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1、第十章重積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)二重積分一、二重積分的概念1,引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體:設(shè)有一立體,它的底是xOy面上的有界閉區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),f(x,y)在有界閉區(qū)域上連續(xù),且f(x,y)之0,(x,y)wD。求曲頂柱體的體積(1)將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域:二1,;:二2,|1戶二n且以叼表示第個(gè)小區(qū)域的面積,分別以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些小柱面把曲頂柱體分成個(gè)小曲頂柱體。以AVi表示第個(gè)小曲頂柱體的體積。曲頂柱體的體積為:nV八Vii1(2)在每個(gè)小區(qū)域A%(i=1,2,n上任意取一點(diǎn)(
2、為v),作乘積f(X,yi),婀(i=1,2,用,n),則Vi:f(X,yi)面(i=1,2,IH,n)作和式n%f(xi,yj叫i1(3)用表示第個(gè)小區(qū)域的直徑,記=Maxtd1,d2,|,dn),當(dāng)九t0時(shí),和式n工f(x,yj的極限就定義為曲頂柱體的體積,即i1V=lim2.二重積分的定義和在直角坐標(biāo)系中的表不定義8.8設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域二二1,二2川,二n且以A5表示第個(gè)小區(qū)域的面積,在每個(gè)小區(qū)域45。=1,2,II|,n)上任意取一點(diǎn)(Xi,y),n作乘積f(xi,yi),婀(i=1,2,|,n),并作和式2f(xi,yi)Acri。用表示
3、第個(gè)小區(qū)i4域的直徑,記兒=Maxdi,d2,|,dn,如果無(wú)論對(duì)怎樣分法,也無(wú)論點(diǎn)(xi,yi)怎樣取法,n只要當(dāng)工t0時(shí),和式£f(xi,yi)dbi的極限總存在,則稱此極限為f(x,y)在上的二I 1重積分,記作jjf(x,y)db,即Df(x,y)d。Dn=l峭 f(xi,yi) ;ci其中f (x,y)叫做被積函數(shù),f (x, y)dc叫做被積表達(dá)式,x與y叫做積分變量,叫做積分n區(qū)域,“ f(x,yi) 二i i i叫做積分和,叫做面積元素。limn' f(x,yi)i 13 存在時(shí),其極限與的分法,點(diǎn)(xi, y)的取法無(wú)關(guān);limn" f(x,yi)
4、i 13存在時(shí),其極限與積分變量x, y無(wú)關(guān);重積分在直角坐標(biāo)系中可表不為:f(x,y)d;:=f(x,y)dxdy其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中面積元素。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)i常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前,即II kf(x,y)d;-k11f(x,y)dxdyDD性質(zhì)2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和,即.f(x,y)-g(x,y)dc-=f(x,y)d。一g(x,y)d二DDD性質(zhì)3(對(duì)于區(qū)域的可加性)如果積分區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域,則.f(x,y)d-=f(x,y)dIlf(x,y)d。DDiD2性質(zhì)4如果f(x,y)<g(x,y),(x,y)wD,則f(x,y)dc-g(x,y)d。DD性質(zhì)5
5、如果f(x,y)=1,(x,y)wD,則!f(x,y)d;=AD其中為的面積。性質(zhì)6如果f(x,y)在上的最大值與最小值分別為與,則mA_f(x,y)d-MAD性質(zhì)7(積分中值定理)如果f(x,y)在上連續(xù),則在上至少存在一點(diǎn)仁戶)WD使得f(x,y)d。=f(,)AD成立。二重積分的幾何意義三、二重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分(1)設(shè)積分區(qū)域可表示為D=':(x,y)|i(x)my-2(x),a_x_b此類區(qū)域的特點(diǎn)為:用平行于軸的直線穿過(guò)區(qū)域的內(nèi)部時(shí)與的邊界曲線相交恰好兩個(gè)交點(diǎn),稱為一型區(qū)域。則b一電(x)1fff(x,y)da=Ja|Jf(x,y)dydx(8.6)D(
6、2)設(shè)積分區(qū)域可表示為D=':(x,y)|1(y)Mx三2(y),c<y<d/此類區(qū)域的特點(diǎn)為:用平行于軸的直線穿過(guò)區(qū)域的內(nèi)部時(shí)與的邊界曲線相交恰好兩個(gè)交點(diǎn),稱為一型區(qū)域。則d(y)口f(x,y)d仃j|(y)f(x,y)dx'dy(8.7)取x)q4(y)注意在計(jì)算,(x)f(x,y)dy時(shí),把看成常數(shù);在計(jì)算f(x,y)dx時(shí),把看成常數(shù)。(3)若區(qū)域既不是一型區(qū)域,也不是一型區(qū)域,則可用平行于坐標(biāo)軸的直線把它分成(8.6)或(8.7)計(jì)算。幾個(gè)部分區(qū)域,使每個(gè)部分區(qū)域是一型區(qū)域或一型區(qū)域,然后利用公式計(jì)算二重積分的步驟:(1)畫出積分區(qū)域圖,并確定積分區(qū)域的類
7、型;(2)若積分區(qū)域只是一型區(qū)域,則用公式(8.6),若積分區(qū)域只是一型區(qū)域,則用公式(8.7),積分區(qū)域既是一型區(qū)域又是一型區(qū)域,則要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)確定用(8.6)還是用(8.7)計(jì)算。例1計(jì)算二重積分口ex4ydxdy,其中由x=0,x=1,y=0,y=1圍成。D例2計(jì)算二重積分口x2ydxdy,其中由x=0,y=0,x2+y2=1圍成。D例3計(jì)算二重積分|7(2x-y)dxdy,其中由y=1,2x-y+3=0,x+y-3=0圍成。D例4計(jì)算二重積分ffexdxdy,其中由y=x,y=x2圍成。D例5計(jì)算二重積分口xydxdy,其中由y2=x,y=x2圍成。D2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分
8、設(shè)通過(guò)原點(diǎn)的射線與區(qū)域的邊界曲線的交點(diǎn)不多余兩點(diǎn),則二重積分在極坐標(biāo)系下可表示為:Uf(x,y)dcr=口f(rcos8,rsinH)rdrd日(8.8)DD其中rdrd日叫做極坐標(biāo)系中面積元素。在極坐標(biāo)系下的二重積分,也要化為二次積分計(jì)算:(1)極點(diǎn)在區(qū)域之外,此時(shí)積分區(qū)域可表示為D=1(幾與舊工rm2e),二-)-r2(0)卜 f (r cos6 ,r sin 6) rdr則(8.9)11f(rcos/rsinf)rdrdf=D-(2)極點(diǎn)在區(qū)域的邊界上,此時(shí)積分區(qū)域可表示為D=L(r,u)|0MrMrQ),:三1三門則P-r(9-IJJf(rcos“rsin6)rdrdH=J'f(rcos,rsine)-rdrd(8.10)D-一(3)極點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部,此時(shí)積分區(qū)域可表示為DU.(rj)|0MrMr(u),0二2二)則2;|r(RIlf(rcos-,rsin-)rdrd71
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