數(shù)學(xué)建模作業(yè)33117

1、摘要本文通過建立優(yōu)化模型，探討了在行走時(shí)每秒走幾步做功做小的問題。因?yàn)槿嗽谛凶邥r(shí)做的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和。而人在行走時(shí)重心升高可視作是一個(gè)定值，所以我們可以通過調(diào)節(jié)步速來控制兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能。在我們?nèi)粘Ｉ钪?，人行走是少不了的。建立這個(gè)模型的目的就是要解決人要以怎樣的步速才能使人在單位時(shí)間內(nèi)做功最少。必須先分析重心的升高量和人在單位時(shí)間內(nèi)做的功。再以物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解。 對于問題一，為證明人體重心在行走時(shí)升高的高度與人體腿長和步長的關(guān)系，通過應(yīng)用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)得到高度與腿長和步長的關(guān)系式，在此使用matlab軟件得到了上升高度與腿長與步長的關(guān)系式。另外為證

2、明了重心上升高度和腿長和步長的關(guān)系式與題目要求吻合，我們用到了放縮的數(shù)學(xué)思想。對于問題二，首先要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成物理問題，再利用角動(dòng)量定理和微元法對單位時(shí)間內(nèi)所需動(dòng)能進(jìn)行了計(jì)算。對于問題三，為證明在速度v一定的條件下，每秒行走步數(shù)n時(shí)做功最小，我們先通過計(jì)算得出所需能量的表達(dá)式，根據(jù)觀察表達(dá)式的形式，利用均值不等式證明了結(jié)果的正確性。對于問題四，是在假設(shè)質(zhì)量集中在腳部時(shí)所建立數(shù)學(xué)模型，同樣利用均值不等式證明了結(jié)果的正確性。另外，我們給出了不同身高范圍的人20秒內(nèi)做功最小時(shí)的行走歩數(shù)，例如身高在160-170，每20秒行走64步最好。我們進(jìn)一步地運(yùn)用了對最優(yōu)步數(shù)與多走一步或少走一步所消耗的能量進(jìn)

3、行了分析與比較，并通過能量因數(shù)的相關(guān)分析，對人在行走時(shí)歩數(shù)的調(diào)整給出了建議。關(guān)鍵詞   優(yōu)化模型 放縮 微元法 均值不等式 最優(yōu)步數(shù)參考表一 問題的重述 人行走時(shí)作的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型，在勻速行走的條件下，討論每秒走幾步作功最小，并且討論下列問題。1. 設(shè)人的腿長為l,步長為s，證明人體重心在行走時(shí)升高2. 將腿看作均勻直桿，行走看作退繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)腿的質(zhì)量m，行走速度v，證明單位時(shí)間所需動(dòng)能為mv2|6s。3. 設(shè)人體質(zhì)量為M，證明在速度v一定時(shí)每秒行走步作功最小。實(shí)際上，M/m4，l1m，分析此結(jié)果是否合理。4

4、. 若腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線運(yùn)動(dòng)。證明結(jié)果應(yīng)為分析此結(jié)果是否合理。二 問題的背景和分析2.1 背景分析人的身體在每時(shí)每刻都在消耗能量，人在靜止不動(dòng)時(shí)，也會(huì)由于生命活動(dòng)消耗一部分能量，而在非靜止?fàn)顟B(tài)消耗的能量就會(huì)更大。因此，人在步行時(shí)消耗的能量就分為生理的和物理的兩部分。為了使人做最小的功行走更長的路程，下面就簡單分析一下在不考慮生理耗能的情況下，人應(yīng)該以怎樣的步頻才能在單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量最少。 而人在單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量也就是人行走時(shí)所作的功，即抬高人體重心所需勢能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需動(dòng)能之和。2.2 問題一的分析對于問題一，觀察圖可得，可有三角形邊與角的關(guān)系利用三角函數(shù)可

