2016新課標(biāo)三維人教A版數(shù)學(xué)選修2-12.2橢圓_第1頁(yè)
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1、221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P3842,思考并完成以下問(wèn)題1平面內(nèi)滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡為橢圓?橢圓的焦點(diǎn)、焦距分別是什么?2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距點(diǎn)睛定義中的條件2a>|F1F2|>0不能少,這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的否則:當(dāng)2a|F1F2|時(shí),其軌跡為線段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),其軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)焦點(diǎn)

2、坐標(biāo)(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)a,b,c的關(guān)系c2a2b21判斷下列命題是否正確(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓()(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|PF2|,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓()(3)方程1(a>0,b>0)表示的曲線是橢圓()答案:(1)×(2)(3)×2若橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則實(shí)數(shù)m的值為()A1B2C4 D6答案:C3橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案:(0,±12)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求滿足下列條件的橢圓的

3、標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)和(4,0),且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0);(2)焦點(diǎn)在y軸上,且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)將點(diǎn)(5,0)代入上式解得a5,又c4,所以b2a2c225169故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0),所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置,在中心為原點(diǎn)的前提下,確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上,以判斷方程

4、的形式;(2)“定量”是指確定a2,b2的具體數(shù)值,常根據(jù)條件列方程求解活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,),;(2)過(guò)點(diǎn)(,),且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)解:法一:(分類討論法)若焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由已知條件得解得則a2<b2,與題設(shè)中a>b>0矛盾,舍去綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二:(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的一般方程為Ax2By21(A>0,B>0,AB)將兩點(diǎn)(2,),代入,得解得所以所求橢圓

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同,所以其焦點(diǎn)在y軸上,且c225916設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)因?yàn)閏216,且c2a2b2,故a2b216又點(diǎn)(,)在橢圓上,所以1,即1由得b24,a220,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1橢圓的定義及其應(yīng)用典例如圖所示,已知橢圓的方程為1,若點(diǎn)P在第二象限,且PF1F2120°,求PF1F2的面積解由已知得a2,b,所以c1,|F1F2|2c2在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cos 120°,即|PF2|2|PF1|242|

6、PF1|由橢圓定義,得|PF1|PF2|4,即|PF2|4|PF1|將代入解得|PF1|所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120°××2×,即PF1F2的面積是(1)橢圓定義的應(yīng)用中,要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)半徑之間的相互轉(zhuǎn)化,將兩個(gè)焦半徑之和看作個(gè)整體(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí),可把|PF1|,|PF2|看作一個(gè)整體,運(yùn)用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而無(wú)需單獨(dú)求解活學(xué)活用設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且|PF

7、1|PF2|2則PF1F2是()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形解析:選B由橢圓的定義得|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2,|PF1|5,|PF2|3,又|F1F2|2c4,故PF1F2為直角三角形與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例(1)已知P是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)(2)已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C求C的方程解析(1)設(shè)P(xP,yP),Q(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以又點(diǎn)P在橢圓1上,所以1,即x21答案:x21(2)解:由已知得圓M的圓心為M(1,0),

8、半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24由橢圓定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為1(x2)解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的兩種方法(1)定義法:用定義法求橢圓方程的思路是:先觀察、分析已知條件,看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義,則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法:有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的,只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去,即可解決問(wèn)題,這

9、種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法活學(xué)活用求過(guò)點(diǎn)P(3,0)且與圓x26xy2910相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解:圓方程配方整理得(x3)2y2102,圓心為C1(3,0),半徑為R10設(shè)所求動(dòng)圓圓心為C(x,y),半徑為r,依題意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R,即|PC|CC1|10又P(3,0),C1(3,0),且|PC1|6<10可見(jiàn)C點(diǎn)是以P,C1為兩焦點(diǎn)的橢圓,且c3,2a10,所以a5,從而b4,故所求的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn),若F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則|PF1|PF2|等于()A4B5C8 D10解析:選D根據(jù)橢圓的定義知,|PF1

10、|PF2|2a2×510,故選D2已知ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓y21上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6C4 D12解析:選C由于ABC的周長(zhǎng)與焦點(diǎn)有關(guān),設(shè)另一焦點(diǎn)為F,利用橢圓的定義,|BA|BF|2,|CA|CF|2,便可求得ABC的周長(zhǎng)為43命題甲:動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A,B的距離之和|PA|PB|2a(a>0,常數(shù));命題乙:P點(diǎn)軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分且必要條件 D既不充分又不必要條件解析:選B利用橢圓定義若P點(diǎn)軌跡是橢圓,則|PA|PB|2a(a>0,常數(shù)),甲是乙

