曲線積分與曲面積分7

1、第十章重積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)二重積分一、二重積分的概念1,引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體：設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y),f(x,y)在有界閉區(qū)域上連續(xù),且f(x,y)之0,(x,y)wD。求曲頂柱體的體積(1)將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域:二1,；：二2,|1戶二n且以叼表示第個(gè)小區(qū)域的面積，分別以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于軸的柱面，這些小柱面把曲頂柱體分成個(gè)小曲頂柱體。以AVi表示第個(gè)小曲頂柱體的體積。曲頂柱體的體積為：nV八Vii1(2)在每個(gè)小區(qū)域A%(i=1,2,n上任意取一點(diǎn)(

2、為v),作乘積f(X,yi),婀(i=1,2,用,n),則Vi：f(X,yi)面(i=1,2,IH,n)作和式n%f(xi,yj叫i1(3)用表示第個(gè)小區(qū)域的直徑，記=Maxtd1,d2,|,dn),當(dāng)九t0時(shí)，和式n工f(x,yj的極限就定義為曲頂柱體的體積，即i1V=lim2.二重積分的定義和在直角坐標(biāo)系中的表不定義8.8設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)。將區(qū)域任意分成個(gè)小區(qū)域二二1,二2川，二n且以A5表示第個(gè)小區(qū)域的面積，在每個(gè)小區(qū)域45。=1,2,II|,n)上任意取一點(diǎn)(Xi,y),n作乘積f(xi,yi)，婀(i=1,2,|,n),并作和式2f(xi,yi)Acri。用表示

3、第個(gè)小區(qū)i4域的直徑，記兒=Maxdi,d2,|,dn,如果無論對怎樣分法，也無論點(diǎn)(xi,yi)怎樣取法,n只要當(dāng)工t0時(shí)，和式£f(xi,yi)dbi的極限總存在，則稱此極限為f(x,y)在上的二I 1重積分，記作jjf(x,y)db,即Df(x,y)d。Dn=l峭 f(xi,yi) ;ci其中f (x,y)叫做被積函數(shù),f (x, y)dc叫做被積表達(dá)式,x與y叫做積分變量，叫做積分n區(qū)域，“ f(x,yi) 二i i i叫做積分和，叫做面積元素。limn' f(x,yi)i 13 存在時(shí)，其極限與的分法，點(diǎn)(xi, y)的取法無關(guān);limn" f(x,yi)

4、i 13存在時(shí)，其極限與積分變量x, y無關(guān);重積分在直角坐標(biāo)系中可表不為：f(x,y)d；：=f(x,y)dxdy其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中面積元素。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)i常數(shù)因子可以提到積分號前，即II kf(x,y)d；-k11f(x,y)dxdyDD性質(zhì)2代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即.f(x,y)-g(x,y)dc-=f(x,y)d。一g(x,y)d二DDD性質(zhì)3(對于區(qū)域的可加性)如果積分區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域，則.f(x,y)d-=f(x,y)dIlf(x,y)d。DDiD2性質(zhì)4如果f(x,y)<g(x,y),(x,y)wD,則f(x,y)dc-g(x,y)d。DD性質(zhì)5

5、如果f(x,y)=1,(x,y)wD,則!f(x,y)d；=AD其中為的面積。性質(zhì)6如果f(x,y)在上的最大值與最小值分別為與，則mA_f(x,y)d-MAD性質(zhì)7(積分中值定理)如果f(x,y)在上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)仁戶)WD使得f(x,y)d。=f(,)AD成立。二重積分的幾何意義三、二重積分的計(jì)算1.利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分(1)設(shè)積分區(qū)域可表示為D='：(x,y)|i(x)my-2(x),a_x_b此類區(qū)域的特點(diǎn)為：用平行于軸的直線穿過區(qū)域的內(nèi)部時(shí)與的邊界曲線相交恰好兩個(gè)交點(diǎn)，稱為一型區(qū)域。則b一電(x)1fff(x,y)da=Ja|Jf(x,y)dydx(8.6)D(

6、2)設(shè)積分區(qū)域可表示為D='：(x,y)|1(y)Mx三2(y),c<y<d/此類區(qū)域的特點(diǎn)為：用平行于軸的直線穿過區(qū)域的內(nèi)部時(shí)與的邊界曲線相交恰好兩個(gè)交點(diǎn)，稱為一型區(qū)域。則d(y)口f(x,y)d仃j|(y)f(x,y)dx'dy(8.7)取x)q4(y)注意在計(jì)算,(x)f(x,y)dy時(shí)，把看成常數(shù)；在計(jì)算f(x,y)dx時(shí)，把看成常數(shù)。(3)若區(qū)域既不是一型區(qū)域，也不是一型區(qū)域，則可用平行于坐標(biāo)軸的直線把它分成(8.6)或(8.7)計(jì)算。幾個(gè)部分區(qū)域，使每個(gè)部分區(qū)域是一型區(qū)域或一型區(qū)域，然后利用公式計(jì)算二重積分的步驟：(1)畫出積分區(qū)域圖，并確定積分區(qū)域的類

7、型；(2)若積分區(qū)域只是一型區(qū)域，則用公式(8.6),若積分區(qū)域只是一型區(qū)域，則用公式(8.7),積分區(qū)域既是一型區(qū)域又是一型區(qū)域，則要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)確定用(8.6)還是用(8.7)計(jì)算。例1計(jì)算二重積分口ex4ydxdy,其中由x=0,x=1,y=0,y=1圍成。D例2計(jì)算二重積分口x2ydxdy,其中由x=0,y=0,x2+y2=1圍成。D例3計(jì)算二重積分|7(2x-y)dxdy,其中由y=1,2x-y+3=0,x+y-3=0圍成。D例4計(jì)算二重積分ffexdxdy,其中由y=x,y=x2圍成。D例5計(jì)算二重積分口xydxdy,其中由y2=x,y=x2圍成。D2.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

8、設(shè)通過原點(diǎn)的射線與區(qū)域的邊界曲線的交點(diǎn)不多余兩點(diǎn)，則二重積分在極坐標(biāo)系下可表示為：Uf(x,y)dcr=口f(rcos8,rsinH)rdrd日(8.8)DD其中rdrd日叫做極坐標(biāo)系中面積元素。在極坐標(biāo)系下的二重積分，也要化為二次積分計(jì)算：(1)極點(diǎn)在區(qū)域之外，此時(shí)積分區(qū)域可表示為D=1(幾與舊工rm2e),二-)-r2(0)卜 f (r cos6 ,r sin 6) rdr則(8.9)11f(rcos/rsinf)rdrdf=D-(2)極點(diǎn)在區(qū)域的邊界上，此時(shí)積分區(qū)域可表示為D=L(r,u)|0MrMrQ),：三1三門則P-r(9-IJJf(rcos“rsin6)rdrdH=J'f(rcos,rsine)-rdrd(8.10)D-一(3)極點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部，此時(shí)積分區(qū)域可表示為DU.(rj)|0MrMr(u),0二2二)則2;|r(RIlf(rcos-,rsin-)rdrd71