第23課時(shí)直角三角形與勾股定理

1、第23課時(shí) 直角三角形與勾股定理解題方法示屏 類(lèi)型題展示類(lèi)型一 勾股定理及逆定理例1. （2011肇慶）在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，則AB 方法點(diǎn)撥：本題考查了勾股定理的運(yùn)用。由C 90得變式題一（2道）ABCE例2：（2011山東棗莊，21，8分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：（1）畫(huà)線段ADBC且使AD =BC，連接CD；（2）線段AC的長(zhǎng)為 ，CD的長(zhǎng)為 ，AD的長(zhǎng)為 ；（3）ACD為 三角形，四邊形ABCD的面積為 ；（4）若E為BC中點(diǎn)，則tanCAE的值是 方法點(diǎn)撥：本題考查了基本作圖、勾股定理及

2、逆定理。（1）利用基本作圖作出圖形；（2）用勾股定理在方格中求出相關(guān)線段長(zhǎng)度；（3）利用勾股定理的逆定理判定，再求此直角三角形面積；（4）在圖形中找出與CAE相等的角，再利用銳角三角函數(shù)求出.B例3： 某小區(qū)有一塊草坪如圖所示，已知米，米，米，米，且，這塊草坪的面積是多少？方法點(diǎn)撥：本題考查了勾股定理及逆定理.連接AC，用勾股定理及逆定理可解.類(lèi)型二 直角三角形的判定ABCDE例4.（2011四川內(nèi)江，18，9分）如圖，在RtABC中，BAC=90，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連結(jié)BE、EC試猜想的形狀，并證明你

3、的猜想 方法點(diǎn)撥：本題考查了直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定。由題意可猜想EBC 是等腰直角三角形.分析發(fā)現(xiàn)：證EBC 是等腰直角三角形其實(shí)質(zhì)是證BEEC，BEC=90.而證BEC=90其實(shí)質(zhì)是只要證AEB=DEC.兩項(xiàng)均指向同一目標(biāo)，即證AEBDEC即可。判定直角三角形的思路：一是證有一個(gè)角是直角，它可以通過(guò)垂直的定義或角相等（全等）來(lái)證，二是利用勾股定理的逆定理來(lái)證。ABCMDE變式題二例5：已知，如圖，ABC中，B90，AB=BC,BD=CE,M是AC邊的中點(diǎn).求證：DEM 是等腰直角三角形.方法點(diǎn)撥：本題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定。分析觀察圖形，本題可通過(guò)三角形全等

4、來(lái)證，因而要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形。由M是AC邊的中點(diǎn)知：連接BM即可。 易錯(cuò)題探究直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用AEBCDP例6. 已知，如圖，在ABC中，A=90，AD是BC邊上的高，BE是角平分線，且交AD于P. （1）求證：AE=AP; (2)如果C=30，AE1，求AC的長(zhǎng)。 錯(cuò)解：(1)BAC=90,ABC=60BE平分ABC ABE =CBE= 30 AEB=60 AD是高 ADB=90 DPB=60DPB=APE= AEP= 60 AE=AP(2)由(1)得C=CBE =30 EB=EC AE=1 BE=2 易錯(cuò)分析：本題考查幾種特殊直角三角形的性質(zhì)。解題時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)：一是在非直角三角形中使用

5、直角三角形的性質(zhì)；二是把非特殊直角三角形看作特殊直角三角形來(lái)用；三是直角三角形的性質(zhì)識(shí)記錯(cuò)誤。本題（1）中就是把ABC當(dāng)作是30的特殊三角形來(lái)證題。備考滿分挑戰(zhàn)雙礎(chǔ)訓(xùn)練1. （2010欽州）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC6 cm、BC8 cm，現(xiàn)將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（ ）（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm2. 3.（2011貴州貴陽(yáng)，7，3分）如圖，ABC中，C=90，AC=3，B=30，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則AP長(zhǎng)不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）74. 如圖，直角三角板ABC的斜邊A

6、B=12，A=30，將三角板ABC繞C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使點(diǎn)落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板平移的距離為（ ） A. 6 B. 4 C. D.BCDA5.(2011臺(tái)灣全區(qū)改編）如圖，ABBC、ABAD,垂足為B、A,若AB=160,BC=80,CD=340.那么AD（ ）A 100 B 180 C 220 D 2606. （2011四川涼山州，15，4分）把命題“如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么”的逆命題改寫(xiě)成“如果，那么”的形式： 。7.（2011德州）下列命題中，其逆命題成立的是_（只填寫(xiě)序號(hào)）同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

