高二數(shù)學(xué)反證法(公開課)（課堂PPT）

1、12.2.2 反證法反證法2將將9 9個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣個球分別染成紅色或白色。那么無論怎樣染，至少有染，至少有5 5個球是同色的。你能證明這個結(jié)個球是同色的。你能證明這個結(jié)論嗎？論嗎？引例引例1：引例引例2：證明：設(shè)證明：設(shè)p為正整數(shù)，如果為正整數(shù)，如果p2是偶數(shù)是偶數(shù), 則則p也是偶數(shù)。也是偶數(shù)。假設(shè)假設(shè)p不是偶數(shù)，可令不是偶數(shù)，可令p=2k+1，k為非負整數(shù)。為非負整數(shù)?？傻每傻?p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇數(shù)，這與條件是奇數(shù)，這與條件矛矛盾，因此假設(shè)盾，因此假設(shè)p不是偶數(shù)不成立，從而證明不是偶數(shù)不成立，從而證明p為偶數(shù)。為偶數(shù)。正難則反正難則反

2、3假設(shè)假設(shè)命題命題結(jié)論結(jié)論的的反面成立反面成立，經(jīng)過正確的推理，經(jīng)過正確的推理, ,引出引出矛矛盾盾，因此說明，因此說明假設(shè)錯誤假設(shè)錯誤, ,從而從而間接間接證明證明原命題成立原命題成立, ,這這樣的的證明方法叫樣的的證明方法叫反證法反證法。 反證法反證法4反證法的證明過程：反證法的證明過程： 反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬存真存真反設(shè)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，假設(shè)命題的結(jié)論不成立， 即假設(shè)原結(jié)論的反面為真即假設(shè)原結(jié)論的反面為真.歸謬歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，從反設(shè)和已知條件出發(fā)， 經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理， 得出矛盾結(jié)果得出矛盾結(jié)果.存真存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，由矛盾結(jié)果，

3、斷定反設(shè)不真， 從而肯定原結(jié)論成立從而肯定原結(jié)論成立.5例例1證明證明 不是有理數(shù)。不是有理數(shù)。2證明：假定證明：假定 是有理數(shù)，則可設(shè)是有理數(shù)，則可設(shè) ,其中其中p，q為為互質(zhì)的正整數(shù)，互質(zhì)的正整數(shù)，22pq 兩邊平方得到，兩邊平方得到，2q2=p2， 式表明式表明p2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以p也是偶數(shù)，于是令也是偶數(shù)，于是令p=2l，l是正整數(shù)，代入式，是正整數(shù)，代入式，得得q2=2l2， 式表明式表明q2是偶數(shù)，所以是偶數(shù)，所以q也是偶數(shù)，這樣也是偶數(shù)，這樣p，q都有公因數(shù)都有公因數(shù)2，這與，這與p，q互質(zhì)矛盾，互質(zhì)矛盾，因此因此 是有理數(shù)不成立，于是是有理數(shù)不成立，于是 是無理數(shù)是無理

4、數(shù).226例例2證明證明1， ，2不能為同一等差數(shù)列不能為同一等差數(shù)列的三項。的三項。3證明：假設(shè)證明：假設(shè)1， ，2是某一等差數(shù)列中的是某一等差數(shù)列中的三項，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為三項，設(shè)這一等差數(shù)列的公差為d，則，則31= md，2= +nd，其中，其中m，n為某為某兩個正整數(shù)，兩個正整數(shù)，337由上兩式中消去由上兩式中消去d，得到，得到n+2m=(n+m) ,因為因為n+2m為有理數(shù)，為有理數(shù)，(m+n) 為無理數(shù)為無理數(shù),33所以所以n+2m(n+m)，因此假設(shè)不成立，因此假設(shè)不成立，1， ，2不能為同一等差數(shù)列中的三項不能為同一等差數(shù)列中的三項.38221223., ,2,22.a

5、b caxbxc ybxcxaycxaxbx例3已知是互不相等的實數(shù) 求證：由y和確定的三條拋物線至少有一條與 軸有兩個不同的交點9212221222222222222,= 240= 240= 2402,2,23,xbaccababcabcabbcacabab bcbc acacabcabbcac假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與 軸有兩個不同的交點 則以例 證明：上三式相加得又因為互不相等，由基本不等式得相加得以上兩式矛盾因此假設(shè)不成立 從而命題得證1011例例5 5. .(2011(2011南通模擬南通模擬) )若若a a、b b、c c均為實數(shù)均為實數(shù), ,且且求證：求證：a a、b

6、 b、c c中至少有一個大于中至少有一個大于0.0.22by2z,cz2x.362ax2y,21213例例6.設(shè)設(shè)0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414則三式相乘：則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 16414又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘：以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 與矛盾與矛盾164原式成立。原式成立。15原詞語原詞語 否定詞否定詞 原詞語原詞語 否定詞否定詞 等于等于任意的任意的是是 至少有一個至少有一個 都是都是 至多有一個至多有一個 大于大于 至少有至少有n n個個 小于小于 至多有至多有n n個個 對所有對所有x x成立成立對任何對任何x x不成立不成立準確地作出反設(shè)準確地作出反設(shè)( (即否定結(jié)論即否定結(jié)論) )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常見的下面是一些常見的關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞的否定形式的否定形式. . 不是不是不都是