方程的等量關(guān)系

1、等量關(guān)系問題一、 基本問題的等量關(guān)系基本問題涉及兩類等量關(guān)系，即和差與倍比關(guān)系。1.和差問題【含義】 已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】若有兩數(shù)其和為a 其差為b求這兩數(shù) 設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（a x） 那么就列方程：x (a x) =b（或設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（x b） 那么就列方程：x+ (x b) =a【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1：甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解：1設(shè)甲班有x人，則乙班有（98x）人，可列方程：x -（98-x）= 6（或設(shè)甲班有x人，則乙

2、班有（x6）人，可列方程：x+（x6）= 98）2設(shè)乙班有x人，則甲班有（98x）人，可列方程：（98-x）-x= 6（或設(shè)乙班有x人，則甲班有（x+6）人，可列方程： x+（x+6）=98）例2：甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解：1設(shè)甲有x 筐 則乙有（97x）筐，可列方程：(x-14) -（97x+14）=32設(shè)乙有x 筐 則甲有（97x）筐，可列方程：（97x-14）-（x+14） =32.和倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題?！?/p>

3、數(shù)量關(guān)系】設(shè)有兩數(shù)其和為a 一數(shù)是另一數(shù)的n倍（或）求這兩數(shù)設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（nx） 那么就列方程：x + nx =a（或設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（） 那么就列方程：x+ =a）【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1：果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解：1設(shè)杏樹有x棵，則桃樹有3x棵，可列方程：x+3x=2482設(shè)桃樹有x棵，則杏樹有x棵，可列方程：x+x =248例2： 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍？解：設(shè)：x天后，則可

4、列方程：2（5228x）=32+24x3.差倍問題【含義】 已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】設(shè)有兩數(shù)其差為a 一數(shù)是另一數(shù)的n倍（或）求這兩數(shù)設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（nx） 那么就列方程： n -x x = a（或設(shè)一數(shù)為x，則另一數(shù)就為（） 那么就列方程：x- =a）【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1：果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解：1設(shè)杏樹有x棵，則桃樹有3x棵，可列方程：3x-x=1242設(shè)桃樹有x棵，則杏樹有x

5、棵，可列方程：x-x=124例2：商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解： 設(shè)上月盈利x，則本月盈利（2x+12），則可列方程：（2x+12）- x =304.比例問題（倍比問題）【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。若在解題時，先求出一份

6、是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量的也叫做歸一問題；若先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的數(shù)量的也叫做歸總問題?！緮?shù)量關(guān)系】若兩數(shù)之商為定值則一數(shù)增減多少倍則另一數(shù)也相應增減多少倍。若兩數(shù)之積為定值則一數(shù)增減多少倍那么另一數(shù)則減增多少倍。若有的話求a b c d之一，則設(shè)其一為x，再按公式列方程。如求a，則設(shè)a為x，則可列方程：【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。例1： 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？解：設(shè)需要x元，則可列方程：例2： 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米

7、。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解： 設(shè)可做x套，則可列方程：7913.22.8x（1）這批布總共有多少米？例3：修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解：設(shè)總長為x 由條件知， 公路總長不變，則可列方程：x+300=x例3：孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解： 設(shè)x天可以看完，就有 2436x15 例4：從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊

8、。解： 因為1/21/31/9962 設(shè)大兒得9x，則二兒、三兒分別得6x、2x，可列方程：9x+6x+2x=17二、生活中實際問題的等量關(guān)系實際問題中遇到的等量關(guān)系一般是和差關(guān)系與倍比關(guān)系的綜合運用，只是主次關(guān)系不同而已。倍比定值輔以和差類問題，即兩等量間（或一等量內(nèi)）有倍比定值關(guān)系，而其中又有一等量內(nèi)（或兩等量內(nèi)）的某個或某幾個量內(nèi)存有和差定值的數(shù)量關(guān)系的一類問題。這是以倍比為主、以和差為輔的關(guān)系。（一）行程問題【含義】涉及物體運動的問題?！緮?shù)量關(guān)系】基本的數(shù)量關(guān)系：s = v t 路程 = 速度時間。行程問題有兩種基本形式：相向而行和同向而行。相向而行的公式：相遇時間=距離速度和。同向而

