位根。如果結(jié)論是拒絕原假設(shè)，則Dyt I(0)，yt I(1)。這種檢驗(yàn)順序才合理。實(shí)際中，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的單整階數(shù)不會(huì)超過(guò)2。所以對(duì)序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)的順序應(yīng)該是D2 yt，D yt，yt。Dickey and Pantula基于蒙特卡羅模擬的結(jié)論顯示，當(dāng)序列yt含有多重單位根時(shí)，從yt開(kāi)始檢驗(yàn)單位根，則拒絕原假設(shè)的能力有所下降。4單位根檢驗(yàn)水平與功效在單位根檢驗(yàn)中正確設(shè)定檢驗(yàn)式的形式是非常重要的，另外差分滯后項(xiàng)數(shù)的多少也會(huì)對(duì)檢驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。有些因素會(huì)對(duì)單位根檢驗(yàn)的

39、功效和樣本容量的不同產(chǎn)生影響，特別是小樣本情形下的單位根檢驗(yàn)。為得出滿(mǎn)意的檢驗(yàn)結(jié)果，單位根檢驗(yàn)的樣本容量不宜太小，統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)功效要高（即當(dāng)原假設(shè)不成立時(shí)，結(jié)論應(yīng)是推翻原假設(shè)）。但是在有限樣本條件下，退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程可以用單位根過(guò)程近似（自協(xié)方差結(jié)構(gòu)很相似），同樣，在小樣本條件下，任何一個(gè)單位根過(guò)程也可以用退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程近似。也就說(shuō)單位根過(guò)程的有限樣本特征更接近于（平穩(wěn)）白噪聲過(guò)程，而不是非平穩(wěn)的隨機(jī)游走（同時(shí)退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程的有限樣本特征更像一個(gè)隨機(jī)游走）。這意味著當(dāng)以高功效拒絕備擇假設(shè)（平穩(wěn)過(guò)程）的同時(shí)，對(duì)近似平穩(wěn)過(guò)程進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)同樣會(huì)以高概率不正確地拒絕單位根原假設(shè)。這種結(jié)論來(lái)自于特殊的退勢(shì)平

40、穩(wěn)過(guò)程和近似于退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程實(shí)為差分平穩(wěn)過(guò)程的有限樣本統(tǒng)計(jì)量的分布。Blough認(rèn)為在樣本容量和檢驗(yàn)功效方面不可兼得。當(dāng)d.g.p.是一個(gè)近似平穩(wěn)過(guò)程（小樣本容量特性）時(shí)，單位根檢驗(yàn)必定以高概率錯(cuò)誤地拒絕非平穩(wěn)原假設(shè)，同時(shí)以低功效拒絕任何序列平穩(wěn)的備擇假設(shè)。有限樣本條件下的非平穩(wěn)和平穩(wěn)過(guò)程單位根檢驗(yàn)結(jié)果的這種類(lèi)似性源自于A(yíng)DF統(tǒng)計(jì)量漸近分布臨界值。當(dāng)考慮增項(xiàng)ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布時(shí)，用的卻是理想狀態(tài)下DF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近分布臨界值這也是產(chǎn)生上述問(wèn)題的一個(gè)原因。Harris(1992b)建議用自舉的方法處理單位根的ADF檢驗(yàn)。5結(jié)構(gòu)突變與單位根檢驗(yàn)Perron指出，如果被檢驗(yàn)過(guò)程是一個(gè)退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程

41、，并且在考慮的期間內(nèi)存在趨勢(shì)結(jié)構(gòu)突變。如果不考慮這種趨勢(shì)突變，當(dāng)用ADF統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)單位根時(shí)，將會(huì)把一個(gè)帶趨勢(shì)突變的退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程誤判為隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程。即進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)不考慮結(jié)構(gòu)突變，會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)功效降低（實(shí)為退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程，檢驗(yàn)結(jié)果卻認(rèn)為是單位根過(guò)程）。同樣，當(dāng)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)時(shí)，不考慮漂移項(xiàng)存在突變，或不考慮趨勢(shì)項(xiàng)、漂移項(xiàng)同時(shí)存在突變，也會(huì)導(dǎo)致單位根檢驗(yàn)功效降低。結(jié)構(gòu)突變的兩種形式。 例3：有T=100的均值突變平穩(wěn)過(guò)程yt如圖16。ADF檢驗(yàn)式估計(jì)結(jié)果是圖16 平穩(wěn)加均值突變過(guò)程Dyt = -0.0119 yt-1 -0.3656 Dyt-1 + ut(-0.5)* (-3.8) R2=0.