7、如果兩個(gè)角是直角，那么它們相等；如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形ACEDBF30458. （2011山東棗莊，15，4分）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，若=14cm，則陰影部分的面積是_cm2. 9.(2011重慶綦江，16，4分) 一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡角A30,B90,BC6米. 當(dāng)正方形DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置,即當(dāng)AE 米時(shí),有DCAEBC.10. （2011四川廣安，28，10分）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰

8、三角形，且擴(kuò)充部分是以8m的邊為直角邊的直角三角形求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng)11. （2011四川綿陽(yáng)）王偉準(zhǔn)備用一段長(zhǎng)30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一條邊長(zhǎng)為米，由于受地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米.(1)請(qǐng)用表示第三條邊長(zhǎng)；(2)問(wèn)第一條邊長(zhǎng)可以為7米嗎？為什么?請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出的取值范圍；(3)能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說(shuō)明你的圍法;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.BAEDFC12. （2011湖北鄂州，18，7分）如圖，在等腰三角形ABC中，ABC=90，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEDF，交AB于E，交BC于F

9、，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)能力提升題量要求：選擇題3道，填空題3道，解答題2道ODAEFCB13.（2011山東煙臺(tái)）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來(lái)連接管道，則O到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心O為點(diǎn)）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m14. （2011蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)。若EF2，BC5，CD3，則tan C等于 A B C D15. （2011湖北黃石，7，3分）將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3cm的紙帶邊沿上，

10、另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖(3)，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（ ）A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cmACBEFD16. （2011江蘇無(wú)錫，16，2分）如圖，在RtABC中，ACB = 90，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若CD = 5cm，則EF = _cm17. （2011淮安18）如圖，在RtABC中，ABC=90，ACB=30，將ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)15后得到AB1C1，B1C1交AC于點(diǎn)D，如果AD=2，則ABC的周長(zhǎng)等于 18. （2011溫州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅

11、“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1,S2，S3若S1+S2+S310，則S2的值是 19. （2011廣西玉林25改編）如圖，點(diǎn)G是正方形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AG為邊作一個(gè)正方形AEFG，線段EB和GD相交于點(diǎn)H（1）求證：HGB是直角三角形.（2）若AB=2，AG=，求EB的長(zhǎng)20. （2011長(zhǎng)沙模擬） 如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km

12、 (1).水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置；(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米1500元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？第23課時(shí) 直角三角形與勾股定理參考答案解題方法示屏例1：【答案】15ABCED例2.【解答】解：（1）如圖； （2），5； （3）直角，10； （4）例3.【解答】解：連接AC. ABBC ABC=90 CD=12 DA=13 AC2+CD252+122169132DA2 ACD是直角三角形，ACD=90 四邊形ABCD的面積例4.【解答】解：EBC 是等腰直角三角形AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)AB=AD

13、=CDEAD=EDA=45EAB=EDC=135EA=EDEABEDCAEB=DEC，EB=ECBEC=AEB+BED=AED=90EBC 是等腰直角三角形.例5. 【解答】證：連接BM. M是AC邊的中點(diǎn)，B90,AB=BC MB=MC MBAC MBD=C=45 在DMB和EMC中 DMBEMC DM=EM DMB=EMC BME+EMC=90 BME+BMD=90即DME90 DEM 是等腰三角形例6. 正解：（1）BAC= ADB= 90 ABE+ AEB= 90 PBD+BPD= 90 BE平分ABC ABE =CBE即ABE =PBD APE= AEP AE=AP(2) C=30

14、AE=1ABE =CBE= 30 BE=2 EB=EC AC=AE+EC=3備考滿分挑戰(zhàn)1. 【答案】B 【解析】本題考查了勾股定理和圖形變換的性質(zhì)。解題思路：解RtABC得AB=10cm，由圖形變換性質(zhì)得BE=AE=5cm.2. 【答案】 D【解析】本題考查了勾股定理和圓錐側(cè)面面積求法.解題思路：由勾股定理得BC=5，再由圓錐側(cè)面面積求法可直接得出結(jié)果。3.【答案】D 【解析】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系。解題思路：由C=90，AC=3，B=30得AB=6.又點(diǎn)P是BC邊上，所以3AP6.故選D.4.【答案】A 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質(zhì)，要熟練掌握好直角三角形中，30角所對(duì)的

15、邊等于斜邊的一半. 解題思路：在直角ABC中，AB=12，A=30，則，；若設(shè)平移后落在原三角板ABC的斜邊AB上的點(diǎn)為M，則AM中，A=30，所以.EBCDA5.【答案】【解析】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系和勾股定理.解題思路：如圖，作CEDA，交DA的延長(zhǎng)線于E，由題意知DAB=B=E=90,EC=BA=160,DC=340,所以DE=300, AD220.故選D.6.【答案】如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 【解析】本題考查了對(duì)勾股定理的逆定理的理解和識(shí)記。解題思路：先弄清命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫(xiě)出其逆命題即可。注意寫(xiě)逆命題時(shí)a，b，c不能表示直角邊和斜邊，