9、行的公式：追及時間=追及距離速度差?！窘忸}關(guān)鍵】要正確的解答有關(guān)行程問題”的應用題，必須弄清物體運動的具體情況。運動的方向（相向，相背，同向），出發(fā)的時間（同時，不同時），出發(fā)的地點（同地，不同地），運動的路線（封閉，不封閉），運動的結(jié)果（相遇、相距多少、交錯而過、追擊）。運動物體受外力作用的情況，如水流的影響、風的影響等。1相遇問題【含義】兩個運動的物體同時（或不同時）由兩地出發(fā)相向而行在途中相遇的問題?！緮?shù)量關(guān)系】 若同時：相遇時間總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時間設(shè)兩運動物體甲乙從甲乙兩地同時出發(fā)相向而行，甲乙兩地相距s，甲速為V甲、乙速為V乙，t時相遇。則可列方程：S=（V甲

10、+V乙）t (可根據(jù)需要選設(shè)s V甲V乙 t之一為x)若不同時，則在路程中加上或減去相應的里程數(shù)?！窘忸}思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。典型例：例：甲乙二人同時從甲乙兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，甲乙兩地的距離84千米，甲乙兩人經(jīng)過幾小時相遇？解： 設(shè)x時相遇.，則可列方程：（15+13）x 84變型例1：甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解： 設(shè)x時相遇.，則可列方程：15x-3=13x+3 那么兩地距離為：（15x-3）或（13x+3）解：設(shè)

11、兩地的距離x x-313=x+315 (時間相等)例2：甲乙二人同時從甲乙兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，甲乙兩地的距離84千米，若乙先行1小時后甲再出發(fā)，則甲乙兩人經(jīng)過幾小時相遇？解：設(shè)x時相遇.，則可列方程：（15+13）x 841312追及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的一類問題?！緮?shù)量關(guān)系】1追及時間追及路程（快速慢速） 即s = v t追及路程（快速慢速）追及時間 即t= v s2例兩運

12、動物體同路同向而行，甲每時走a千米，乙每時走b千米(ab)，乙先走m時，甲x時追上乙？ 則可列方程：mb = (a b )x【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 典型例好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解 ：設(shè)x天追上，則可列方程：（12075）x = 75 12變型例1：兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處同妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解：設(shè)x米遠，則可列方程： (時間相等) 例2：兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走9

13、0米，妹妹每分鐘走60米。哥哥離妹妹300米遠時到了校門口，卻發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取再與妹妹相遇，問從家上學到再與妹妹相遇哥哥共用了多少分鐘？解：設(shè)用x分鐘，則可列方程：則可列方程：60x+90x=3002例3：兩地相距15公里，甲先行15分鐘后乙再追趕并與甲同時到達目的地，已知乙的速度是甲的1.5倍，求甲乙的速度各多少？解：設(shè)甲的速度為x，則乙的為1.5x，由題意可列方程：- =3 航行問題【含義】是指與航行有關(guān)的問題。【解題關(guān)鍵】解答這類問題要弄清船、機速與水風速，船機速是船機本身航行的速度，也就是船機在靜水風中航行的速度；水風速是水流和風的速度，船機順水風航行的速度是船機速與

14、水風速之和；船機逆水航行的速度是船機速與水風速之差。【數(shù)量關(guān)系】1航行問題涉及的航程一般是一定的，因此有數(shù)量關(guān)系：順水風速度順水風航行時間逆水風速度逆水風航行時間順水風速度船機在靜水風中航行的速度+水風速逆水風速度船機在靜水風中航行的速度水風速2若航行器靜水風速為V靜、水風速為V，順程用時t順逆程用時t逆，則可列方程：（V靜+Vn）t1（V靜 - Vn ）t2【解題思路和方法】 1大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。2解答這類問題要弄清船、機速與水風速，船機速是船機本身航行的速度，也就是船機在靜水風中航行的速度；水風速是水流和風的速度，船機順水風航行的速度是船機速與水風速之和；船機逆水航行的

15、速度是船機速與水風速之差。典型例1：一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解：設(shè)需要x小時，則可列方程：（576+）x3（576 24）變型例2 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解：設(shè)x小時，則可列方程：320815320x+15例 3 一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了2.5小時。已知水流的速度是3千米/時，求船在靜水中的速度。解：設(shè)船在靜水中的平均速度為x千米/時，則順流速度為（x+3）千米/時，逆流速度

