2016新課標(biāo)三維人教A版數(shù)學(xué)選修2-12.2橢圓

1、221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P3842，思考并完成以下問(wèn)題1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡為橢圓？橢圓的焦點(diǎn)、焦距分別是什么？2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距點(diǎn)睛定義中的條件2a>|F1F2|>0不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的否則：當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，其軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，其軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點(diǎn)

2、坐標(biāo)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b21判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓()(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|PF2|，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓()(3)方程1(a>0，b>0)表示的曲線是橢圓()答案：(1)×(2)(3)×2若橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則實(shí)數(shù)m的值為()A1B2C4 D6答案：C3橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案：(0，±12)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求滿足下列條件的橢圓的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)將點(diǎn)(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程

4、的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2，)，；(2)過(guò)點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)解：法一：(分類討論法)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得則a2<b2，與題設(shè)中a>b>0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二：(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0，B>0，AB)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)因?yàn)閏216，且c2a2b2，故a2b216又點(diǎn)(，)在橢圓上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1橢圓的定義及其應(yīng)用典例如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)P在第二象限，且PF1F2120°，求PF1F2的面積解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|

6、PF1|由橢圓定義，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|將代入解得|PF1|所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×，即PF1F2的面積是(1)橢圓定義的應(yīng)用中，要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)半徑之間的相互轉(zhuǎn)化，將兩個(gè)焦半徑之和看作個(gè)整體(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF1|，|PF2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而無(wú)需單獨(dú)求解活學(xué)活用設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF

7、1|PF2|2則PF1F2是()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形解析：選B由橢圓的定義得|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，故PF1F2為直角三角形與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例(1)已知P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)(2)已知圓M：(x1)2y21，圓N：(x1)2y29，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C求C的方程解析(1)設(shè)P(xP，yP)，Q(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以又點(diǎn)P在橢圓1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圓M的圓心為M(1,0)，

8、半徑r11；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r23設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24由橢圓定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的兩種方法(1)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這

9、種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法活學(xué)活用求過(guò)點(diǎn)P(3,0)且與圓x26xy2910相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：圓方程配方整理得(x3)2y2102，圓心為C1(3，0)，半徑為R10設(shè)所求動(dòng)圓圓心為C(x，y)，半徑為r，依題意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10又P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|6<10可見(jiàn)C點(diǎn)是以P，C1為兩焦點(diǎn)的橢圓，且c3,2a10，所以a5，從而b4，故所求的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10解析：選D根據(jù)橢圓的定義知，|PF1

10、|PF2|2a2×510，故選D2已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6C4 D12解析：選C由于ABC的周長(zhǎng)與焦點(diǎn)有關(guān)，設(shè)另一焦點(diǎn)為F，利用橢圓的定義，|BA|BF|2，|CA|CF|2，便可求得ABC的周長(zhǎng)為43命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|PB|2a(a>0，常數(shù))；命題乙：P點(diǎn)軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件解析：選B利用橢圓定義若P點(diǎn)軌跡是橢圓，則|PA|PB|2a(a>0，常數(shù))，甲是乙

11、的必要條件反過(guò)來(lái)，若|PA|PB|2a(a>0，常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a>|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段AB；當(dāng)2a<|AB|時(shí)，P點(diǎn)無(wú)軌跡，甲不是乙的充分條件綜上，甲是乙的必要不充分條件4如果方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa>3 Ba<2Ca>3或a<2 Da>3或6<a<2解析：選D由a2>a6>0得所以所以a>3或6<a<25已知P為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|2，若|PF1|與|PF2|的

12、等差中項(xiàng)為|F1F2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1或1C1D1或1解析：選B由已知2c|F1F2|2，c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2b2a2c29故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或16橢圓1的焦距是2，則m的值是_解析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：法一：依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，且可知左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C

13、的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二：依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案：18橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓方程為_(kāi)解析：如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)PF1F2的面積最大，×8b12，b3又c4，a2b2c225橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案：19設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)設(shè)橢圓C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)解：由點(diǎn)在橢圓上，得1，又2a4，所以橢圓C的方程為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,

14、0)，(1,0)10已知橢圓C與橢圓x237y237的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2相同，且橢圓C過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PC，且F1PF2，求F1PF2的面積解：(1)因?yàn)闄E圓y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(6,0)所以設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a2>36)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)镻為橢圓C上任一點(diǎn)，所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ，即122|PF1|2