11、的必要條件反過(guò)來(lái),若|PA|PB|2a(a>0,常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a>|AB|時(shí),P點(diǎn)軌跡才是橢圓;而當(dāng)2a|AB|時(shí),P點(diǎn)軌跡是線段AB;當(dāng)2a<|AB|時(shí),P點(diǎn)無(wú)軌跡,甲不是乙的充分條件綜上,甲是乙的必要不充分條件4如果方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa>3 Ba<2Ca>3或a<2 Da>3或6<a<2解析:選D由a2>a6>0得所以所以a>3或6<a<25已知P為橢圓C上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn),且|F1F2|2,若|PF1|與|PF2|的

12、等差中項(xiàng)為|F1F2|,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1B1或1C1D1或1解析:選B由已知2c|F1F2|2,c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4,a2b2a2c29故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或16橢圓1的焦距是2,則m的值是_解析:當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),a2m,b24,c2m4,又2c2,c1m41,m5當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),a24,b2m,c24m1,m3答案:3或57已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析:法一:依題意,可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),且可知左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2,所以b212,故橢圓C

13、的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二:依題意,可設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0),則解得b212或b23(舍去),從而a216所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案:18橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),點(diǎn)P在橢圓上,若PF1F2的面積最大為12,則橢圓方程為_(kāi)解析:如圖,當(dāng)P在y軸上時(shí)PF1F2的面積最大,×8b12,b3又c4,a2b2c225橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案:19設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)設(shè)橢圓C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離和等于4,寫(xiě)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)解:由點(diǎn)在橢圓上,得1,又2a4,所以橢圓C的方程為1,焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,

14、0),(1,0)10已知橢圓C與橢圓x237y237的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2相同,且橢圓C過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若PC,且F1PF2,求F1PF2的面積解:(1)因?yàn)闄E圓y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(6,0)所以設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a2>36)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理得4a4463a26 3000,解得a2100或a2(舍去),所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)镻為橢圓C上任一點(diǎn),所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6,在PF1F2中,|F1F2|2c12,所以由余弦定理得:|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ,即122|PF1|2

15、|PF2|2|PF1|·|PF2|因?yàn)閨PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|·所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|·|PF2|所以1222023|PF1|PF2|所以|PF1|·|PF2|SPF1F2|PF1|·|PF2|sin ××所以F1PF2的面積為層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列說(shuō)法中正確的是()A已知F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓B已知F1(4,0),F(xiàn)2(4,0),平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓C平面內(nèi)到點(diǎn)F1

16、(4,0),F(xiàn)2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)M(5,3)到F1,F(xiàn)2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓D平面內(nèi)到點(diǎn)F1(4,0),F(xiàn)2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析:選CA中,|F1F2|8,則平面內(nèi)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線段,所以A錯(cuò)誤;B中,到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于6,小于|F1F2|,這樣的軌跡不存在,所以B錯(cuò)誤;C中,點(diǎn)M(5,3)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4>|F1F2|8,則其軌跡是橢圓,所以C正確;D中,軌跡應(yīng)是線段F1F2的垂直平分線,所以D錯(cuò)誤故選C2橢圓1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為橢圓上的一點(diǎn),已知·0,則F1PF2的面積為()

17、A9B12C10 D8解析:選A·0,PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a又a5,b3,c4,2,得2|PF1|·|PF2|36,|PF1|·|PF2|18,F(xiàn)1PF2的面積為S·|PF1|·|PF2|93若,方程x2sin y2cos 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則的取值范圍是()A BC D解析:選A易知sin 0,cos 0,方程x2sin y2cos 1可化為1因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上,所以>>0,即sin >cos >0又,所以<<4已知P為橢圓1上的一點(diǎn),M,N分

18、別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn),則|PM|PN|的最小值為()A5 B7C13 D15解析:選B由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別是兩圓的圓心:且|PF1|PF2|10,從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|1275若橢圓2kx2ky21的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,4),則k的值為_(kāi)解析:易知k0,方程2kx2ky21變形為1,所以16,解得k答案:6已知橢圓C: 1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段MN的中點(diǎn)在C上,則 |AN|BN|_解析:取MN的中點(diǎn)G,G在橢圓C上,因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,故有|GF1|AN|,

