不定積分的計算（課堂PPT）

1、.1不定積分的計算不定積分的計算一、第一換元積分法一、第一換元積分法二、第二換元積分法二、第二換元積分法三、分部積分法三、分部積分法.2問題問題cos2xdx 解決方法解決方法利用復合函數(shù)求導的逆運算，設置利用復合函數(shù)求導的逆運算，設置中間變量中間變量. .過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx xCx2cos2sin21 說明結果正確說明結果正確一、第一換元積分法一、第一換元積分法.3( ( )( )fxx dx ,ux對于形如對于形如的積分，設的積分，設( ( )( )( )fxx dxFxC( ( )( )( )( ( )(

2、 )FxCFxxfxx ( )f ux及如果如果 ( ),f u duF uC+連續(xù)，且連續(xù)，且則則該積分法可由下面的逆運算證明該積分法可由下面的逆運算證明這種積分方法也叫做這種積分方法也叫做“”。.4定理定理1( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u duFxC可導可導, 則有換元公式則有換元公式設設 f (u)具有原函數(shù)具有原函數(shù) F (u), u = (x) 連續(xù)連續(xù)dxxg)(如何應用上述公式來求不定積分如何應用上述公式來求不定積分? ? 則使用此公式的關鍵在于將則使用此公式的關鍵在于將 ( )( )fxx dx化為化為的形式，的形式，,)(dxxg假設要求假設要求所以，第

3、一類換元積分法也稱為湊微分法所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法.5例例1 求求 1.21dxx解解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 則則 111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到公式想到公式duuln uC注意換回原變量注意換回原變量.6例例2 求求 2sin.xx dx221sinsin22xx dxxxdx1sin2udu1cos.2uC 解：解：則則2,2uxduxdx21cos.2xC 想到公式想到公式sindu ucosuC .7 這種換元法又稱為湊微分法或配元法這種換元法又稱為湊

4、微分法或配元法, 即引進即引進一個新變量以代替原來的變量一個新變量以代替原來的變量, 對于變量代換熟練對于變量代換熟練以后以后, 可以不寫出中間變量可以不寫出中間變量 u. 例例1 求求 1.21dxx解法二：解法二：111(21)21221dxdxxx1ln |21|.2xC.8例例3 求求 1sin.xdxx一般地一般地, 有有 1sinxdxx解解1()2().fx dxfx dxx2cos.xC 12dxdxx2 sinxdx12 sin2xdxx.9例例4 求求 tan.xdxsintancosxxdxdxx解解ln cos.xC cot xdx類似類似?dcotxxsinsindx

5、xln sin xCcossinxdxx1cos ,cosdxx cossindxxdx 1sin,cosx dxx 1lnduuCu.10例例5 求求 2sincos.xxdx2sincosxxdx解解31sin.3xCsin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(sin )(sin ) sin .x fx dxfx dx一般地一般地, 有有 sincosdxxdx2sinsinxdx323uu duC.11例例6 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin24sincoscosxxxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(si

6、n)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明: :當被積函數(shù)是三角函數(shù)當被積函數(shù)是三角函數(shù)( (如正弦函數(shù)和余如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)弦函數(shù)) )相乘時，拆開奇次項去湊微分相乘時，拆開奇次項去湊微分. .sincosdxxdx )(sincossin42xxdx.12例例7 求求 3sin.xdx3sin xdx解解2(cos1) cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xxC2sinsinxxdx2sincosxdx cossindxxdx 323uu duC.13例例8 求求 211xxxxedxdxeee解211 (

7、)xxdeearctan.xeC()().xxxxe f edxf ede1.xxdxee一般地一般地, 有有 xxdee dx211arctanduuuC.14例例9 求求 一般地一般地, 有有 .2 lndxxx2 lndxxx解1ln ln.2xC1(ln )(ln ) ln .fx dxfx dxx1(ln )2lndxx1lndxdxx1lnduuCu.15),(212xdxdx ,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一類換元法在積分學中是經常使用的，不過第一類換元法在積分學中是經常使用的，不過如何適當?shù)剡x擇變量代換，卻沒有

8、一般的法則可如何適當?shù)剡x擇變量代換，卻沒有一般的法則可循這種方法的特點是湊微分，要掌握這種方法，需循這種方法的特點是湊微分，要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達式中等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達式中拼湊出合適的微分因子拼湊出合適的微分因子.16例例10 求求 221.dxax2222111 ( )dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211( )1 ( )xdxaaa211arctanduuuC1xddxaa.17例例11 求求 221(0).dxaax2221111 ( )dxdxaxaxa解2

9、1( )1 ( )xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa.18例例12 求求 .(12ln )dxxx(1 ln )dxxx解1ln 12ln.2xC1(ln )12lndxx11(2ln1)2 12lndxx1lnduuCu1lndxdxx.19例例13 求求 2331.xx dx2331xx dx解3322(1).3xC 1322(1)3xx dx1332(1)1xdx 1332(1)xdx132223u duuC.20例例14 求求 22.dxxa22()()dxdxxaxa xa解解111()2dxa xaxa111()2dxdxaxaxa111()(

10、)2d xad xaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa.21例例15 求求 2sin.xdx21 cos2sin2xxdxdx解解1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin2.24xxC11cos222dxxdx.22xxtansec解解xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln類似可得類似可得xxdcscCxxcotcscln例例16. 求sec d .x x.23小結小結積分常用技巧積分常用技巧:(1) 分項積分分項積分:(2)