42、14, DW=2.07, ADF(0.05) = -1.94,T=100由于A(yíng)DF檢驗(yàn)式?jīng)]有考慮均值突變，檢驗(yàn)結(jié)果yt是單位根過(guò)程。用虛擬變量（D=0，（1-50）；D=1，（51-100）區(qū)別突變前后兩個(gè)時(shí)期，得ADF檢驗(yàn)式如下：Dyt = -0.9499 yt-1 + 0.0126 Dyt-1 + 0.2714 + 7.3115 D + ut(-5.9)* (-0.1) (1.5) (5.7) R2 = 0.37, DW=1.84, ADF(0.05) = -1.94,T=100因?yàn)锳DF= -5.9 < -1.94，所以，yt為帶有均值突變的退勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程。5.1外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)的檢

43、驗(yàn)方法結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)已知時(shí)，稱(chēng)其為外生性結(jié)構(gòu)突變點(diǎn)。假定發(fā)生結(jié)構(gòu)突變的時(shí)點(diǎn)已知為tB，則發(fā)生在截距的突變?yōu)閙0+m1Dt，其中Dt = 1， t>tB時(shí)；Dt = 0， t<tB時(shí)；即在t > tB時(shí)，截距由m0突變到m0+m1。若單位根過(guò)程具有這種截距突變，即yt = m0+m1Dt +yt-1+ut, ut I(0) ，則稱(chēng)yt為具有結(jié)構(gòu)突變的單位根過(guò)程。然而這種結(jié)構(gòu)突變也有可能發(fā)生在時(shí)間趨勢(shì)上或二者都有可能發(fā)生結(jié)構(gòu)突變。為方便計(jì)，截距突變對(duì)應(yīng)的模型為：模型A： yt = m0+m1Dt +d t-1+ut, （3.5）當(dāng)ut I(1)時(shí)，稱(chēng)yt由結(jié)構(gòu)變化的單位根過(guò)程所生成，

44、這一模型亦稱(chēng)崩潰模型。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)變化之后，yt的均值軌跡不再返回結(jié)構(gòu)變化之前的均值軌跡。當(dāng)突變發(fā)生在斜率而截距不變時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型為：模型B： yt = m0 +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.6）其中t*= t- tB， t> tB時(shí)；t*=0， t< tB時(shí)。由于斜率反映增長(zhǎng)率，因此也稱(chēng)模型B為變化的增長(zhǎng)率模型。當(dāng)截距和斜率同時(shí)具有結(jié)構(gòu)突變時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型為：模型C： yt = m0 +m1Dt +d 0 t +d 1 t* + ut, （3.7）對(duì)于模型A，B，C，原假設(shè)和備擇假設(shè)為：H0：ut I(1)， H1：ut I(0)當(dāng)ut I(1)時(shí)，yt為結(jié)構(gòu)突變的

45、單位根過(guò)程，而ut I(0)時(shí)，yt為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程?；谏鲜龇治鼋Y(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)就轉(zhuǎn)化為對(duì)退化趨勢(shì)之后的殘差的單位根檢驗(yàn)，其具體的檢驗(yàn)步驟和方法如下：第一步：退化趨勢(shì)。即根據(jù)數(shù)據(jù)特征或研究目的在模型A，B，C中選擇一個(gè)，然后進(jìn)行回歸，得到的殘差記做。第二步：用對(duì)-1回歸。此時(shí)即使回歸后的殘差是獨(dú)立同分布的，但是Perron（1989）證明，r的分布并不是標(biāo)準(zhǔn)的DF分布，而是與變化的時(shí)間先后l = tB/T有關(guān)，因此不宜直接使用DF臨界值來(lái)確認(rèn)r=1。另一方面，對(duì)大多數(shù)實(shí)際數(shù)據(jù)，退化趨勢(shì)后的具有相關(guān)性，因此應(yīng)該進(jìn)一步考慮使用ADF檢驗(yàn)。第三步：對(duì)作ADF檢驗(yàn)，即回歸下式 （3.8）