16、為（x-3）千米/時,由題意得.2(x+3)=2.5(x-3)x=27答：船在靜水中的平均速度為27千米/時。例4 從甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十時，一艘輪船從甲地駛往乙地，下午1時一輛汽車從甲地駛往乙地，結(jié)果同時到達終點。已知輪船的速度是每小時24千米，汽車的速度是每小時40千米，求甲、乙兩地水路、公路的長，以及汽車和輪船行駛的時間？等量關(guān)系：船行時間車行時間=3小時解：設(shè)水路長為x千米，則公路長為（x+40）千米依題意得：4列車問題【含義】這是與列車行駛(比如過橋、錯車)有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速火車在橋上或涵洞

17、內(nèi)的時間（車長橋長）車速火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。典型例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解：設(shè)長x，則可列方程：（2400+x）9003例2 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解：分析：從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米

18、。 設(shè)需要x時，則可列方程：（225140）（2217）x例3：一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解：設(shè)車長為x，則可列方程：（2000+x）58（1250+x）58故車速為（2000+x）58或為（1250+x）585時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為多少度等。時鐘問題可與追及問題相類比。分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格【數(shù)量關(guān)系】鐘面的一

19、周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格；分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合？解：設(shè)經(jīng)x分鐘 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以可列方程：（11/12）x20例2：四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解：設(shè)經(jīng)x分鐘 鐘面上有60格，它的1/4

20、是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走 （5415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。如果分針在時針后成直角，則可列方程：（11/12）x（5415）如果分針在時針前成直角，則可列方程：（11/12）x（5415）例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解：六點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。設(shè)經(jīng)x

21、分鐘，則可列方程：（11/12）x（56）時針與分針在賽跑有這樣一道題：你能利用一元一次方程解決下面的問題嗎？在3時和4時之間的哪個時刻，鐘的時針與分針：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角圖1圖2圖3（提示：分針轉(zhuǎn)動的速度是時針的12倍，分針與時針成直角.）同學們，此題是不是讓你們感到無從下手，不過，你們想到?jīng)]有該題和在環(huán)形路上的追擊問題很類似！只要能夠把時針和分針的速度表示出來，并確定出追擊的路程即可通過列一元一次方程就能解決.試試看呦！哦，先把時針和分針的速度搞清楚！如果我們把鐘面看成12個格，由于時針每小時轉(zhuǎn)動1個格，因此時針的速度可表示為1格/時，分針60分鐘轉(zhuǎn)動1圈，即每小時轉(zhuǎn)動

22、12格，因此分針的速度可表示為12格/時，這樣時針和分針的速度都表示出來了，下面我們就可以列一元一次方程解決來解決了.由于在時，時針指到3的位置，分針指到12的位置，它們之間的“路程”是3個格，由于時針走的慢，分針走的快，分針必然會追上時針，當分針追上時針（即時針與分針重合，如圖1所示）時，分針比時針多走3格，設(shè)經(jīng)過小時時針與分針重合，列方程得.解得小時=分，即在3時分，時針與分針重合.當時針追上分針后，由于時針走的慢，分針走的快，分針會超過時針，并且會形成一定的角，而且這個角會越來越大.在某一時刻時針與分針成直角（如圖2所示），此時分針又比時針多走圈，即3格，因此從到時針與分針成直角這一時刻

23、，分針比時針共多走3+3=6格，設(shè)經(jīng)過小時時針與分針成直角，列方程得.解得小時=分，即在3時分，時針與分針成直角.當時針與分針成直角后，時針與分針所成的角繼續(xù)變大，在某一時刻時針與分針成平角（如圖3所示），此時分針比時針再多走圈即3格，因此從到時針與分針成平角這一時刻，分針比時針共多走3+3+3=9格，設(shè)經(jīng)過小時時針與分針成平角，列方程得.解得小時=分，即在3時分，時針與分針成平角.我來總結(jié)一下.解這一類題的關(guān)鍵是：把表盤分為12格（作路程處理）；分針分小時走12格，時針每小時走1格（作速度處理）；從路程（格數(shù)）上找等量關(guān)系，列方程求出結(jié)果.怎么樣，這題很有味道吧！繼續(xù)挑戰(zhàn)，跟我來：（關(guān)于時鐘

