ARMA模型的參數(shù)估計(jì)主要內(nèi)容

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第六章 ARMA模型的參數(shù)估計(jì)主要內(nèi)容§6.1 AR(p)模型的參數(shù)估計(jì)問題: 已知的AR(p):,.(1.1)由去估計(jì)和.1. AR(p)模型的Yule-Walker估計(jì)自回歸系數(shù)由自協(xié)方差函數(shù)惟一確定.白噪聲的方差由決定.現(xiàn)獲, , 則作(1) ;(2) ;(3) 只要不全同, 則正定, 得惟一, .實(shí)用中, Levinson遞推公式(無(wú)需求逆, 快):(1)(2) ,.以上Yule-Walker估計(jì)的最大優(yōu)點(diǎn)是:即最小相位(只要正定).定理1.1(參見18) 若獨(dú)立同分布, , 則當(dāng)時(shí), 有(1) ;(2) (3) ,.由上(2)得: . (其中是中相

2、應(yīng)元素)置信水平0.95的漸近區(qū)間:.2. AR(p)模型的最小二乘估計(jì)設(shè)是的估計(jì), 稱使殘差的最小的為最小.記當(dāng)正定時(shí), 有惟一的.理論表明:,.即兩種估計(jì)差別不大. 對(duì)二乘估計(jì),也有大樣本性質(zhì)定理1.2若,獨(dú)立同分布,是最小二乘估計(jì), 則當(dāng)時(shí), 有3. AR(p)模型的最大似然法設(shè)模型的 , 則從而得關(guān)于的似然函數(shù)為通過解似然方程結(jié)果同最小二乘法.例1.1 設(shè)白噪聲, 模型為分別用Yule-Walkey法和最小二乘法估計(jì)參數(shù).結(jié)果見程序ese6_1_1.m4. AR(p)模型的定階問題若偏相關(guān)系數(shù), 則認(rèn)為.以上結(jié)果由以下定理保證.定理1.3 若AR(p)中是獨(dú)立同分布,則對(duì)任何, 有.為

3、了檢驗(yàn), 可借助極限分布.定理1.4 若AR(p)中是獨(dú)立同分布的, , 則對(duì)確定的, 有推論1.5 在定理1.4的條件下, 對(duì), 有.(證明略見196頁(yè))故有95%的概率落在.因此取的估計(jì)可能較高.實(shí)際中, 常用AIC準(zhǔn)則:(1) 分別取(上界或較大數(shù)); (2) 求AR(k)時(shí)的;(3) 計(jì)算 (4) 稱為AIC定階.注1: 一般(真), 并無(wú), 即不相合;注2: 通常, 略高的階數(shù)比低的階數(shù)要好. 有利歷史數(shù)據(jù)利用, 等.為克服不相合, 改用BIC(k)函數(shù)定階.(上界)注3: 若是獨(dú)立同分布的, 則BIC(k)是強(qiáng)相合的;注4: 當(dāng)不大, BIC定階偏低,會(huì)失真, 宜取AIC.5. A

4、R(p) 模型的擬合檢驗(yàn)設(shè)由已得, , , 對(duì)殘差: ,用§4.3白噪聲檢驗(yàn): 若符, 則認(rèn)可, 并用于預(yù)測(cè), 否則重估、改用MA(q), ARMA(p,q).6. AR(p)序列的譜密度的估計(jì),代入.注5: 若是獨(dú)立同分布的,是由AIC或BIC定階的, 則一致收斂到.例1.2 取附錄B7中的300個(gè)數(shù)據(jù), 對(duì)AR模型的階數(shù)分別為上界,解Y-W方程, 4截尾的. 所以用B7數(shù)據(jù)擬合出AR模型的階數(shù)應(yīng)為4, 即通常AIC定階略高, 下圖即為用以上模型產(chǎn)生的300個(gè)數(shù)據(jù), 重復(fù)1000次中定階的結(jié)果, 定階有別. 但充分多數(shù)據(jù)和大數(shù)重復(fù)后, 定階的情況很接近. 例1.3 對(duì)用B7數(shù)據(jù)擬合

5、出的模型, 進(jìn)行擬合檢驗(yàn).(1) 中心化: ;(2) 計(jì)算殘差:;()(3) 計(jì)算的自相關(guān)系數(shù);(4) 計(jì)算卡方值: (假設(shè)是白噪聲的統(tǒng)計(jì)量);(5) 計(jì)算臨界值(6) 判斷: 所有, 則不能拒絕殘差是獨(dú)立的白噪聲的假設(shè), 即認(rèn)可.§6.2 MA(q)模型的參數(shù)估計(jì)MA(1)模型: , .不難得: , 于是得: , 即,可解得: , (,時(shí)).估計(jì)值: ,(獨(dú)立白噪聲).1. 一般可逆MA(q)模型的矩估計(jì)及其計(jì)算若先知,則有及個(gè)非線性方程 ()反之, 若先知, 由上方程, 可解得.線性迭代法求解法:(1) 用求;(2) 初值: 任取(3) 迭代:(4) 停止: .(5) 檢驗(yàn)可逆條

6、件, 不滿足, 重取初值, 重算.也可用§3.1中的方法(MA(q)的是截尾的)(1) 用求;(2) 作(3) 分別計(jì)算和其中:. 合理性由以下定理給出.定理2.1若MA(q)中是獨(dú)立同分布的, 則當(dāng)充分大后,幾乎必然滿足可逆條件.實(shí)用可逆充分條件是: .2. MA(q)模型的逆相關(guān)函數(shù)法簡(jiǎn)介想法: 視 MA模型ïAR模型, 故先求AR模型參數(shù), 而后求MA模型參數(shù), 即:AR(p)方法步驟:(1) 用,求,用AIC等法定出AR(p)的階;(2) 取, 用Y-W方程確定;(3) 用引理2.2, 計(jì)算, 即(),(4) 利用Y-W方程和求得()和.3. MA(q)模型的新息估

7、計(jì)方法簡(jiǎn)介設(shè), ;則樣本新息: ;預(yù)測(cè)均方差: ;前證可表: , 遞推得,當(dāng)較大時(shí), 得: 新息的估計(jì),由此對(duì)較大的, 得近似MA(q)模型從而有與比;合理的估計(jì): ;具體的新息估計(jì)步驟:(1) 用, 取, 計(jì);(2) 用遞推公式 約定,(3) 取.方法的理論依據(jù)為定理2.3(18) 略.4. MA(q)模型的定階方法(后截尾特點(diǎn))(1) (2) AIC定階1) 假設(shè)已獲得的上界;2) 逐個(gè)計(jì)算MA(m)()的;3) 計(jì)算4) 比出最小值的最小作為的估計(jì).5. MA(q)模型的擬合檢驗(yàn)設(shè)由已得, , , 令 和 ,對(duì), 聲 若 為白噪聲, 則認(rèn)可模型, 否則重新估計(jì)擬合模型. 或改用AR(p), ARMA(p,q)例2.1設(shè)是§3.1例1.1中197個(gè)化學(xué)濃度的數(shù)據(jù), 對(duì)數(shù)據(jù)建立MA(1)模型為擬合檢驗(yàn)步驟:(1) 取;(2) 計(jì)算殘差: 令,(3) 計(jì)算的自相關(guān)系數(shù);(4) 計(jì)算是白噪聲的統(tǒng)計(jì)量;(5) 計(jì)算臨界值(6) 判斷: 若所有, ,則不能拒絕殘差是獨(dú)立的白噪聲的假設(shè).模型通過檢驗(yàn).6. MA(q)序列的譜密度的估計(jì)把,代入得譜估計(jì): .