5、以計(jì)算出行走時(shí)重心最高與最低的狀態(tài)，通過整理式子可得到重心高度變化值的一元二次方程，通過使用matlab軟件計(jì)算出的值，可發(fā)現(xiàn)值的平方比較小，因此在計(jì)算值時(shí)可以利用放縮的數(shù)學(xué)思想進(jìn)而得到重心升高值，證明了問題一的正確性。2.3 問題二的分析對于問題二，將腿看作均勻直桿，行走視為腿繞腰部的轉(zhuǎn)動(dòng)， 我們將得到腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，另在行走速度一定的情況下，我們可以得到角速度，單位時(shí)間內(nèi)所需動(dòng)能即為單位時(shí)間內(nèi)腿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。2.4 問題三的分析對于問題三，人體質(zhì)量與腿的質(zhì)量之比接近一定值。利用物理學(xué)定理我們可以得到單位時(shí)間內(nèi)使身體重心升高所作的功，及其與單位時(shí)間內(nèi)所需動(dòng)能之和，便是人在單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量，利

6、用均值不等式得到n的表達(dá)式，證明問題三的正確性。然后2.5 問題四的分析 對于問題四，腿的質(zhì)量集中在腳部，行走過程看作是腳的直線運(yùn)動(dòng)，利用動(dòng)能定理可以得到單位時(shí)間內(nèi)走路所需動(dòng)能，同樣利用勢能定理可以得到身體重心升高所做的功，兩者相加，便是人在單位時(shí)間內(nèi)消耗的能量，可以使用跟問題三同樣的處理方法均值不等式得到最小步數(shù)n的表達(dá)式三 模型的假設(shè)1.  假設(shè)人體的重心在人體的位置保持不變，并且人在步行時(shí)是做勻速運(yùn)動(dòng)的。2. 假設(shè)在步行過程中保持步長是一定的，而且在步行過程中路面是相對平坦的。四 符號(hào)說明 I腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角速度s步長v人體行走速度M人體質(zhì)量g重力加速度重心升高的高度l

7、腿的長度n每秒行走步數(shù)m腿的質(zhì)量Wc兩腿行走所需動(dòng)能W重心抬高需要的勢能W總功五 模型的建立與求解5.1 模型一的建立與求解根據(jù)題目要求，可近似理解人腿關(guān)系如下圖一所示：圖一考慮到人體腿長和步長與身體重心升高的關(guān)系，腿長，步長，重心高度可構(gòu)成直角三角形，利用三角函數(shù)可列關(guān)系式如下：解上式方程可得：通過matlab軟件解得的非常小，可忽略不計(jì)，則由可得由此可證明問題一是正確的。5.2 模型二的建立與求解 若將腿看做均勻直桿，腿部的運(yùn)動(dòng)可看做繞腰部轉(zhuǎn)動(dòng)。則，腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：角速度為：步頻為：則單位時(shí)間內(nèi)腿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：由此可證明問題二是正確的。5.3 模型三的建立與求解一般情況下，人體質(zhì)量與腿的質(zhì)

8、量之比接近一定值a，即并且即單位時(shí)間內(nèi)使身體重心升高所做的功：因?yàn)樗杂纱丝芍黜?xiàng)都為正，利用均值不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，即所以當(dāng)v一定時(shí)，可使W最小。5.4問題四的建立與求解假設(shè)腿的質(zhì)量集中在腳步，行走看作腳的直線運(yùn)動(dòng)，要求我們證明。在此假設(shè)下，走一步的動(dòng)能為重力勢能為單位時(shí)間內(nèi)做功為將帶入得由數(shù)學(xué)基本不等式得，當(dāng)時(shí)做功最小，解得。此時(shí)做功為，當(dāng)時(shí)，即每秒內(nèi)行走3.16步。由問題三的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知步長大約為，則此時(shí)步速為，與調(diào)查結(jié)果比較后發(fā)現(xiàn)此結(jié)果相對合理。6、 模型的評(píng)價(jià)本文所建立的模型，思路清晰明了、簡單易懂，但也存在一定的不 足之處，模型稍顯理想化，這個(gè)模型建立在有一定局限性的假設(shè)基 礎(chǔ)上，會(huì)與實(shí)際情況在一定程度上產(chǎn)生偏差。模型一較為接近于實(shí) 際，但求解所得到的結(jié)果與實(shí)際情況不太符合。而模型二得到的結(jié) 果比較合