15、|PF2|2|PF1|·|PF2|因?yàn)閨PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|·|PF2|所以1222023|PF1|PF2|所以|PF1|·|PF2|SPF1F2|PF1|·|PF2|sin ××所以F1PF2的面積為層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列說(shuō)法中正確的是()A已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B已知F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C平面內(nèi)到點(diǎn)F1

16、(4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析：選CA中，|F1F2|8，則平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段，所以A錯(cuò)誤；B中，到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6，小于|F1F2|，這樣的軌跡不存在，所以B錯(cuò)誤；C中，點(diǎn)M(5,3)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4>|F1F2|8，則其軌跡是橢圓，所以C正確；D中，軌跡應(yīng)是線段F1F2的垂直平分線，所以D錯(cuò)誤故選C2橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知·0，則F1PF2的面積為()

17、A9B12C10 D8解析：選A·0，PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a又a5，b3，c4，2，得2|PF1|·|PF2|36，|PF1|·|PF2|18，F(xiàn)1PF2的面積為S·|PF1|·|PF2|93若，方程x2sin y2cos 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()A BC D解析：選A易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化為1因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以>>0，即sin >cos >0又，所以<<4已知P為橢圓1上的一點(diǎn)，M，N分

18、別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A5 B7C13 D15解析：選B由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心：且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|1275若橢圓2kx2ky21的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，4)，則k的值為_(kāi)解析：易知k0，方程2kx2ky21變形為1，所以16，解得k答案：6已知橢圓C： 1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則 |AN|BN|_解析：取MN的中點(diǎn)G，G在橢圓C上，因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，故有|GF1|AN|，

19、|GF2|BN|，所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12答案：127已知點(diǎn)P在橢圓上，且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為5,3過(guò)P且與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：法一：設(shè)所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)，由已知條件得解得所以b2a2c212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1法二：設(shè)所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2由題意知2a|PF1|PF2|358，所以a4在方程1中，令x±c，得|y|；在方程1中，令y±c，得|x|依題意

20、有3，得b212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或18 如圖在圓C：(x1)2y225內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)Q為圓C上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程解：如圖，連接MA由題意知點(diǎn)M在線段CQ上，從而有|CQ|MQ|MC|又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|5又A(1,0)，C(1,0)，故點(diǎn)M的軌跡是以(1,0)，(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a5，故a，c1，b2a2c21故點(diǎn)M的軌跡方程為1222橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P4347，思考并完成以下問(wèn)題1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？什么叫做橢圓的中心、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸與短軸？2

21、什么是橢圓的離心率？隨著離心率的變化橢圓的形狀有何變化？橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|2c對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸，對(duì)稱中心(0,0)離心率e(0<e<1)1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)橢圓1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

22、等于a()(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為ac()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓()答案：(1)×(2)(3)2橢圓25x29y2225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A5,3，B10,6，C5,3， D10,6，答案：B3若橢圓y21的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則橢圓的離心率為()A BC D答案：A4若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓1的離心率為，則m的值為_(kāi)答案：由標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)典例求橢圓4x29y236的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓方程變形為1，a3，b2，c 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，頂點(diǎn)坐

23、標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，離心率e求橢圓的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分清楚焦點(diǎn)的位置，這樣便于直觀地寫(xiě)出a，b的數(shù)值，進(jìn)而求出c，求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)活學(xué)活用已知橢圓C1：1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì)解：(1)由橢圓C1：1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，(6,0)，離心率e；(2)橢圓C2：1，性質(zhì)：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱性：關(guān)于x軸

24、、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8,0)，(8,0)；焦點(diǎn)：(0,6)，(0，6)；離心率：e利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6解(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a10，a5又e，c4b2a2c225169橢圓方程為1或1(2)依題意可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)如圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，則cb3，

25、a2b2c218，故所求橢圓的方程為1(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，即先明確焦點(diǎn)的位置或分類討論一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且過(guò)點(diǎn)A(5,0)(2)離心率e，焦距為12解：(1)若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由題意得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由題意，得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

26、y21或1(2)由e，2c12，得a10，c6，則b2a2c264當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1求橢圓的離心率典例設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230°，則C的離心率為()ABC D解析法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e法二：由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得y±，所以|PF2|又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|，故

27、2c·，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案D一題多變1變條件若將本例中“PF2F1F2，PF1F230°”改為“PF2F175°，PF1F245°”，求C的離心率解：在PF1F2中，PF1F245°，PF2F175°，F(xiàn)1PF260°，設(shè)|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，則在PF1F2中，有，e2變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)若將本例中“PF2F1F2，PF1F230°”改為“C上存在點(diǎn)P，使F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍解：由題意，

