十一章習題解答

1、習題 11-1判別下列級數的斂散性：1. ； 2.；3. ； 4. ；5.；6.；7. ；8.解：1.， 而調和級數是發(fā)散的，故級數發(fā)散；2.，故級數發(fā)散；3因為級數收斂，而級數發(fā)散，故原級數發(fā)散；4因為，所以原級數發(fā)散；5.因為故原級數收斂；6.故級數發(fā)散。7.因為，故原級數發(fā)散；8.對于任意的自然數所以對于任意給定的正數，取自然數，則當時，對于任意的自然數都有成立。按柯西審斂原理該級數是收斂。習題 11-21.用比較判別法判別下列級數的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解（1）由于而級數收斂，根據比較判別法原級數收斂。（2）由于而幾何級數收斂，根據比較判別法

2、原級數收斂。（3）因為，而發(fā)散，故原級數發(fā)散；（4），而級數收斂，故原級數收斂；（5）時， 此時級數收斂，時此時級數發(fā)散；（6），而級數收斂，所以原級數收斂。2.用比值判別法或根式判別法判別下列級數的斂散性： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）.解（1），故級數收斂；（2），故級數收斂；（3），故級數收斂；（4），故級數發(fā)散；（5），故時收斂，時發(fā)散。習題 11-3下列級數哪些是絕對收斂、條件收斂或發(fā)散的： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）.解：（1）由于而級數收斂，根據優(yōu)級數判別法原級數絕對收斂。（2）因為，所以級數發(fā)散；（3）因為當時，而收斂，故原級數絕對

3、收斂；當時，令 ，則 而 ，從而當充分大時，又 ，由萊布尼茨判別法知級數條件收斂；當時，故此時級數發(fā)散。（4）因為 而級數發(fā)散，即原級數不絕對收斂，但單調遞減且收斂于0，所以由萊布尼茨判別法知級數條件收斂。（5）由于級數發(fā)散，收斂，故原級數發(fā)散。（6）因為 ，而時級數顯然收斂，故原級數時絕對收斂，時發(fā)散。習題 11-41. 研究級數在區(qū)間上的收斂性和一致收斂性.解：級數前項的和 ，由于所以級數收斂，但， 所以級數在區(qū)間上一致收斂。 2.按定義討論下列函數列或級數在所給區(qū)間上的一致收斂性： （1）； （2）； （3）.解：（1）由于 ，所以，于是 即（2）由于對任意的有 因 ， 故 于是 （3）

4、由于對任意的有 在， 因， 故 于是 在上，故 ，于是在不一致收斂。3. 利用魏爾斯特拉斯判別法證明下列級數在所給區(qū)間上的一致收斂性： (1); (2); (3); (4)解：（1）設則是正項級數，且有 即 收斂，而對，有，故由優(yōu)級數判別法知在上一致收斂。（2）當時，有，且 因此當，即時，收斂，故由優(yōu)級數判別法知在上一致收斂而當時，即時，由于所以在上不一致收斂。（3）由于 ，而收斂，故由判別法知在上一致收斂。（4）由于 ，而收斂，故由判別法知在上一致收斂。.習題 11-51.求下列冪級數收斂域：（1） ；（2）；（3）；（4）解：，所以當時冪級數收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數收斂

5、；當時級數為發(fā)散。故此冪級數的收斂域為。（2），所以當，即時冪級數收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數收斂，故此冪級數的收斂域為（3），所以當，即時冪級數收斂，當時發(fā)散。而當時其通項不收斂到0知級數發(fā)散，故此冪級數的收斂域為（4）， 所以當，即時冪級數收斂，當時發(fā)散。而當時由萊布尼茨判別法知級數收斂，當時冪級數為為發(fā)散級數，故此冪級數的收斂域為。2.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數的和函數：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）由于該級數的收斂區(qū)域為，即該級數的和函數由 （2）（3）由于該級數的收斂區(qū)域為，該級數的和函數=（4）由于該級數的收斂區(qū)域為，該級數的和函數習題 11

6、-61. 直接求函數的泰勒級數，并驗證在整個數軸上收斂于這函數。解：因為 ， 且 故 2.用間接法將下列函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區(qū)間： （1）； （2）； (3) ；(4) ； (5)； (6).解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）3.將下列函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區(qū)間： （1）； （2）； （3）.解：（1）(2)（3）4.將函數展開成的冪級數。解：5.利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值： （1）（誤差不超過0.0001）； （2） （誤差不超過0.001）.解：（1）由， 令 ，解出 ，以代人上式得取前四項作為近似值，則誤差為。（2）由，知 由于

7、，所以。6. 利用被積函數的冪級數展開式求下列各數的近似值：（1）（誤差不超過）；，（2）（誤差不超過）.解：（1）因為 所以 此為交錯級數，且故 。（2）因為 所以 此為交錯級數，且故。7.將函數展開成的冪級數。解：。習題 11-71.在指定區(qū)間內把下列函數展開成傅立葉級數： （1） (2)解：（1） 1) 因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數。因為在上為奇函數，故，所以2）因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數。故 。（2） 1) 因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數。，所以2）因為在上按段光滑，可以展開為傅立葉級數。故 2.把函數展開成傅立葉級數，并由它推出： （1） （2） （3）