24、上的問題，你若有新的發(fā)現(xiàn)或者是好的挑戰(zhàn)題目，可以寫下來，與大家一起分享喲！）從中午12點整開始（包括中午12點整）到晚上12點整（包括晚上12點整），時針與分針一共重合幾次？分別在什么時刻重合？（二）工程問題【含義】指在日常生活中做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務、完成某項工程等等涉及到的工作量、工作效率、工作時間的一類問題。供排水問題是這一問題的變形題。【數(shù)量關(guān)系】1工作總量=工作效率工作時間 工作效率=工作總量工作時間 工作時間=工作總量工作效率 工作總量工作效率和=合作時間2若一項工程甲a時做完，乙b時做完，則甲乙合作幾時做完？解：設(shè)x時，則可列方程： （+）x = 1【解題思路和方

25、法】：1.要抓住工作總量或工作時間、工作效率相等的等量關(guān)系2若不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運用公式。 3也有時根據(jù)需要將各數(shù)量全用到。 典型例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解：分析：題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/1

26、5；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/101/15）。設(shè)x天完成，則可列方程：（1/101/15）1/x例2：一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解：設(shè)需要x小時，則可列方程：2+（+）x = 1變型例1：一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解1：兩人合做，完成任務時甲乙的工效之比為 1/61/843即甲比乙多完成總工作量的設(shè)x個，則可列方程： x=24變型（供排水）【解題關(guān)鍵】把供水看做正的話，那么排水就要看做負；其余的套

27、用工程題即可。公式一般變形為（ - ）x = 1例3 一個水池有甲、乙兩個進水管，甲管注滿水池比乙管快15小時如果單獨開放甲管10小時，再單獨開放乙管15小時，就可以注滿水池的求單獨開放一個水管時，把水池注滿各需多少小時？解：單獨開放甲管10小時，乙管15小時可注滿水池的 ，所以單獨開放甲管30小時，乙管45小時可注滿水池的2倍單獨開放甲管注滿水池比單獨開放乙管快15小時，單獨開放甲管注滿水池需30小時，單獨開放乙管需45小時(答略)（三）盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)（或物數(shù)），分配一定的物品（或人），在兩次分配中，一次有余（盈）、一次不足（虧）、或兩次都有余、或兩次都不足、或一余一正好、

28、或一虧一正好，求人數(shù)或物品數(shù)的一類問題。（也稱分物問題）【數(shù)量關(guān)系】 1 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差2或(總差額每人差額=人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足 第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余 第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 ） 3 統(tǒng)一類型有一些人分若干蘋果若每人分a個就余m個；若每人分b個就余n個。問有多少人？有

29、多少個蘋果？解1：設(shè)人x個，因為蘋果數(shù)一定，則可列方程： a x + m = b x + n (m、n為常數(shù)且可是正、負、零)解2：設(shè)蘋果為x個，因為人數(shù)一定，則可列方程： = (m、n為常數(shù)且可是正、負、零)【解題思路和方法】參加分配總?cè)藬?shù)（或物數(shù)）、被分配的物數(shù)（或人數(shù)）是一個定值?？筛鶕?jù)這兩個等量關(guān)系列出方程。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解1：設(shè)小朋友有x，因為蘋果數(shù)量相等，則可列方程： 3x+11=4x-1 而蘋果數(shù)量3x+11=4x-1解2：設(shè)蘋果有x，因為人數(shù)相等，則可列方程： = 而小朋友數(shù)量= 例2 修

30、一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？原計劃幾天修完？解1:設(shè)長x米，因為原計劃天數(shù)不變，則可列方程：8 4 而原計劃天數(shù)8 4解2:設(shè)原計劃x天，因為總長相等，則可列方程： 260(x+8) = 300(x+4) 而總長260(x+8) = 300(x+4)例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解1：設(shè)有車x，因為人數(shù)相等，則可列方程： 40x+30 = 45x 而人數(shù)40x+30 = 45x解2：設(shè)有人x，因為車數(shù)相等，則可列方程： 而車數(shù)例4.把一

31、些圖書分給一（1）班同學閱讀，如果每人分3本，則剩余29本；如果每人分4本，則還缺28本你知道一（1）班有多少同學嗎？分析：設(shè)一（1）班有x名同學3x +294x - 28例4某水利工地派 48 人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土5方或運土3方，那么應怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時運走？解：設(shè)安排 x 人去挖土，則有（48 x ）人運土，根據(jù)題意，得 5 x = 3 ( 48 x )去括號，得 5x = 144 3x移項及合并，得 8x = 144 x = 18運土的人數(shù)為 48 x = 48 18 = 30答：應安排18人去挖土，30人去運土，正好能使挖出的土及時運走。配套與調(diào)配問題1

