第4章動量與角動量

1、1動量和角動量24-1 4-1 動量和動量定理動量和動量定理4-1-1 沖量反映力對時間的累積效應(yīng)。沖量：作用力與作用時間的乘積。恒力的沖量：)(12ttFI變力的沖量：21)(ttttFId單位：Ns34-1-2 動量動量：運動質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積。vmp 單位：kgm/s 物體的運動狀態(tài)不僅取決于速度，而且與物體的質(zhì)量有關(guān)。 車輛超載超速引發(fā)交通事故4牛頓運動定律：amFtptmFddd)(dv動量定理的微分式：tFpdd如果力的作用時間從 ，質(zhì)點動量從 tt 0pp0ttpptFp00dd4-1-3 動量定理5質(zhì)點動量定理： 質(zhì)點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。000

2、vvmmpptFIttd說明：（1） 沖量的方向 與動量增量 的方向一致。Ip動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理。常把動量和沖量投影在坐標(biāo)軸上以分量形式進(jìn)行計算。（2）6ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv平均沖力：tttFttF0d10 tFttFI7結(jié)論：物體動量變化一定的情況下，作用時間越長，物體受到的平均沖力越?。环粗畡t越大。 海綿墊子可以海綿墊子可以延長運動員下落時延長運動員下落時與其接觸的時間，與其接觸的時間，這樣就減小了地面這樣就減小了地面對人的沖擊力。對人的沖擊力。 8設(shè)n個質(zhì)點構(gòu)成系統(tǒng)第i個質(zhì)點：外力i

3、F內(nèi)力iF內(nèi)初速度0iv末速度iv質(zhì)量 mi質(zhì)點動量定理：0d0iiiittiimmtFFvv內(nèi)iFiF內(nèi)4-2 4-2 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理 4-2-1 質(zhì)點系動量定理9 0d0iiiittiimmtFFvv內(nèi) 0iF內(nèi)其中：系統(tǒng)總末動量：iimpv系統(tǒng)總初動量：00iimpv合外力的沖量： ttitF0d12內(nèi)F21內(nèi)F1F2F1m2m10質(zhì)點系的動量定理：ppptFtti 00d微分式：tpFidd質(zhì)點系所受合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。注意：系統(tǒng)的內(nèi)力不能改變整個系統(tǒng)的總動量。 11imO1m2mxyzCCr1rir2rn21nn2211mmmrm

4、rmrmrCmrmiicr設(shè)由n個質(zhì)點構(gòu)成一質(zhì)點系質(zhì)量：m1， m2， mn位矢： ， ， 1r2rnr4-2-2 質(zhì)心質(zhì)心位矢：12質(zhì)心位置的分量式：iiiCmxmxiiiCmymyiiiCmzmz連續(xù)體的質(zhì)心位置：mmxxCddmmyyCddmmzzCdd對于密度均勻，形狀對稱的物體，其質(zhì)心都在它的幾何對稱中心。說明：13iiCrmrm質(zhì)心位置公式：trmtrmiiCddddiiCmmvv結(jié)論： 質(zhì)點系的總動量等于總質(zhì)量與其質(zhì)心運動速度的乘積。 由質(zhì)點系動量定理的微分式可得：tmtmmttpFCiiiiiddddddddvvv4-2-3 質(zhì)心運動定理14CiamF質(zhì)心運動定理：作用于質(zhì)點系

5、上的合外力等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積。質(zhì)心的兩個重要性質(zhì)：系統(tǒng)在外力作用下，質(zhì)心的加速度等于外力的矢量和除以系統(tǒng)的總質(zhì)量。（2）系統(tǒng)所受合外力為零時，質(zhì)心的速度為一恒矢量，內(nèi)力既不能改變質(zhì)點系的總動量,也就不能改變質(zhì)心的運動狀態(tài) 。（1）15a例5 求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板質(zhì)心的位置坐標(biāo)。0CyOxyxxd解取如圖坐標(biāo)軸對稱性分析可知 取寬度為dx的面積元,設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為,則此面積元的質(zhì)量為xxxymd2d2daxxxxmmxxaac32d2d2dd202021600dpptFtti 質(zhì)點系的動量定理：0iF當(dāng)時，0pp有系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)的總動量保持不變

6、。常矢量iimpv條件： 0iF動量守恒定律：4-3 4-3 動量守恒定律動量守恒定律17說明：（1）系統(tǒng)的總動量守恒并不意味著系統(tǒng)內(nèi)各個質(zhì)點的動量不變，而是指系統(tǒng)動量總和不變。（2）當(dāng)外力作用遠(yuǎn)小于內(nèi)力作用時，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動量守恒。（如：碰撞、打擊等）動量守恒的分量式： 動量守恒定律是自然界最普遍的規(guī)律之一，它動量守恒定律是自然界最普遍的規(guī)律之一，它不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀物體。不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀物體。0 0 0 zizizyiyiyxixixFmpFmpFmp常量常量常量vvv18例8 一質(zhì)量為m的小球在質(zhì)量為M的圓弧形槽上,圓弧形槽半徑為R,放在水平地面上,小