19、|GF2|BN|,所以|AN|BN|2(|GF1|GF2|)4a12答案:127已知點(diǎn)P在橢圓上,且P到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別為5,3過(guò)P且與橢圓的長(zhǎng)軸垂直的直線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解:法一:設(shè)所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0),由已知條件得解得所以b2a2c212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1法二:設(shè)所求的橢圓方程為1(a>b>0)或1(a>b>0),兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2由題意知2a|PF1|PF2|358,所以a4在方程1中,令x±c,得|y|;在方程1中,令y±c,得|x|依題意

20、有3,得b212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或18 如圖在圓C:(x1)2y225內(nèi)有一點(diǎn)A(1,0)Q為圓C上一點(diǎn),AQ的垂直平分線與C,Q的連線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程解:如圖,連接MA由題意知點(diǎn)M在線段CQ上,從而有|CQ|MQ|MC|又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上,則|MA|MQ|,故|MA|MC|CQ|5又A(1,0),C(1,0),故點(diǎn)M的軌跡是以(1,0),(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,且2a5,故a,c1,b2a2c21故點(diǎn)M的軌跡方程為1222橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本P4347,思考并完成以下問(wèn)題1橢圓有哪些幾何性質(zhì)?什么叫做橢圓的中心、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸與短軸?2

21、什么是橢圓的離心率?隨著離心率的變化橢圓的形狀有何變化?橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c)焦距|F1F2|2c對(duì)稱性對(duì)稱軸x軸和y軸,對(duì)稱中心(0,0)離心率e(0<e<1)1判斷下列命題是否正確(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)橢圓1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)

22、等于a()(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為ac()(3)橢圓的離心率e越小,橢圓越圓()答案:(1)×(2)(3)2橢圓25x29y2225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()A5,3,B10,6,C5,3, D10,6,答案:B3若橢圓y21的焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則橢圓的離心率為()A BC D答案:A4若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓1的離心率為,則m的值為_(kāi)答案:由標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)典例求橢圓4x29y236的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓方程變形為1,a3,b2,c 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(,0),F(xiàn)2(,0),頂點(diǎn)坐

23、標(biāo)為A1(3,0),A2(3,0),B1(0,2),B2(0,2),離心率e求橢圓的性質(zhì)時(shí),應(yīng)把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程,注意分清楚焦點(diǎn)的位置,這樣便于直觀地寫(xiě)出a,b的數(shù)值,進(jìn)而求出c,求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)活學(xué)活用已知橢圓C1:1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等,且橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;(2)寫(xiě)出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì)解:(1)由橢圓C1:1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10,短半軸長(zhǎng)為8,焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),(6,0),離心率e;(2)橢圓C2:1,性質(zhì):范圍:8x8,10y10;對(duì)稱性:關(guān)于x軸

24、、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱;頂點(diǎn):長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10),(0,10),短軸端點(diǎn)(8,0),(8,0);焦點(diǎn):(0,6),(0,6);離心率:e利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10,離心率是;(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直,且焦距為6解(1)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)或1(a>b>0)由已知得2a10,a5又e,c4b2a2c225169橢圓方程為1或1(2)依題意可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)如圖所示,A1FA2為一等腰直角三角形,OF為斜邊A1A2的中線(高),且|OF|c,|A1A2|2b,則cb3,

25、a2b2c218,故所求橢圓的方程為1(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn),定參數(shù)”,即先明確焦點(diǎn)的位置或分類討論一般步驟是:求出a2,b2的值;確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍,且過(guò)點(diǎn)A(5,0)(2)離心率e,焦距為12解:(1)若橢圓焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0),由題意得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21;若焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0),由題意,得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

26、y21或1(2)由e,2c12,得a10,c6,則b2a2c264當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1求橢圓的離心率典例設(shè)橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點(diǎn),PF2F1F2,PF1F230°,則C的離心率為()ABC D解析法一:由題意可設(shè)|PF2|m,結(jié)合條件可知|PF1|2m,|F1F2|m,故離心率e法二:由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c,將xc代入橢圓方程可解得y±,所以|PF2|又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|,故

