總體均值的假設(shè)檢驗

1、總體均值的假設(shè)檢驗一、正態(tài)總體均值的檢驗 設(shè)為總體的一個容量為n的樣本1方差已知，的檢驗u檢驗法當(dāng)已知時，假設(shè)檢驗問題：選擇檢驗統(tǒng)計量，當(dāng)成立時，給定顯著性水平，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點的定義,有，故拒絕域，這種利用服從正態(tài)分布的檢驗統(tǒng)計量的檢驗方法稱為u檢驗法有時我們只關(guān)心總體的均值是否增大（或減?。┍热纾?jīng)過工藝改革后，產(chǎn)品的質(zhì)量（如材料的強(qiáng)度）比以前是否提高，此時我們要研究的是新工藝下總體的均值是小于等于原來的均值，還是大于，即檢驗假設(shè) 可以證明，在顯著性水平下，上述假設(shè)檢驗問題和檢驗假設(shè)有相同的拒絕域，因此，遇到形如的檢驗問題，可歸結(jié)為后一個假設(shè)檢驗問題討論類似地，形如的檢驗問題，可歸結(jié)為

2、檢驗假設(shè) 這都是單邊檢驗問題給定顯著性水平，求得的臨界值點是上分位點或上分位點 例1 某廠生產(chǎn)的某種鋼索的斷裂強(qiáng)度X服從，其中(kg/cm2)，現(xiàn)從這批鋼索中抽取容量為9的樣本，測得斷裂強(qiáng)度的平均值較以往正常生產(chǎn)的大20(kg/cm2)，設(shè)總體方差不變，問在下，能否認(rèn)為這批鋼索質(zhì)量有顯著提高？ 解 依題意，檢驗假設(shè)，由于已知，選擇檢驗統(tǒng)計量因為中的全部都比中的要小，從直觀上看，當(dāng)成立時，的取值不應(yīng)比大很多，若偏差過大，則拒絕而接受因為 的拒絕域為，故在顯著性水平下原假設(shè)的拒絕域為本題中，計算的值因此在顯著性水平下不能拒絕，即認(rèn)為這批鋼索質(zhì)量沒有顯著提高2方差未知，的檢驗t檢驗法檢驗假設(shè)因為未知

3、，而樣本方差是總體方差的無偏估計量，用代替選擇檢驗統(tǒng)計量 ，當(dāng)成立時，給定顯著性水平，由t分布分位點的定義，有，故拒絕域，這種利用服從t分布的檢驗統(tǒng)計量的檢驗方法稱為t檢驗法例2 某切割機(jī)工作正常時，切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm今在某段時間內(nèi)隨機(jī)地抽取15段進(jìn)行測量，其結(jié)果如下(cm)：10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.210.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7問此段時間內(nèi)該機(jī)工作是否正常()？假設(shè)金屬棒長度服從正態(tài)分布 解 依題意，檢驗假設(shè)，由于未知，故選擇檢驗統(tǒng)計量在下，給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值，故

4、拒絕域由已知條件可得故計算統(tǒng)計量的值因為，所以接受，認(rèn)為切割機(jī)工作正常例3 設(shè)木材的小頭直徑，cm為合格，今抽出12根測得小頭直徑的樣本均值為cm，樣本方差為cm2，問該批木材是否合格()？解 依題意，檢驗假設(shè)，選擇檢驗統(tǒng)計量在假設(shè)下，給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值，故拒絕域，也是假設(shè)的拒絕域 由于，計算統(tǒng)計量的值因為，故拒絕，認(rèn)為該批木材是不合格的 二、正態(tài)總體方差的檢驗檢驗法設(shè)為來自總體的一個樣本，檢驗假設(shè)1均值已知因為，則選取檢驗統(tǒng)計量當(dāng)成立時，給定顯著性水平，由分布表分位點的定義，有，故得拒絕域2均值未知因為是總體均值的無偏估計量，用代替選擇檢驗統(tǒng)計量當(dāng)成立時，給定顯著性水平，由