28、知c>b，c2>b2又b2a2c2，c2>a2c2，即2c2>a2e2>，e>故C的離心率的取值范圍為求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

29、)A(±13,0)B(0，±10)C(0，±13) D(0，±)解析：選D由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)2若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()A BC D解析：選A依題意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60°，cos 60°，即橢圓的離心率e，故選A3已知橢圓1與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓1的短軸長(zhǎng)與橢圓1的短軸長(zhǎng)相等，則()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da2

30、25，b29解析：選D因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓1的短軸長(zhǎng)為6，所以a225，b294已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P若2，則橢圓的離心率是()A BC D解析：選D2，|2|又POBF，即，e5橢圓mx2ny2mn0(m<n<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0，±) B(±，0)C(0，±) D(±，0)解析：選C化為標(biāo)準(zhǔn)方程是1，m<n<0，0<n<m焦點(diǎn)在y軸上，且c6橢圓1的離心率為，則m_解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，m3；當(dāng)焦點(diǎn)

31、在y軸上時(shí)，m綜上，m3或m答案：3或7已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為， 且過(guò)P(5,4)，則橢圓的方程為_(kāi)解析：e，5a25b2a2即4a25b2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0)，橢圓過(guò)點(diǎn)P(5,4)，1解得a245橢圓方程為1答案：18設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓y21的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_解析：設(shè)A(m，n)由5，得B又A，B均在橢圓上，所以有解得或所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的

32、周長(zhǎng)為16，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由e知，故，從而，由ABF2的周長(zhǎng)為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為110橢圓1(a>b>0)的右頂點(diǎn)是A(a,0)，其上存在一點(diǎn)P，使APO90°，求橢圓離心率的取值范圍解：設(shè)P(x，y)，由APO90°知，點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上，圓的方程是2y22y2axx2又P點(diǎn)在橢圓上，故1把代入化簡(jiǎn)，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0<x<a，0<

33、;<a，即2b2<a2由b2a2c2，得a2<2c2，e>又0<e<1，<e<1層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1橢圓1與1(0<k<9)的關(guān)系為()A有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)B有相等的焦距C有相同的焦點(diǎn) D有相同的頂點(diǎn)解析：選Bc25916，c(25k)(9k)25916，所以兩橢圓有相等的焦距故選B2過(guò)橢圓1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為()A8,6 B4,3C2， D4,2解析：選B過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸，其長(zhǎng)度為2a4；最短弦為垂直于長(zhǎng)軸的弦，因?yàn)閏1，將x1代入1，得1，解得y2，即y±，所以最短弦的長(zhǎng)為2×3故選B

34、3與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 Bx21Cy21 D1解析：選B橢圓9x24y236可化為1，可知焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，故可設(shè)所求橢圓方程為1(a>b>0)，則c又2b2，即b1，所以a2b2c26，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x214(全國(guó)丙卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A BC D解析：選A如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，

35、F(c,0)設(shè)E(0，m)，由PFOE，得，則|MF|又由OEMF，得，則|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故選A5已知橢圓1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且ABBF，則橢圓的離心率為_(kāi)解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因?yàn)閑>0，所以e答案：6已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，短軸長(zhǎng)為16，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是_解析：由題意，知a10，b8，不妨設(shè)橢圓方程為1，其上的點(diǎn)M(x0，y0)，則|

36、x0|a10，|y0|b8，點(diǎn)M到橢圓中心的距離d因?yàn)?，所以y6464x，則d ，因?yàn)?x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知橢圓x2(m3)y2m(m>0)的離心率e，求實(shí)數(shù)m的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解：橢圓方程可化為1，由m>0，可知m>，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，則a1，b，c所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，8設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0) 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1的直線交橢圓 E于

37、A，B兩點(diǎn)，|AF1|3|F1B| (1)若|AB|4，ABF2 的周長(zhǎng)為16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求橢圓E 的離心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|835(2)設(shè)|F1B|k，則k>0且|AF1|3k，|AB|4k由橢圓定義可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|·cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k

38、)·(2ak)化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0，而ak>0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓E的離心率e第二課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系預(yù)習(xí)課本P4748，思考并完成以下問(wèn)題1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷？2直線與橢圓有哪幾種位置關(guān)系？如何確定？3直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式是什么？1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部<1；點(diǎn)P在橢圓外部>12直線與橢圓的位置關(guān)系直線y