8、解：因為是按段光滑，可以展開為傅立葉級數。其中所以當時，有 由 可得：當時，有 從而 3.對于三角級數 ，若級數 收斂，則它在整個數軸上絕對收斂且一致收斂。證：因為 所以若級數 收斂，則由比較判別法知：三角級數絕對收斂，由優(yōu)級數判別法知：三角級數一致收斂。4.設是以為周期的可積函數，證明的傅立葉系數為（其中為任意實數）證：。5. 設周期函數的周期為證明：（1）如果，則的傅立葉系數；（2）如果，則的傅立葉系數.證：（1）由于 故 同理有 （2）由于 故的傅立葉系數.同理有6.把下列各周期函數展開成傅立葉級數，其中一個周期內的表達式為：（1） （2）解： （1）因為在上為偶函數，故，故 （2）故

9、7.把函數 在上展開成余弦級數。解：對函數作偶式延拓后故 。8.將函數分別展開成正弦級數和余弦級數。解：對函數作奇式延拓后，有，故對函數作偶式延拓后，有，故。復習題十一（A）1.填空（1）級數收斂的必要條件是。（2）正項級數的部分和數列是單調遞增，所以其收斂的充分必要條件為部分和數列有界。（3）若級數收斂，則級數必收斂；若收斂，級數發(fā)散，則級數必發(fā)散。 （4）對于級數，當 時收斂，當 時發(fā)散。2.證明以下結果：（1）若正項級數收斂，則收斂；（2）若級數，收斂，則絕對收斂，也收斂； (3)若且級數絕對收斂，則級數也收斂。證明：（1）因為若正項級數收斂，所以，從而當充分大時， 此時，故由比較判別法

10、知收斂。 （2）若級數，收斂,則由，及比較判別法知絕對收斂，也收斂。 （3）若則由比較判別法的極限形式知與同斂散性，故當級數絕對收斂，則級數也絕對收斂，從而收斂。3.判斷下列級數的收斂性： （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）解：（1），而發(fā)散，所以由比較判別法知正項級數發(fā)散；（2）因為 ，所以由比式判別法知正項級數發(fā)散；（3）因為 而 收斂所以由比較判別法知正項級數收斂；（4）因為 ，所以由比式判別法知正項級數發(fā)散；（5）因為，所以由比式判別法知正項級數收斂；（6）因為所以由根式判別法知正項級數收斂。4.討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性： （1）； （2）； （3）解:

11、（1）因為 ，而收斂，所以絕對收斂；（2）由于 ，當時，故這時級數絕對收斂；當時，由上知發(fā)散，令 ， 則而 ，故當充分大后，有，即單調遞減，又由，所以由萊布尼茨判別法知此時級數條件收斂。（3）因為 而 發(fā)散，即原級數不絕對收斂，但單調遞減，又由，所以由萊布尼茨判別法知條件收斂。5.利用級數收斂的必要條件證明下列等式： （1）； （2）證：（1）設，則正項級數收斂，這是因為故由收斂的必要條件知 ；（2）設，則正項級數收斂，這是因為故由收斂的必要條件知.6.求下列冪級數的收斂域： （1）； （2） ； （3）； （4）解：（1）因為 故 。由于而當時，級數為由萊布尼茨判別法知級數收斂；當時級數為收

12、斂性與等價，而發(fā)散。故此冪級數的收斂域為 （2）因為 故 。由于而當時，級數為 由通項不收斂0知級數發(fā)散；故此冪級數的收斂域為 (3)因為 故 。由于而當時，級數為 由萊布尼茨判別法知級數收斂；當時級數為收斂性與等價，而發(fā)散。故此冪級數的收斂域為 (4)因為 而當，級數發(fā)散，故 。故此冪級數的收斂域為.7.求下列級數的和或和函數： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：（1）令 ，則，知該級數的收斂半徑為， 當時，級數是發(fā)散的，故該級數的收斂域為 ，因此對故和函數（2）易知 的收斂域為 ，其和函數為 .而 即 故 ； （3）易知 的收斂域為 ，其和函數為 . =； （4）

13、的收斂域為 ，其和函數為 .=； （5）由于 , 所以 （6）設 ， 則其收斂域為，由于故 =8.將下列函數展開成的冪級數： (1) ; (2)解：由于 ， 所以 =；（2）由于 所以 。9. 設是以為周期的函數，它在上的表達式為試將展開成傅立葉級數。解：10. 將函數 分別展開成正弦級數或余弦級數解： 對函數作奇式延拓后，有，故。對函數作偶式延拓后，有，故。復習題十一（B）1.填空題已知冪級數在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數的收斂域為。 （08年考研題）2.選擇題：（1） 若級數收斂，則級數（D） （06年考研題）（A）收斂； （B）收斂； （C）收斂； （D）收斂。 （2） 設有兩個數列，若，則 （C）（09年考研題） （A）收斂時，收斂； （B）發(fā)散時，發(fā)散；（C）收斂時，收斂； （D）發(fā)散時，發(fā)散。（3） 設為數列，則下列命題正確的是： （A） （11年考研題） （A）收斂時，收斂； （B）收斂時，收斂； （C）收斂時，收斂； （D）收斂時，收斂。3.將函數展開成的冪級數。 （06年考研題）解：由知 4.求冪級數的收斂域及和函數。 （10年考研題）解: 令 ，則，知該級數的收斂半徑為， 當時，級數是收斂的，故該級數的收斂域為 -1,1，和函數