32、.某車間每天能生產(chǎn)甲種零件120個，或乙種零件100個，甲、乙兩種零件分別取3個、2個才能配成一套，現(xiàn)要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？2一項發(fā)射場地建設(shè)工程。據(jù)估計若由一個人做的話需要40天完成。現(xiàn)在計劃由一部分人先做4天，再增加2人和他們一起做8天，完成這項工程。假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？解：設(shè)先安排x人工作天，根據(jù)兩段工作量之和應是總工作量，得去分母，得4x+8(x+2)=40去括號，得 4x+8x+16=40移項及合并，得 12x=24系數(shù)化為，得 x=2答：應先安排名工人工作天.調(diào)配問題的類型與解法調(diào)配問題中的等量關(guān)系反映在調(diào)

33、動前后的數(shù)量上，要抓住題中的“等于”幾倍、“是” 幾倍、“增加到” 幾倍、“增加了” 幾倍、“相等”、“多”、“少”等關(guān)鍵性詞語來尋找等量關(guān)系，這類問題有以下幾種類型。一、 單純的調(diào)入或調(diào)出這類問題列方程時，只在方程兩邊都加上調(diào)入的數(shù)量（或者減去調(diào)出的數(shù)量）即可。例1 某漁場的甲倉庫存魚30噸，乙倉庫存魚40噸，要再往這兩個倉庫運送80噸魚，使甲倉庫的存魚量為乙倉庫的存魚量的1.5倍，應往甲倉庫和乙倉庫分別運送多少噸魚？分析：本題的相等關(guān)系可表示為：運送后甲倉庫的存魚量=乙倉庫的存魚量1.5。解：設(shè)運送到甲倉庫的魚為x噸，則運送到乙倉庫的魚為(80x)噸，即運送后甲倉庫有魚(30x)噸，運送后

34、乙倉庫有魚40(80x)噸。依題意，得30x = 40(80x)1.5。解得x = 60 , 則80x = 20 。答：運送到甲倉庫的魚為60噸，乙倉庫的魚為20噸。練習：甲糧倉存糧100噸，乙糧倉存糧88噸，現(xiàn)在要從這兩個糧倉一共運出70噸糧食，并使這兩個糧倉剩余的糧食數(shù)量相等，那么應該從這兩個糧倉各運出多少噸糧食？分析：此題的相等關(guān)系是：從兩個糧倉一共運出70噸糧食后，甲倉庫剩余的糧食=乙倉庫剩余的糧食。請同學們寫出解答過程。二、 既有調(diào)出又有調(diào)入這類問題列方程時，加上調(diào)入的數(shù)量，減去調(diào)出的數(shù)量即可。例2 甲、乙兩水池共有水40噸，若甲池注水4噸，乙池放出水8噸，則甲池水的噸數(shù)與乙池水的噸

35、數(shù)相等，問兩池原來各有水多少噸？分析：此題的等量關(guān)系可表示為：甲池注水4噸，乙池放出水8噸后，甲池水的噸數(shù)=乙池水的噸數(shù)。解：設(shè)甲池原來有水x噸，則乙池原來有水（40x）噸，那么甲池注水4噸后有水(x4)噸，乙池放出水后有水(40x)8噸。依題意，得x4 =(40x)8。解得x = 14，40x = 4014=26。答：甲池原來有水14噸，乙池原來有水26噸。（四）比率問題【含義】求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少的問題【解題思路和方法】已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€數(shù)”是比較量，“另一個數(shù)”是標準量。1 利潤問題，數(shù)量關(guān)系為：利潤售價成本；

36、利潤率利潤成本100%；總價單價數(shù)量；總成本單成本數(shù)量；標價和定價是相同的；有時成本進價，有時成本進價。折扣是打折，幾折是定價的十分之幾。綜合式1：利潤率（售價成本）成本100%綜合式2：利潤率（售價折扣成本）成本100%標價（原價）：指商家出售商品時所標明的價格；售價：指商品成交時的實際價格；進價（成本價或本金）： 指商家取得某一商品所需要的付出的金額；利潤：指商品售價與進價之間的差額;利潤率：指利潤與進價的比率, 1某商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服,其中一件盈利25，另一件虧損25，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?商場計劃投入一批緊俏商品，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果月初