5、分布表分位點的定義，有故得拒絕域 類似地，在已知和未知時，可以求出檢驗假設(shè)和的拒絕域例如，在未知時，檢驗假設(shè)的拒絕域為 上述檢驗所用的檢驗統(tǒng)計量均服從分布，稱這種檢驗方法為檢驗法例4 某無線電廠生產(chǎn)的一種高頻管，其中一指標(biāo)服從正態(tài)分布，今從一批產(chǎn)品中抽取8只管子，測得指標(biāo)數(shù)據(jù)：68 43 70 65 55 56 60 72(1) 總體均值時，檢驗(取)；(2) 總體均值未知時，檢驗(取)解本題是在顯著性水平下，檢驗假設(shè)，這里(1) 已知時臨界值，而檢驗統(tǒng)計量的值，由于，故接受(2) 未知時臨界值，而，檢驗統(tǒng)計量的值，由于，故接受§8.3 兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗 設(shè)為總體的一個樣本

6、，為總體的一個樣本和分別是兩個樣本的樣本均值，和是相應(yīng)的兩個樣本方差設(shè)這兩個樣本相互獨立一、兩個正態(tài)總體均值的檢驗考慮檢驗假設(shè) 1方差與已知u檢驗法 選取 當(dāng)成立時，檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表分位點的定義,有，故拒絕域例1 設(shè)從甲乙兩場所生產(chǎn)的鋼絲總體X，Y中各取50束作拉力強(qiáng)度試驗，得，已知，請問兩廠鋼絲的抗拉強(qiáng)度是否有顯著差別()？解 本題是在顯著性水平下，檢驗假設(shè)，這里選取檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得臨界值，故拒絕域由于，計算檢驗統(tǒng)計量的值由于，故拒絕，認(rèn)為兩廠鋼絲的抗拉強(qiáng)度有顯著差別2方差與未知，但t檢驗法選取 這里當(dāng)成立時，檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，

7、由t分布表分位點的定義，有，故拒絕域 例2 某煙廠生產(chǎn)兩種香煙，獨立地隨機(jī)抽取樣本容量相同的煙葉標(biāo)本測其尼古丁含量的毫克數(shù)，分別測得：甲種香煙：25 28 23 26 29 22乙種香煙：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服從正態(tài)分布且具有公共方差，在顯著性水平下，判斷兩種香煙的尼古丁含量有無顯著差異？解 檢驗假設(shè)，這里，選取檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值，故拒絕域計算統(tǒng)計量的值由于，故接受，認(rèn)為兩種香煙的尼古丁含量無顯著差異二、兩個正態(tài)總體方差的檢驗F檢驗法考慮檢驗假設(shè) 1均值與已知因為，選取當(dāng)成立時，檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，由F分布分位點的定義，有，故得拒

8、絕域2均值與未知因為，選取當(dāng)成立時，檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，由F分布分位點的定義，有，故得拒絕域例3某煙廠生產(chǎn)兩種香煙，獨立地隨機(jī)抽取樣本容量相同的煙葉標(biāo)本測其尼古丁含量的毫克數(shù)，分別測得：甲種香煙：25 28 23 26 29 22乙種香煙：28 23 30 25 21 27假定尼古丁含量都服從正態(tài)分布且具有公共方差，在顯著性水平下，判斷兩種香煙的尼古丁含量的方差是否相等?解考慮檢驗假設(shè)由于兩個正態(tài)總體的均值都未知，選取檢驗統(tǒng)計量給定顯著性水平，查F分布表，得兩個臨界值：，故得拒絕域計算統(tǒng)計量的值由于，故接受，認(rèn)為兩種香煙的尼古丁含量的方差也無顯著差異§8.4 非正態(tài)總體參數(shù)的大

9、樣本檢驗本節(jié)討論一般總體參數(shù)的檢驗設(shè)總體的均值為，方差為， 為總體的一個樣本由中心極限定理可知，當(dāng)樣本容量n足夠大時，近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布因此，我們可以用正態(tài)分布去近似如果對均值進(jìn)行檢驗，方差未知時，可以用樣本方差代替；如果對方差進(jìn)行檢驗，均值未知時，可以用樣本均值代替下面舉兩個例子 例1 設(shè)某段高速公路上汽車限速為104.6km/h，現(xiàn)檢驗85輛汽車的樣本，測出的平均車速為106.7km/h，已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為 km/h，但不知總體是否服從正態(tài)分布在顯著性水平下，試檢驗高速公路上的汽車是否比限制速度104.6km/h顯著地快？ 解 依題意，檢驗假設(shè)，由于已知，n=85足夠大，選擇檢驗統(tǒng)計量近