11、 降低冪次降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 湊微分法（陪元方法）湊微分法（陪元方法）(4) 巧妙換元或配元。巧妙換元或配元。等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx利用積化和差利用積化和差; 分式分項等分式分項等;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如.24作業(yè)作業(yè)P155 1 (1)-(18).25二、第二換元積分法二、第二換元積分法 0,xtt且 f x dx設設將積分將積分 化為化為 ( )( )ftdtF tC ,ftdt 1( ),f x dxFxC+若若則則若對結論作復合函數(shù)的求導計算，則可知其正

12、確性。若對結論作復合函數(shù)的求導計算，則可知其正確性。.26例例1 1 求求1.1dxx解解,tx令令2,xt2,dxtdt11dxx21tdtt1 121tdtt 121dxdtt2ln 1.ttC則則于是于是2ln 1.xxC.27例例2 2 求求解解.11dxex xet 1令令21,xet則,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 11111ln1ln1ln1tttCCt .11ln2Cxex ,1ln2 tx11ln11xxeCe.28說明說明當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時，可采用令時，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各

13、根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例3 3 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx .29三、三、分部積分法分部積分法由導數(shù)公式由導數(shù)公式vuvuuv )(積分得積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd 分部積分法一般用于是解決分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題的的不定積分問題的.30例例1. 求求.dl

14、nxxx解解: 令令,ln xu vx 則則1,dudxx221xv 原式原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21uv dxuvu vdx 分析：分析：被積函數(shù)被積函數(shù) xlnx 是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積, 采用分部積分采用分部積分.31例例2 2 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當，積分更難進行選擇不當，積分更難進行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsi

15、nsin.cossinCxxx 分析：分析：被積函數(shù)被積函數(shù) xcosx 是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積, 采用分部積分采用分部積分.uv dxuvu vdx.32(1) v要容易求出要容易求出; (2)要要比比vduudv容易積出容易積出. ddudvuvvduuvxuvuv x或分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當?shù)剡x擇分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當?shù)剡x擇, u v, u v一般來說，一般來說， 選取的原則是：選取的原則是：.33 解題技巧：解題技巧： 分部積分法求不定積分的關鍵分部積分法求不定積分的關鍵是要確定是要確定u，由計算的經驗，可以得出以下順序：，由計算的經驗，可

16、以得出以下順序：“（反三角函數(shù)）、（反三角函數(shù)）、（對數(shù)函數(shù)）、（對數(shù)函數(shù)）、（冪函（冪函數(shù)）、數(shù)）、（指數(shù)函數(shù)）、（指數(shù)函數(shù)）、（三角函數(shù)）（三角函數(shù)）” ，當兩，當兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時，按以上順序，排序種不同類型函數(shù)相乘求積分時，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為在前的函數(shù)作為u.即即 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按按 “ 反對冪指三反對冪指三” 的順序的順序, 前者為前者為 后者為后者為u.v.34例例3. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu 1 v, 則則,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1

17、d()1 (222121xxxxarccosCx 21uv dxuvu vdx.35例例4 求求 arctan.xxdx解解 設設 u = arctanx, v= x, 則則 21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan22 1xxxdxx22111arctan1221xxdxx211 (1)arctan.22xxxC“ 反對冪指三反對冪指三”前者為前者為 后者為后者為u.vuv dxuvu vdx2211,12dudx vxx.36例例5 求求 ln.xdx解解 設設 u = lnx, dv = dx, 則則 1,dudx vxxln xdx于于是是“ 反對冪指三反

18、對冪指三”前者為前者為 后者為后者為u.vuv dxuvu vdx11x nxxdxxlnxxxC.37例例6 求求 2sin.xxdx22sin( cos )xxdxx dx2cos2 cosxxxxdx 2cos2sinxxxdx2cos2( sinsin)xxxxxdx 2cos2 sin2cos.xxxxxC 設設 u = x 2, , 則則 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是于是解：解：sinvx=uv dxuvu vdx.38例例7 求求 sin.xexdxsinsinxxexdxxde解解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.

19、xxxexexexdx 上式最后一項正好是所求積分上式最后一項正好是所求積分, 移到等式左邊然后除移到等式左邊然后除以以2, 可知可知 e x sinx 的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為1(sincos ),2xexx1sin(sincos ).2xxexdxexxC于于是是uv dxuvu vdx.39說明說明:分部積分題目的主要類型分部積分題目的主要類型:1) 直接分部化簡積分直接分部化簡積分 ;2) 分部產生循環(huán)式分部產生循環(huán)式 , 由此解出積分式由此解出積分式 ;(注意注意: 兩次分部選擇的兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型要一致函數(shù)類型要一致 , 解出積分后加解出積分后加 C ).40不定積分計算練習題不定積分計算練習題51.d.xex12.d.12xx-13.d.lnxxx2114.sind.xxx728.tansecd.xx x()22arctan6.d.1xxx+arcsin2107.d.1xxx-25.d.23xxx-.4119.12dxx+()arctan11.1xdxxx+4110.dxxx+14.arcsin d.x x12.sin d.xx x2ln16.d.xxx15.ln d.x x13.d.xxex-.42例例1 求求.231dxx duu 1211ln2uC1ln 32.2xC解解: 令令32 ,ux則則d2d