39、kxm與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立消y得一元二次方程當(dāng)>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)<0時(shí)，方程無(wú)解，直線與橢圓相離3直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式(1)定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦(2)求弦長(zhǎng)的方法交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：|AB|· ·1已知點(diǎn)(2,3)在橢圓1上，則下列說(shuō)法正確的是()A點(diǎn)(2,3)在橢圓

40、外B點(diǎn)(3,2)在橢圓上C點(diǎn)(2，3)在橢圓內(nèi) D點(diǎn)(2，3)在橢圓上答案：D2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A BC D答案：C3設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)答案：4直線與橢圓的位置關(guān)系典例對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240(8m)24×5(4m24)16(5m2)當(dāng)<m<時(shí)，>0，直線與橢圓相交；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線與橢圓相切；當(dāng)m<或m>時(shí)，<0，直線與橢圓相離判斷直線與

41、橢圓的位置關(guān)系，通過(guò)解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則>0直線與橢圓相交；0直線與橢圓相切；<0直線與橢圓相離活學(xué)活用若直線ykx1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍解：直線ykx1過(guò)定點(diǎn)A(0,1)由題意知，點(diǎn)A在橢圓1內(nèi)或橢圓上，1，m1又橢圓焦點(diǎn)在x軸上m<5，故m的取值范圍為1,5)弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題典例已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(diǎn)(1)求直線l的方程(2)求直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)解(1)法一根與系數(shù)關(guān)系法由題意可設(shè)直線l的方程為y2k(x4)，而橢圓的方程可以化為x24y

42、2360將直線方程代入橢圓方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360所以x1x28，解得k所以直線l的方程為y2(x4)，即x2y80法二點(diǎn)差法設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以兩式相減，有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)·(y1y2)0又x1x28，y1y24，所以，即k所以直線l的方程為x2y80(2)由題意可知直線l的方程為x2y80，聯(lián)立橢圓方程得x28x140法一：解方程得 所以直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為法二：因?yàn)閤1x28，x1x214所以直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方

43、程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；(2)點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，M(x0，y0)是線段AB的中點(diǎn)，則由，得(xx)(yy)0，變形得··，即kAB活學(xué)活用(全國(guó)卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M證明：直

44、線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解：(1)由題意有，1，解得a28，b24所以C的方程為1(2)證明：法一：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMk·xMb于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，則得0，kAB·又kO M，kAB·kOM所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題典例(浙江高考)已知橢圓y21上兩

45、個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對(duì)稱(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb由消去y，得x2xb210因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx解得b由得m或m(2)令t，則|AB|·，且O到直線AB的距離為d 設(shè)AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|·d ，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即m±時(shí)，等號(hào)成立故AOB面積的最大值為解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)

46、而求解(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理，注意橢圓的范圍活學(xué)活用設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B已知|AB|F1F2|(1)求橢圓的離心率(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率解：(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則所以橢圓的離心率e(2)由(1)知a2 2c2，b2c2故橢圓方程為1設(shè)P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有·0

47、，即(x0c)cy0c0又c0，故有x0y0c0又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故1由和可得3x4cx00而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0，代入得y0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為T(mén)(x1，y1)，則x1c，y1c，進(jìn)而圓的半徑rc，設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4±所以直線l的斜率為4或4層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相切B相交C相離 D不確定解析：選B直線ykxk1可變形為y1k(x1)，故直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)，而該點(diǎn)在橢圓1內(nèi)部，所以直線ykxk1與橢圓1相交，故選B2橢圓mx2ny21與直線

48、y1x交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為，則的值是()A BC D解析：選A由消去y得，(mn)x22nxn10設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中點(diǎn)為(x0，y0)，則x1x2，x0，代入y1x得y0由題意，選A3已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足·0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B0，C0， D，1解析：選C，點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上，又點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，c<b，c2<b2a2c2，即2c2<a2，<，即<又e>0，0<e<4已知橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，直線l：x2，

49、點(diǎn)Al，線段AF交橢圓C于點(diǎn)B，若3，則| |()A B2C D3解析：選A設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21知a22，b21，c21，即c1右焦點(diǎn)F(1,0)由3得(1，n)3(x01，y0)13(x01)且n3y0x0，y0n將x0，y0代入y21，得×221解得n21，|5(全國(guó)卷)已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A1 B1C1 D1解析：選D因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，