16、而是任意三角形的邊。7.【答案】 【解析】本題考查了命題、逆命題的真假性. 解題思路：逆命題兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，真命題；如果兩個(gè)角相等，那么它們是直角，假命題；如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么它們相等，假命題；如果一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)是 a，b，c，那么，真命題8.【答案】 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質(zhì)，要熟練掌握好兩個(gè)特殊三角形的性質(zhì). 解題思路：在直角ABC中，AB=14，B=30，則由題意可知ACF為等腰直角三角形，所以.9. 【答案】： 【解析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和數(shù)形結(jié)合思想。 解題思路：在ABC中，BC=6，B90，A=30，則，若設(shè)米，則米，由勾股

17、定理可得：.所以有：，解得.故當(dāng)時(shí)，有DCAEBC.10. 【思路分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形和分類(lèi)思想.由題意知：此等腰三角形有三種情形如下圖,再根據(jù)圖形求出等腰ABD的周長(zhǎng).ABCDABCDABCD （1）AB=AD (2)BD=AB (3)BD=AD解：在RtABC中，AC=8m，BC=6m，AB=10m，（1）當(dāng)AB=AD時(shí)，CD=6m，ABD的周長(zhǎng)為32m；（2）當(dāng)AB=BD時(shí)，CD=4m， ABD的周長(zhǎng)是（20+）m；（3）當(dāng)DA=DB時(shí)，設(shè)AD=x，則CD=x-6，則，ABD的周長(zhǎng)是m，11.【思路分析】本題考查了直角三角形的邊的關(guān)系和勾股定理。（1）根據(jù)題意用的代數(shù)式表

18、示三角形的三邊；（2）用三角形三邊關(guān)系可以確定；（3）用勾股定理驗(yàn)證?！窘獯稹拷猓?1)根據(jù)題意得：第一條邊為,則第二條邊為2+2,第三條邊為30-（2+2）=28-3(2)不可以是7，當(dāng)7時(shí)，2+216，28-37，即這個(gè)三角形的三邊是7、16、7.而7+716，不滿足三邊之間的關(guān)系，所以不可以構(gòu)成三角形。(3)能.其理由是：根據(jù)題意得：解得：又是整數(shù)，5、6當(dāng)5時(shí)，2+212，28-313，此時(shí),可以圍成一個(gè)滿足條件的直角三角形.當(dāng)6時(shí)，2+214，28-310，此時(shí),不可以圍成一個(gè)滿足條件的直角三角形.12. 12.【解題思路】此題考查了直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半、三角形全等的判

19、定和性質(zhì)和勾股定理。只要抓住等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，解決起來(lái)并不困難。要求EF，先要求出BE、BF.所以連結(jié)BD，證BEDCFD和AEDBFD，得BF=4，BE=3，再運(yùn)用勾股定理求得EF=5【解答】連結(jié)BD，ABC=90，D為AC邊上中點(diǎn) AD=CD=BD，ADB=90，ABD=CDB=A=C=45DEDF EDB+BDF=90BDF+FDC=90 EDB=FDC在BED和CFD中 BEDCFD同理上AEDBFD BE=CF=3 BF=AE=4 13.【答案】C 【解析】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質(zhì)。解題思路：由勾股定理得AB=10m，再由直角三角形性質(zhì)得:O是內(nèi)心且

20、OD=OE=OF。所以有：,解得OD2m，所以O(shè)到三條支路的管道總長(zhǎng)是6m.14.【答案】B 【解析】本題考查了三角形中位線定理, 勾股定理, 銳角三角函數(shù)定義。解題思路：連接BD, 在中,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn), 且EF2,BD=4.在中,BD=4, BC5，CD3, 滿足是直角三角形.所以。15.【答案】D 【解析】本題考查了特殊直角三角形的性質(zhì)。解題思路：由“直角三角形中，30角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”可求得等腰直角三角板的直角邊長(zhǎng)是6cm.又由等腰直角三角形的性質(zhì)可得斜邊（最大的邊）是6cm.16.【答案】5 【解析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)。解題思路：由ACB = 90，D分別是AB的中點(diǎn)得：AD=DB=CD=5cm.又E、F分別是BC、CA的中點(diǎn)，所以.17. 【答案】 【解析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)和直角三角形的性質(zhì)，既要弄清等腰梯