27、2c·,變形可得(a2c2)2ac,等式兩邊同除以a2,得(1e2)2e,解得e或e(舍去)答案D一題多變1變條件若將本例中“PF2F1F2,PF1F230°”改為“PF2F175°,PF1F245°”,求C的離心率解:在PF1F2中,PF1F245°,PF2F175°,F(xiàn)1PF260°,設(shè)|PF1|m,|PF2|n,|F1F2|2c,橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,則在PF1F2中,有,e2變條件,變?cè)O(shè)問(wèn)若將本例中“PF2F1F2,PF1F230°”改為“C上存在點(diǎn)P,使F1PF2為鈍角”,求C的離心率的取值范圍解:由題意,

28、知c>b,c2>b2又b2a2c2,c2>a2c2,即2c2>a2e2>,e>故C的離心率的取值范圍為求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e求解若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,借助于a2b2c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程或不等式,再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,即可求得e的值或范圍 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13),另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

29、)A(±13,0)B(0,±10)C(0,±13) D(0,±)解析:選D由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上,且a13,b10,則c,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±)2若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,則該橢圓的離心率為()A BC D解析:選A依題意,BF1F2是正三角形,在RtOBF2中,|OF2|c,|BF2|a,OF2B60°,cos 60°,即橢圓的離心率e,故選A3已知橢圓1與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸,橢圓1的短軸長(zhǎng)與橢圓1的短軸長(zhǎng)相等,則()Aa225,b216Ba29,b225Ca225,b29或a29,b225Da2

30、25,b29解析:選D因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,焦點(diǎn)在x軸上,橢圓1的短軸長(zhǎng)為6,所以a225,b294已知橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上,且BFx軸,直線AB交y軸于點(diǎn)P若2,則橢圓的離心率是()A BC D解析:選D2,|2|又POBF,即,e5橢圓mx2ny2mn0(m<n<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0,±) B(±,0)C(0,±) D(±,0)解析:選C化為標(biāo)準(zhǔn)方程是1,m<n<0,0<n<m焦點(diǎn)在y軸上,且c6橢圓1的離心率為,則m_解析:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),m3;當(dāng)焦點(diǎn)

31、在y軸上時(shí),m綜上,m3或m答案:3或7已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為, 且過(guò)P(5,4),則橢圓的方程為_(kāi)解析:e,5a25b2a2即4a25b2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0),橢圓過(guò)點(diǎn)P(5,4),1解得a245橢圓方程為1答案:18設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓y21的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在橢圓上,若5,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_解析:設(shè)A(m,n)由5,得B又A,B均在橢圓上,所以有解得或所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)或(0,1)答案:(0,1)或(0,1)9在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為,過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),且ABF2的

32、周長(zhǎng)為16,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解:設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)由e知,故,從而,由ABF2的周長(zhǎng)為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16,得a4,b28故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為110橢圓1(a>b>0)的右頂點(diǎn)是A(a,0),其上存在一點(diǎn)P,使APO90°,求橢圓離心率的取值范圍解:設(shè)P(x,y),由APO90°知,點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上,圓的方程是2y22y2axx2又P點(diǎn)在橢圓上,故1把代入化簡(jiǎn),得(a2b2)x2a3xa2b20,即(xa)(a2b2)xab20,xa,x0,x,又0<x<a,0<

33、;<a,即2b2<a2由b2a2c2,得a2<2c2,e>又0<e<1,<e<1層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1橢圓1與1(0<k<9)的關(guān)系為()A有相等的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)B有相等的焦距C有相同的焦點(diǎn) D有相同的頂點(diǎn)解析:選Bc25916,c(25k)(9k)25916,所以兩橢圓有相等的焦距故選B2過(guò)橢圓1的焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦的長(zhǎng)分別為()A8,6 B4,3C2, D4,2解析:選B過(guò)橢圓焦點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸,其長(zhǎng)度為2a4;最短弦為垂直于長(zhǎng)軸的弦,因?yàn)閏1,將x1代入1,得1,解得y2,即y±,所以最短弦的長(zhǎng)為2×3故選B

34、3與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn),且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A1 Bx21Cy21 D1解析:選B橢圓9x24y236可化為1,可知焦點(diǎn)在y軸上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),故可設(shè)所求橢圓方程為1(a>b>0),則c又2b2,即b1,所以a2b2c26,則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x214(全國(guó)丙卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是橢圓C:1(a>b>0)的左焦點(diǎn),A,B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn),且PFx軸過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn),則C的離心率為()A BC D解析:選A如圖所示,由題意得A(a,0),B(a,0),