7、球與槽間、槽與地面間的摩擦忽略,現(xiàn)小球從圓弧形槽頂端靜止滑下,求剛離開槽時,小球和木塊的速度等于多少?解水平方向所受合外力為零，因此系統(tǒng)動量守恒：0vmMV小球、槽、地球組成的系統(tǒng)在運動過程中機(jī)械能守恒：222121MVmmgRv小球速度： 槽速度： mMMgR2v)(2mMMgRmV19例9 質(zhì)量為m的人拿著質(zhì)量為m的物體,與地面成角的方向向前跳躍,初速率為v0,在跳到最高點P處時,人將物體相對于人以u的速率水平向后拋出,問人的跳躍水平距離增加了多少？解 最高點P拋前和拋后過程,水平運動滿足動量守恒條件.設(shè)拋后人對地的速率為v1,物體對地的速率為v2,則有：)(cos)(110ummmmvv

8、v)(12u vv0vxyOP1x2x20ummmcos01vv從最高點落到地面所需的時間：gtsin0v 跳躍增加的水平距離：gmmmutxxx)(sin )cos(00112vvv214-4 4-4 碰撞碰撞兩個或兩個以上的物體在運動中發(fā)生極其短暫的相互作用，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生急劇變化，這一過程稱為碰撞。 221m1m2m2m1m10v20v1v2vxO動量守恒2211202101vvvvmmmm完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失。 非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失。 完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失，且碰撞后碰撞物體結(jié)合成一體，以同一速度運動。 231.

9、完全彈性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1)如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換。 (2) 如果v20 = 0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 0242完全非彈性碰撞 21202101mmmmvvv由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv25牛頓的碰撞定律：在一維

10、對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20 成正比，比值由兩物體的材料性質(zhì)決定。 3非彈性碰撞201012vvvve e 為恢復(fù)系數(shù) e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞：0 e 1 26mxyzrLpO設(shè)：t 時刻質(zhì)點的位矢r質(zhì)點的動量vm運動質(zhì)點相對于參考點O的角動量定義為vmrprL單位：kg m2/s4-5-1 質(zhì)點的角動量4-5 4-5 質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量27角動量大?。簊insinvmrrpL角動量的方向： 位矢 和動量 的矢積方向vmr如果質(zhì)點繞

11、參考點O 做圓周運動rpOrmprLv角動量與所取的慣性系有關(guān)；角動量與參考點O的位置有關(guān)。 注意：28質(zhì)點對參考點的角動量在通過點的任意軸線上的投影，稱為質(zhì)點對軸線的角動量。 LOzLzcosLLz設(shè)各質(zhì)點對O點的位矢分別為nrrr,21動量分別為nppp,21niniiiiprLL11)(質(zhì)點系的角動量L294-5-2 力矩質(zhì)點的角動量 隨時間的變化率為 LtprptrtprtLdddddddd1力對參考點的力矩0ddpptrv式中FtpddFrtLdd 質(zhì)點角動量的改變不僅與所受的作用力 有關(guān)，而且與參考點O到質(zhì)點的位矢 有關(guān)。 rF30定義：外力 對參考點O的力矩：FxyzrOMF力矩

12、的大?。簊inrFM FrM力矩的方向由右手螺旋關(guān)系確定，垂直于 和 確定的平面。rF單位：Nm31設(shè)作用于質(zhì)點系的作用力分別為：nFFF,21作用點相對于參考點O的位矢分別為： nrrr,21相對于參考點O的合力矩為：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF322力對軸的矩OZzMM力 對軸的力矩： F力 對點的力矩 在過點的任一軸線上的投影。FMcosMMzFrFrM/力 對軸Oz的力矩： FFrMzOrFF/FM33tLMdd1221LLtMttd質(zhì)點的角動量定理： 質(zhì)點對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于質(zhì)點所受的合外力對同一參考點的力矩。 角動量定理的積分式：21tttMd稱為“

13、沖量矩”4-5-3 角動量定理 角動量守恒定律34質(zhì)點系的角動量：niniiiiprLL11)(兩邊對t求導(dǎo)：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptriiiiiFFrtpr內(nèi)dd0iiFr內(nèi)式中iiiiFrFrtL內(nèi)dd合內(nèi)力矩為零上式中35tLFrMiidd 質(zhì)點系對某一參考點的角動量隨時間的變化率等于系統(tǒng)所受各個外力對同一參考點力矩之矢量和。質(zhì)點系角動量定理： 質(zhì)點系對z 軸的角動量定理： tLMzzdd36質(zhì)點系角動量定理的積分式： 2112dttLLtM 作用于質(zhì)點系的沖量矩等于質(zhì)點系在作用時間內(nèi)的角動量的增量 。如果0M質(zhì)點或質(zhì)點系的角動量守恒定律： 當(dāng)系統(tǒng)所受外力對某參考點的力矩之矢量和始終為零時，質(zhì)點系對該點的角動量保持不變。 則L恒矢量37質(zhì)點系對z軸的角動量守恒定律： 系統(tǒng)所受外力對z軸力矩的代數(shù)和等于零，則質(zhì)點系對該軸的角動量守恒。 恒量zL 角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，角動量守恒定律是自然界的一條普遍定律，它有著廣泛的應(yīng)用。它有著廣泛的應(yīng)用。 M = 0的情況：r = 0， F = 0， r與F同向或反向，即質(zhì)點在有心力作用下運動，角動量守恒。 (Mz