46、第四步：計(jì)算r=1的t統(tǒng)計(jì)量值t(r)，并使用Perron的臨界值確定接受還是拒絕r=1。若接受則yt為結(jié)構(gòu)突變的單位根；若拒絕則為結(jié)構(gòu)突變的趨勢(shì)平穩(wěn)。表8 結(jié)構(gòu)突變的單位根檢驗(yàn)的漸近臨界值模型統(tǒng)計(jì)量顯著性水平0.010.0250.050.100.900.950.9750.99模型A-4.32-4.01-3.76-3.46-1.17-0.79-0.49-0.15-5.43-5.02-4.80-4.58-2.99-2.77-2.56-2.36模型B-4.49-4.17-3.93-3.65-1.80-1.47-1.21-0.85-4.91-4.60-4.36-4.09-2.32-2.12-1.97

47、-1.78模型C-4.90-4.53-5.24-3.96-1.96-1.69-1.43-1.07-5.57-5.30-5.08-4.82-3.25-3.06-2.91-2.72數(shù)據(jù)來(lái)源：B.Bhaskaro,Rao,1994.Perron使用仿真試驗(yàn)證明，若l=0或l=1，即無(wú)結(jié)構(gòu)突變發(fā)生時(shí)，t統(tǒng)計(jì)量的臨界值等同于DF臨界值；在0<l<1時(shí)，Perron的臨界值與DF的臨界值有所差別，其中最大的差別在l=0.5時(shí)，當(dāng)顯著水平為5時(shí)，Perron的臨界值為-3.76，而對(duì)應(yīng)的DF臨界值為 -3.41（4）式T®¥情形），相差0.35。Perron的臨界值均小于相應(yīng)

48、的DF臨界值，但最大只相差0.35。因此，只要第三步的ADF檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量值t(r)與對(duì)應(yīng)的DF臨界值相差大于0.35，則基于DF臨界值的結(jié)論一般不會(huì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的錯(cuò)誤。因此在實(shí)證研究中，當(dāng)突變點(diǎn)已知且l ¹0.5時(shí)通常使用DF臨界值，而當(dāng)l=0.5時(shí)，如果t統(tǒng)計(jì)量值介于DF臨界值和Perron臨界值之間，則DF臨界值拒絕單位根零假設(shè)，而Perron臨界值接受單位根零假設(shè)。在這種情況下可以使用更高的顯著性水平或者使用Perron的臨界值（見(jiàn)表1）。 例4：中國(guó)對(duì)數(shù)的M0序列見(jiàn)圖17。ADF檢驗(yàn)式是圖17 中國(guó)對(duì)數(shù)的M0序列DLMt = -0.0308 LMt-1 + 0.1663DLM

49、t-1 +0.1176 +0.0070 t + (-0.7)* (1.1) (0.9) (1.4) R2=0.16, DW=1.96, ADF(0.05) = -3.51因?yàn)闀r(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的t值是1.4，無(wú)顯著性（無(wú)確定性時(shí)間趨勢(shì)），ADF=-0.7，接受H0，進(jìn)一步按（2）式估計(jì)（去掉趨勢(shì)項(xiàng)），DLMt = 0.0237 LMt-1 + 0.1350DLMt-1 -0.0285 + (1.8)* (0.9) (-0.4) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -2.93因?yàn)锳DF=1.8，接受H0，漂移項(xiàng)的t值是-0.4，無(wú)顯著性（無(wú)隨機(jī)時(shí)間趨勢(shì)），進(jìn)一步按（1）式估計(jì)（去

50、掉漂移項(xiàng)），DLMt = 0.0191 LMt-1 + 0.1399DLMt-1 + (4.0)* (0.9) R2=0.12, DW=1.92, ADF(0.05) = -1.95ADF = 4.0。三個(gè)檢驗(yàn)式都說(shuō)明LMt是一個(gè)單位根過(guò)程。若以1978年為結(jié)構(gòu)突變年，令D=0, (1953-1977)；D=1, (1978-1997)；1952年，t =1。得帶有趨勢(shì)突變點(diǎn)的ADF檢驗(yàn)式如下：DLMt = -0.4268 LMt-1 +1.6704 +0.0244 t -1.6881 D +0.0655D t + (-3.7)* (4.1) (2.9) (-3.4) (3.8)R2=0.43,