37、銷售，可獲利15%，并可利用本和得再購買其他商品，到月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費700元。 解：由所以當商場資金為20000元時，兩種方式購銷獲利一樣。因此， 當商場資金超過20000元，第二種方式購銷獲利多。 當商場資金低于20000元，第一種方式購銷獲利多。 2汕頭某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元。其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%。這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？解：設(shè)盈利20%的那臺鋼琴進價為X元，它的利潤是0.2X元，則 X+0.2X=960 X=800 設(shè)虧損20%的那臺鋼琴進價為Y元，它的利潤是0.2Y元，則 Y-0.2Y=960 Y=1200所以兩臺鋼

38、琴進價為2000元，而售價1920元，進價大于售價，因此兩臺鋼琴總的盈利情況為虧本80元。3.某文具店有兩個進價不同的計算器都賣64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%。這次交易中的盈虧情況？解：設(shè)盈利60%的那個計算器進價為X元，它的利潤是0.6X元，則 X+0.6X=64X=40 設(shè)虧本20%的那個計算器進價為Y元，它的利潤是0.2Y元，則 Y0.2Y=64 Y=80所以兩個計算器進價為120元，而售價128元，進價小于售價，因此兩個計算器總的盈利情況為盈利8元。4.v 一件衣服在兩家商場的標價都是100元，東方百貨“買滿100送25元現(xiàn)金”，耀達商場“全場8折”，請問阿Q在哪里購買會

39、更便宜呢？ 分析：作為消費者，購買同樣一件商品 花的錢越少越便宜 。 在東方百貨需要花費10025=75元，在耀達商場需要花費10080%=80元，所以在茂業(yè)百貨購買更便宜。 1、利息（稅）問題 例1.李明以兩種形式儲蓄了500元錢，一種儲蓄的年利率是5，另一種是4，一年后共得利息23元5角.兩種儲蓄各存了多少錢？ 解：設(shè)年利率是5的儲蓄存了元，則年利率是4的儲蓄存了(500)元，根據(jù)題意，得 5+（500）4=23.5 解這個方程，得=350. 500350=150. 答：年利率是5和4的儲蓄分別存了350元和150元. 例2.一年期定期儲蓄年利率為2.25，所得利息要交納20的利息稅.例如

40、，存入一年期100元，到期儲戶要納稅后所得利息的計算公式為：稅后利息=1002.25-1002.2520=1002.25（1-20），已知某儲戶有一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得利息450元，問該儲戶存入多少本金？ 解：設(shè)該儲戶存入本金元，根據(jù)題意，得 2.25(120) =450. 解這個方程，得=25000. 答：該儲戶存入25000元本金. 二、納稅問題 例3.依法納稅是公民應盡的義務.根據(jù)我國稅法規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過929元不必納稅，超過929元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表累加計算： 與利息有關(guān)的一元一次方程應用例析 銀行存貸款問題中利息、利率、本金的計算是一元

41、一次方程最常見的應用，為幫助大家掌握其中的解題思路及方法，現(xiàn)分類舉例如下 1. 計算存款 例1、某企業(yè)存入銀行甲、乙兩種不同利率的存款共20萬元，已知甲種存款的年利率為2.5%，乙種存款的年利率為2.25%，一年后該企業(yè)可獲稅前利息4850元，問甲、乙兩種存款各為多少萬元？ 分析：稅前利息=本金利率期數(shù)（對于年利率而言，存幾年，期數(shù)就是幾）。 解：設(shè)甲種存款為x萬元，則乙種存款為（20x）萬元，甲種存款的利息為x2.5%萬元，乙種存款的利息為(20x)2.25%萬元。 由題意可得 ， 解之得x=14，所以20x=2014=6。 答：甲、乙兩種存款分別為14萬元和6萬元。 2. 計算利率 例2、

42、小明的媽媽前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅（20%）后，實得本利和為4860元，請問這種債券的年利率是多少？ 分析：實得本利和=本金實得利息(即稅后利息)=本金+本金期數(shù)利率(120%)。 解：設(shè)這種債券的年利率是x。 由題意可得 解之得x=0.05即x=5%。 答：這種債券的年利率是5%。 3. 分期付款 例3、某商場為了促銷新上市的新款X牌摩托車，決定2005年元旦那天購買該車者可以分兩期付款：在購買時先付一筆款，余下部分及它的利息（年利率為5.6%）在2006年元旦付清，已知該摩托車每臺售價為8224元，若購車者的兩次付款恰好相同，則每次應付款多少元？ 分析：第

