同濟(jì)大學(xué)大一高等數(shù)學(xué)期末試題精確答案

1、 課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué) 試卷類(lèi)別：A卷 考試形式：閉卷 考試時(shí)間：120 分鐘 適用層次： 適用專(zhuān)業(yè)； 閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書(shū)寫(xiě)，小題得分寫(xiě)在每小題題號(hào)前，用正分表示，不得分則在小題大題得分登錄在對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)框內(nèi)；考試課程應(yīng)集體閱卷，流水作業(yè)。課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)A（考試性質(zhì)：期末統(tǒng)考（A卷） 題 號(hào)（型）一二三四核分人得 分總分評(píng)卷人一、單選題（共15分，每小題3分）C1設(shè)函數(shù)在的兩個(gè)偏導(dǎo)， 都存在，則 ( )A在連續(xù) B在可微 C 及 都存在 D存在D2若，則等于（ ） C3設(shè)是圓柱面及平面所圍成的區(qū)域，則） B4 4若在處收斂，則此級(jí)數(shù)在處（ ） A 條件收斂 B 絕對(duì)收斂 C 發(fā)散 D

2、 斂散性不能確定A5曲線在點(diǎn)（1，1，2）處的一個(gè)切線方向向量為（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空題（共15分，每小題3分） 1設(shè)，則 -1 .2交 換的積分次序后，_3設(shè)，則在點(diǎn)處的梯度為 .4. 已知，則 .5. 函數(shù)的極小值點(diǎn)是 (2,2) .三、解答題（共54分，每小題6-7分）1.（本小題滿(mǎn)分6分）設(shè), 求,. 解：; (3分) =+2.（本小題滿(mǎn)分6分）求橢球面的平行于平面的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程. 解：記切點(diǎn) 則切平面的法向量為滿(mǎn)足： ，切點(diǎn)為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別

3、為：或者 ( 6分)3. （本小題滿(mǎn)分7分）求函數(shù)在點(diǎn)處沿向量方向的方向?qū)?shù)。 解： ( 3分), ( 7分)4. （本小題滿(mǎn)分7分）將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域。 解：=, ( 2分)因?yàn)?，,所以=,其中 ，即.( 5分)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散,故=， ( 7分)5（本小題滿(mǎn)分7分）求由方程所確定的隱函數(shù)的極值。 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數(shù)的駐點(diǎn)為與。 ( 4分)由，可知在駐點(diǎn)與有。( 5分)在點(diǎn)，因此 ，所以為極小值點(diǎn)，極小值為；( 6分)在點(diǎn)，因此 ，所以為極大值點(diǎn)，極大值為， ( 76（本小題滿(mǎn)分7分）計(jì)算二重積分及圍成. 解：記，則

4、.（2分） 故 ( 4分) （7分）7.（本小題滿(mǎn)分7分）利用格林公式計(jì)算，其中是圓周（按逆時(shí)針?lè)较颍?8.（本小題滿(mǎn)分7分）計(jì)算，其中是由柱面及平面所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域.四、綜合題（共16分，每小題8分）1（本小題滿(mǎn)分8分）設(shè)級(jí)數(shù)都收斂，證明級(jí)數(shù)收斂。2（本小題滿(mǎn)分8分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān)若對(duì)任意的恒有，求的表達(dá)式參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單選題（共15分，每小題3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空題（共15分，每小題3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答題（共54分，每小題6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分

5、).2. 解：記切點(diǎn) 則切平面的法向量為滿(mǎn)足： ，切點(diǎn)為：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法線方程分別為：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因?yàn)?，,所以=,其中 ，即.( 5分)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到與, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隱函數(shù)的駐點(diǎn)為與。 ( 4分)由，可知在駐點(diǎn)與有。( 5分)在點(diǎn)，因此 ，所以為極小值點(diǎn)，極小值為；( 6分)在點(diǎn)，因此 ，所以為極大值點(diǎn)，極大值為， ( 7分)6. 解：記，則.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所圍區(qū)域：,由格林公式，可得= =.(7分)OOOOO裝O訂O線OOOOOxyz118. 解：如圖，選取柱面坐標(biāo)系計(jì)算方便,此時(shí)，所以 ( 4分)=. (7分)四、綜合題（共16分，每小題8分）1證明