35、F(c,0)設(shè)E(0,m),由PFOE,得,則|MF|又由OEMF,得,則|MF|由得ac(ac),即a3c,e故選A5已知橢圓1(a>b>0),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),且ABBF,則橢圓的離心率為_(kāi)解析:在RtABF中,|AB|,|BF|a,|AF|ac,由|AB|2|BF|2|AF|2,得a2b2a2(ac)2將b2a2c2代入,得a2acc20,即e2e10,解得e因?yàn)閑>0,所以e答案:6已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20,短軸長(zhǎng)為16,則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是_解析:由題意,知a10,b8,不妨設(shè)橢圓方程為1,其上的點(diǎn)M(x0,y0),則|

36、x0|a10,|y0|b8,點(diǎn)M到橢圓中心的距離d因?yàn)?,所以y6464x,則d ,因?yàn)?x100,所以64x64100,即8d10答案:8,107已知橢圓x2(m3)y2m(m>0)的離心率e,求實(shí)數(shù)m的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng),并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解:橢圓方程可化為1,由m>0,可知m>,所以a2m,b2,c ,由e,得 ,解得m1于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21,則a1,b,c所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為1;兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為,;四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0),(1,0),8設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(a>b>0) 的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn) F1的直線交橢圓 E于

37、A,B兩點(diǎn),|AF1|3|F1B| (1)若|AB|4,ABF2 的周長(zhǎng)為16,求|AF2|;(2)若cosAF2B,求橢圓E 的離心率解:(1)由|AF1|3|F1B|,|AB|4,得|AF1|3,|F1B|1因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為16,所以由橢圓定義可得4a16,|AF1|AF2|2a8故|AF2|835(2)設(shè)|F1B|k,則k>0且|AF1|3k,|AB|4k由橢圓定義可得,|AF2|2a3k,|BF2|2ak在ABF2中,由余弦定理可得,|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|·|BF2|·cosAF2B,即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k

38、)·(2ak)化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0,而ak>0,故a3k于是有|AF2|3k|AF1|,|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2,可得F1AF2A,故AF1F2為等腰直角三角形從而ca,所以橢圓E的離心率e第二課時(shí)直線與橢圓的位置關(guān)系預(yù)習(xí)課本P4748,思考并完成以下問(wèn)題1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有哪幾種?如何判斷?2直線與橢圓有哪幾種位置關(guān)系?如何確定?3直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式是什么?1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0,y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系:點(diǎn)P在橢圓上1;點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部<1;點(diǎn)P在橢圓外部>12直線與橢圓的位置關(guān)系直線y

39、kxm與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系,判斷方法:聯(lián)立消y得一元二次方程當(dāng)>0時(shí),方程有兩解,直線與橢圓相交;當(dāng)0時(shí),方程有一解,直線與橢圓相切;當(dāng)<0時(shí),方程無(wú)解,直線與橢圓相離3直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式(1)定義:連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦(2)求弦長(zhǎng)的方法交點(diǎn)法:將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求根與系數(shù)的關(guān)系法:如果直線的斜率為k,被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則弦長(zhǎng)公式為:|AB|· ·1已知點(diǎn)(2,3)在橢圓1上,則下列說(shuō)法正確的是()A點(diǎn)(2,3)在橢圓

40、外B點(diǎn)(3,2)在橢圓上C點(diǎn)(2,3)在橢圓內(nèi) D點(diǎn)(2,3)在橢圓上答案:D2直線yx1被橢圓1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A BC D答案:C3設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|3,則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)答案:4直線與橢圓的位置關(guān)系典例對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m,討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解由消去y,得(xm)21,整理得5x28mx4m240(8m)24×5(4m24)16(5m2)當(dāng)<m<時(shí),>0,直線與橢圓相交;當(dāng)m或m時(shí),0,直線與橢圓相切;當(dāng)m<或m>時(shí),<0,直線與橢圓相離判斷直線與

41、橢圓的位置關(guān)系,通過(guò)解直線方程與橢圓方程組成的方程組,消去方程組中的一個(gè)變量,得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程,則>0直線與橢圓相交;0直線與橢圓相切;<0直線與橢圓相離活學(xué)活用若直線ykx1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1總有公共點(diǎn),求m的取值范圍解:直線ykx1過(guò)定點(diǎn)A(0,1)由題意知,點(diǎn)A在橢圓1內(nèi)或橢圓上,1,m1又橢圓焦點(diǎn)在x軸上m<5,故m的取值范圍為1,5)弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問(wèn)題典例已知點(diǎn)P(4,2)是直線l被橢圓1所截得的線段的中點(diǎn)(1)求直線l的方程(2)求直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)解(1)法一根與系數(shù)關(guān)系法由題意可設(shè)直線l的方程為y2k(x4),而橢圓的方程可以化為x24y