43、二次付款=(售價第一次付款)(1利率)，第一次付款=第二次付款。 解：設(shè)第一次付款為x元，則付款后余款為(8224-x)元，一年后需支付的第二筆付款為(8224-x)(1+5.6%)元。 由題意可得 解之得x=4224。 答：每次應付款4224元。 4.銀行貸款 例4、某銀行設(shè)立有年利率為6%的助學貸款（助學貸款利息的50%由國家財政貼補），預計6年后大學生小王能一次性償還2萬元，問小王現(xiàn)在可向銀行貸款多少萬元？（精確到0.1萬元） 分析：還貸款額=貸款+貸款所產(chǎn)生的利息=貸款+貸款期數(shù)利率50%。 解：設(shè)小王現(xiàn)在可向銀行貸款x萬元，則6年后小王貸款所產(chǎn)生的利息為元。 由題意可得 解之得x=1

44、.69491，所以x1.6。 答：小王現(xiàn)在可向銀行貸款約1.6萬元。 （注意：本題如果將9舍入到前一位而得到x1.7，則小王需償還的款額就會超過2萬元，因此本題在取近似值時不宜用四舍五入而應該用去尾法。） 小結(jié)： 1、利用一元一次方程解應用題，關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系。特別，對于存貸款問題而言，搞清楚本金、利率、利息（稅前利息、稅后利息）之間的關(guān)系很重要，另外利率的類型（月利率還是年利率）、存款年限、是否收稅等也應重點加以關(guān)注； 2、列一元一次方程解應用題的基本步驟是析：即分析題目意思，找出題中的等量關(guān)系；設(shè)：即設(shè)未知數(shù)并用這個未知數(shù)表示其它有關(guān)的量；列：即根據(jù)等量關(guān)系列出方程；解：即解方程，

45、方程解完后還需對答案進行檢驗；答：即對題目問題作出回答。 3、與利息有關(guān)的經(jīng)濟問題不外乎存款和貸款兩種類型，但不管怎么樣，兩者本質(zhì)上都是相同的，只要掌握了存款問題的一般解題思路，解決貸款問題也就不在話下了（本文“例4”實際上就是要我們計算本金，因而如果套用公式“本利和=本金利息”同樣也能解決問題）。 某人本月納稅150.1元，則他本月的工薪收入為_元. 解：由上表可知，本人全月應納稅所得額在2000元以內(nèi)，設(shè)其工薪為x元，則有 5005+（929500）10=150.1 解這個方程，得 = 2680. 故應填2680.2.商品銷售問題近年來中考命題突顯問題的應用性，其中用一元一次方程解決商品銷

46、售問題是命題的熱點之一，而解決這類問題的關(guān)鍵是利用銷售問題的公式，尋求問題中隱藏的相等關(guān)系列方程銷售問題有兩個基本公式：商品利潤（盈利）=商品售價商品進價；商品利潤率=由此可得：商品售價=商品進價（1+利潤率）此外若商品打折銷售，則有：商品售價=商品標價折扣本文就以用這幾個公式作為相等關(guān)系，進行列方程解應用題，例舉如下：一、求商品的進價例1 某商場出售某種文具，每件可盈利2元，為了支援貧困山區(qū)，現(xiàn)在按原售價的7折出售給一山區(qū)學校，結(jié)果每件盈利0.2元（盈利售價進貨價）問該文具每件的進貨價是多少元？解：設(shè)該文具每件的進貨價是x元，根據(jù)題意，得，解得x=4答：該文具每件的進貨價是4元二、求商品標價

47、例2 一商店把某種品牌的羊毛衫按標價的八折出售，仍可獲利20%，若該品牌的羊毛衫的進價每價是100元，則標價是每件_元.解：設(shè)每件羊毛衫的標價為x元，則售價為70%x元，由題意，得80%x =100（1+20%），解得x=150故每件羊毛衫的標價為150元三、求折扣例3某商品的進價是500元，標價為750元，商店要求以利潤率不低于5%的售價打折，售貨員最低可以打_折出售此商品解：設(shè)售貨員最低可以打x折出售此商品，由題意，得750x=500（1+5%），解得x=0.7故售貨員最低可以打7折出售此商品四、求利潤率例4一商場將每臺彩電先按進價提高40%，標出售價，然后廣告宣傳將以8折優(yōu)惠出售，結(jié)果每

