西工大、西交大自動控制原理 4.2 根軌跡繪制的基本法則5-6

1、內(nèi)容回顧內(nèi)容回顧開始本節(jié)開始本節(jié)4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟基本過程：基本過程：1 1已知已知系統(tǒng)的系統(tǒng)的開環(huán)零、極點開環(huán)零、極點( (開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)) )； 2 2利用利用基本法則基本法則，確定確定根軌跡的根軌跡的主要特征主要特征和和 大致圖形大致圖形； 3 3如果需要，再根據(jù)根軌跡方程的如果需要，再根據(jù)根軌跡方程的相角條相角條 件件，利用試探法，利用試探法確定確定若干點若干點； 4 4繪制繪制出出準(zhǔn)確準(zhǔn)確的根軌跡。的根軌跡。4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟1 1

2、根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，求出開環(huán)零、極求出開環(huán)零、極 點點；并將它們標(biāo)在復(fù)平面上并將它們標(biāo)在復(fù)平面上，縱橫坐標(biāo)用，縱橫坐標(biāo)用相同相同 的比例尺的比例尺； 2 2確定確定根軌跡的根軌跡的分支數(shù)分支數(shù)及趨于及趨于無窮遠處無窮遠處根軌跡根軌跡 的的條數(shù)條數(shù)、漸近線漸近線的的交點交點和和傾角傾角； 3 3確定確定實軸實軸上的上的根軌跡根軌跡； 4 4確定根軌跡的確定根軌跡的分離點分離點( (會合點會合點) )，并計算，并計算分離角分離角； 5 5計算根軌跡的計算根軌跡的出射角出射角和和入射角入射角； 6 6確定根軌跡與確定根軌跡與虛軸虛軸的的交點交點；一般步驟一般步驟4.2 根

3、軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟7 7大體繪出根軌跡的概略形狀大體繪出根軌跡的概略形狀； (1) (1) 利用閉環(huán)特征根之和、之積的性質(zhì)估計利用閉環(huán)特征根之和、之積的性質(zhì)估計根軌跡根軌跡 的的走向走向； (2) (2)利用相角條件利用相角條件試探確定試探確定根軌跡上根軌跡上某些點某些點； (3) (3)某些系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡為圓或圓的一部分某些系統(tǒng)在復(fù)平面上的根軌跡為圓或圓的一部分 時，求出時，求出圓心圓心和和半徑半徑。 (4) (4) 利用利用對稱性對稱性畫出上、下復(fù)平面的根軌跡；畫出上、下復(fù)平面的根軌跡； 8 8必要時對根軌跡進行必要時對

4、根軌跡進行修正修正，以畫出系統(tǒng)，以畫出系統(tǒng)精確精確根軌跡根軌跡。一般步驟一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟 例例8 8 若已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為：若已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為： 試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。15201ss.sK)(sR)(sC 20120115201.sss*K.sssKss.sKsGK解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：KK *4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟開環(huán)零點開環(huán)零點： ，開環(huán)極點開環(huán)極點：將它們標(biāo)注于復(fù)平面上；將它們標(biāo)注于復(fù)平

5、面上；11z2 . 0021pp，實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：12 . 00，漸近線：漸近線：2-1=1 2-1=1 條，負實軸方向上；條，負實軸方向上；分離點分離點：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知：由開環(huán)傳遞函數(shù)可知： 由由 得：得： 2 . 022 . 011ssNsssNsMssM； ssssNMMN4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟ssss2 . 012 . 0228 . 012, 1s分離角：分離角：2/畫出根軌跡所示，在復(fù)平面上，有一部分畫出根軌跡所示，在復(fù)平面上，有一部分根軌跡為一圓，其圓心為根軌跡為一圓，其圓心為 ，半徑，半徑為為

6、 。0, 1 j8 . 0R與虛軸的交點：與虛軸的交點：不存在不存在4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟-0.2-1sj-21z1p2p4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則可以證明：可以證明：由由兩個實數(shù)極點兩個實數(shù)極點或或復(fù)數(shù)極點復(fù)數(shù)極點和一個和一個有限零點有限零點組成的組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要該開環(huán)系統(tǒng)，只要該零點零點沒有位于沒有位于兩個實數(shù)極點兩個實數(shù)極點之間之間，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是以該閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分是以該零點零點為為圓心圓心，以該，以該零零點到分離點點到分離點的的距離距離為為半徑半徑的圓或圓的一部分。的圓或圓的一部

7、分。在此僅證明此例：在此僅證明此例：2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則由相角條件由相角條件可得：可得：在復(fù)平面上有在復(fù)平面上有 ，上式又可寫為：，上式又可寫為：利用反正切公式：利用反正切公式： 180201.sssKsHsG1802 . 01sssjs1802 . 01jjj2 . 01801111tgtgtg1111XYYXtgYtgXtg2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋簝蛇吶≌械茫簝蛇吶≌械茫赫砗蟮茫赫砗蟮茫哼@是一個圓心為這是一個圓心為 ，半徑為，半

8、徑為 的圓。的圓。2 . 018018011111tgtg2 . 01112228 . 08 . 010, 1 j8 . 02繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則 例例9 9 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得：解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)得：12113115 . 0)(2sssssKsG 2232223232*2sssssKsssssKsG2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則故：故：開環(huán)零點開環(huán)零

9、點： ，開環(huán)極點開環(huán)極點：將它們標(biāo)注于復(fù)平面上；將它們標(biāo)注于復(fù)平面上；實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：漸近線：漸近線： 條條21zjppp1304, 321，320，314 1142113011jjmnzpmjjniia31212kmnkaKK3*2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則 時，時， 時，時， 時，時，起始角：起始角：根軌跡與虛軸的交點：根軌跡與虛軸的交點：0k603/a1k2k180a603/5a6 .26906 .2613545180180431113343jjppjpzppjj2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2

10、 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：將將 代入上式，整理可得：代入上式，整理可得：聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：02685*234KsKsssjs 028*24jK065028*3*24KK00*LK66. 12*LK2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟4.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則 畫出概略根軌跡如圖所示：畫出概略根軌跡如圖所示：2繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟-1sj-21z1p2p-33p4pa根軌跡示例根軌跡示例1 1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j暈了？暈了？ bsassKsG 1ss3s2sKsG 42s1s3sKsG2 42s1sKsG2 11ssKsG2 12s41sKsG22根軌跡根軌跡示例示例2 2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0 11s2ssKsG2 41s2ssKsG2 11s3ssKsG2 13s41s2sKsG22 41s2ss3sKsG2 4s2ss41sKsG24.2 根軌跡繪制的基本法則根軌跡繪制的基本法則小結(jié)小結(jié)掌握繪制根軌跡的九個準(zhǔn)則掌握繪制根軌跡的九個準(zhǔn)則q 根軌跡的連續(xù)性和對稱性；根軌跡的連續(xù)性和對稱性；q 根軌跡的支數(shù)、起始點和漸進線；根軌跡的支數(shù)、起始點和漸進線；q 根軌