42、2360將直線方程代入橢圓方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360所以x1x28,解得k所以直線l的方程為y2(x4),即x2y80法二點(diǎn)差法設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),所以兩式相減,有(x1x2)(x1x2)4(y1y2)·(y1y2)0又x1x28,y1y24,所以,即k所以直線l的方程為x2y80(2)由題意可知直線l的方程為x2y80,聯(lián)立橢圓方程得x28x140法一:解方程得 所以直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為法二:因?yàn)閤1x28,x1x214所以直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方

43、程和橢圓方程構(gòu)成方程組,消去一個(gè)未知數(shù),利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決;(2)點(diǎn)差法:利用交點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,具體如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓1(a>b>0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn),M(x0,y0)是線段AB的中點(diǎn),則由,得(xx)(yy)0,變形得··,即kAB活學(xué)活用(全國(guó)卷)已知橢圓C:1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上(1)求C的方程;(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M證明:直

44、線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解:(1)由題意有,1,解得a28,b24所以C的方程為1(2)證明:法一:設(shè)直線l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)將ykxb代入1,得(2k21)x24kbx2b280故xM,yMk·xMb于是直線OM的斜率kOM,即kOM·k所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),則得0,kAB·又kO M,kAB·kOM所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題典例(浙江高考)已知橢圓y21上兩

45、個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線ymx對(duì)稱(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0,可設(shè)直線AB的方程為yxb由消去y,得x2xb210因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以2b220將線段AB中點(diǎn)M代入直線方程ymx解得b由得m或m(2)令t,則|AB|·,且O到直線AB的距離為d 設(shè)AOB的面積為S(t),所以S(t)|AB|·d ,當(dāng)且僅當(dāng)t2,即m±時(shí),等號(hào)成立故AOB面積的最大值為解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法(1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,進(jìn)

46、而求解(3)函數(shù)法:探求函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理,注意橢圓的范圍活學(xué)活用設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B已知|AB|F1F2|(1)求橢圓的離心率(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切,求直線l的斜率解:(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)由|AB|F1F2|,可得a2b23c2,又b2a2c2,則所以橢圓的離心率e(2)由(1)知a2 2c2,b2c2故橢圓方程為1設(shè)P(x0,y0)由F1(c,0),B(0,c),有(x0c,y0),(c,c)由已知,有·0

47、,即(x0c)cy0c0又c0,故有x0y0c0又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故1由和可得3x4cx00而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0,代入得y0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為T(mén)(x1,y1),則x1c,y1c,進(jìn)而圓的半徑rc,設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為ykx由l與圓相切,可得r,即c,整理得k28k10,解得k4±所以直線l的斜率為4或4層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相切B相交C相離 D不確定解析:選B直線ykxk1可變形為y1k(x1),故直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),而該點(diǎn)在橢圓1內(nèi)部,所以直線ykxk1與橢圓1相交,故選B2橢圓mx2ny21與直線

48、y1x交于M,N兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段MN中點(diǎn)所在直線的斜率為,則的值是()A BC D解析:選A由消去y得,(mn)x22nxn10設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),MN中點(diǎn)為(x0,y0),則x1x2,x0,代入y1x得y0由題意,選A3已知F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足·0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B0,C0, D,1解析:選C,點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上,又點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部,c<b,c2<b2a2c2,即2c2<a2,<,即<又e>0,0<e<4已知橢圓C:y21的右焦點(diǎn)為F,直線l:x2,

49、點(diǎn)Al,線段AF交橢圓C于點(diǎn)B,若3,則| |()A B2C D3解析:選A設(shè)點(diǎn)A(2,n),B(x0,y0)由橢圓C:y21知a22,b21,c21,即c1右焦點(diǎn)F(1,0)由3得(1,n)3(x01,y0)13(x01)且n3y0x0,y0n將x0,y0代入y21,得×221解得n21,|5(全國(guó)卷)已知橢圓E:1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),則E的方程為()A1 B1C1 D1解析:選D因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1,1),所以直線AB的方程為y(x3),代入橢圓方程1消去y,得x2a2xa2a2b20,

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