48、臺彩電賺了400元，則經(jīng)銷這種產(chǎn)品的利潤率是多少？解：設(shè)每臺彩電的進價為1，經(jīng)銷這種產(chǎn)品的利潤率為x，由題意，得1（1+40%）80%=1（1+x）, 解得x=0.12，即x=12%答：經(jīng)銷這種產(chǎn)品的利潤率是12%3.點擊打折問題打折的說法可以用數(shù)學中的百分率來說明。如果說某件商品打九折，就是按原價的90%出售。若原價為a元，那么現(xiàn)價就是。在商品問題中，還涉及如下幾個概念：商品利潤商品售價商品進價（有時還需減去費用）；商品的利潤率看下面幾種類型例1 某商品進價為400元，按標價的8折銷售，利潤率為24%，求商品的標價為多少元？分析：已知商品的進價和利潤率可求商品利潤為40024%。若設(shè)標價為x

49、元，可求出商品售價，由條件也可用含x代數(shù)式表示出商品的利潤為 400。由此可建立等量關(guān)系。解答：設(shè)商品的標價為x元根據(jù)題意，得：400 =40024% 解這個方程，得：x = 620 答：商品的標價為620元。例2. 某商品的進價是600元，標價為800元，商店要求以利潤不低于10%的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？分析：根據(jù)商品的利潤率，商品利潤商品售價商品進價，若設(shè)售貨員最低可以打x折出售商品，則售價為800x元，利潤為（）元，所以可得解：設(shè)售貨員最低可以打x折出售此商品由題意得： 整理，得：800x 600 = 60解得：x = 82.5 %答：售貨員最低可以打8.25折出

50、售此商品。例3. 仔細閱讀下列材料，然后解答問題。某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標價的80%出售，同時當顧客在該商場消費滿一定金額后，按如下方案獲得相應金額的獎券：消費金額a（元）的范圍200a400400a500500a700700a900獲得獎券的金額（元）3060100130根據(jù)上述促銷方法，顧客在商場內(nèi)購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如，購買標價為450元的商品，則消費金額為元，獲得的優(yōu)惠額為元。設(shè)購買該商品得到的優(yōu)惠率購買商品獲得的優(yōu)惠額商品的標價。（1）購買一件標價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？（2）對于標價在500元與800元之間（含500元和800元）的商品，顧客

51、購買標價為多少元的商品，可以得到的優(yōu)惠率？分析：本題緊密聯(lián)系實際生活，閱讀時首先要分清幾個概念：標價、消費金額、優(yōu)惠價、優(yōu)惠率；其次要弄清這幾個概念之間的關(guān)系，通過給出的例子理解“雙重優(yōu)惠”的辦法，最后明確所提出的問題，即解答（1）應理解優(yōu)惠辦法及優(yōu)惠率；解答（2）時要注意不要把“標價”與“消費金額”混淆，可以把“標價”轉(zhuǎn)化為“消費金額”的什么范圍，再按“消費金額”分類討論。解：（1）消費金額為（元）優(yōu)惠額為（元）優(yōu)惠率為（2）設(shè)購買標價為x元的商品可以得到的優(yōu)惠率。購買標價為500元與800元之間的商品時，消費金額a在400元與640元之間。當時，由題意，得：解得：但，不合題意，故舍去；當時

52、，由題意，得：解得：而，符合題意。答：購買標價為750元的商品可以得到的優(yōu)惠率。商品銷售問題商品銷售問題是近幾年中考的新動向之一，它體現(xiàn)了數(shù)學的應用性，其基本數(shù)量關(guān)系有：商品利潤=商品售價商品進價；利潤率=（利潤進價）100；打n折銷售=原售價n10.其考法主要有以下幾類：1.求商品進價例4.某種商品的進價每件為元，零售價為每件900元，為了適應市場竟爭，商店按零售價的九折降價并讓利40元銷售，仍可獲利10%（相對于進價），則=_元. 解：實際零售價為（90090%40）元，依題意，得 （1+10%）=90090%40， =700.2.求商品標價例5.東方商場把進價為1980元的某商品按標價的8折出售，仍獲利10%，則該商品的標價為（ ）.（A ） 2160元 （ B） 2613.6元 （C