10、似地服從其拒絕域，其中計算的值，由于，因此接受，沒有理由認(rèn)為高速公路上的汽車比限制速度104.6km/h顯著地快 例2 為比較甲乙兩種小麥植株的高度(單位：cm)，分別抽得甲、乙小麥各100穗，在相同條件下進(jìn)行高度測定，算得甲乙小麥樣本均值和樣本方差分別為 ，問這兩種小麥的株高有無顯著差異()？解 依題意，檢驗假設(shè) ，選取 ，這里兩個方差用樣本方差代替當(dāng)成立時，檢驗統(tǒng)計量 近似地服從給定顯著性水平，查附表3，得臨界值，得拒絕域計算的值，由于，因此拒絕，認(rèn)為這兩種小麥的株高有顯著差異 當(dāng)總體服從(0-1)分布時，由于只有一個參數(shù)p，總體均值p和方差均只與p有關(guān)，這時對參數(shù)p進(jìn)行假設(shè)檢驗時，檢驗統(tǒng)

11、計量可以直接用樣本和參數(shù)p表示出來 例3 某廠有一批產(chǎn)品須經(jīng)檢驗后方可出廠按規(guī)定二級品率不得超過10%，從中隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)有二級品14件，問這批產(chǎn)品是否可以出廠()？ 解 這里n=100，檢驗假設(shè)，選取檢驗統(tǒng)計量 ，U近似地服從由顯著性水平，可以得到拒絕域，其中，計算的值，由于，因此接受，認(rèn)為這批產(chǎn)品二級品率沒有超過10%，可以出廠§8.5 分布的擬合檢驗前幾節(jié)的檢驗都是參數(shù)的檢驗實際問題中，有時需要對分布作出假設(shè)，進(jìn)行檢驗本節(jié)只介紹一種分布的檢驗方法皮爾遜檢驗法，它只適合于大樣本的情形，一般要求樣本容量設(shè)總體X的分布函數(shù)為，為一個已知的分布函數(shù)，為總體的一個樣本

12、，我們來檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)一、基本原理檢驗法的基本思想是：將隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果的全體分成k個兩兩互不相容的事件，在n次試驗中，將發(fā)生的次數(shù)叫做發(fā)生的頻數(shù)，如果為真，則由大數(shù)定律，在n次試驗中(n足夠大)，()出現(xiàn)的實際頻率與理論頻率(可由分布函數(shù)算出)不應(yīng)相差很大基于這種想法，皮爾遜構(gòu)造了統(tǒng)計量或，其中是由計算出來的理論頻率，是中未知參數(shù)估計出后的分布函數(shù)，并證明了如下定理：定理1若n足夠大，當(dāng)成立時，統(tǒng)計量總是近似地服從自由度為的分布，其中r是已知的分布函數(shù)中未知參數(shù)的個數(shù)直觀上看，值表示實際觀測結(jié)果與理論期望結(jié)果的相對差異的總和，當(dāng)它的取值大于臨界值時，應(yīng)拒絕 二、檢驗步驟 如果為

13、不帶有未知參數(shù)的已知分布，皮爾遜檢驗法的具體步驟如下： （1） 將總體X的值域劃分成k個不交的區(qū)間()，使得每個區(qū)間包含的理論頻數(shù)滿足，否則將區(qū)間適當(dāng)調(diào)整；（2） 在成立時，計算各理論頻率即概率的值：，這里與為區(qū)間的端點，即；（3） 數(shù)出中含有樣本值的個數(shù)，即的頻數(shù)，并計算統(tǒng)計量的值；（4） 由分布，對于給定的顯著性水平，找出臨界值；（5） 判斷：若，則拒絕，否則可接受如果總體X是離散型的，則假設(shè)相當(dāng)于假設(shè)總體X的概率分布，如果總體X是連續(xù)型的，則假設(shè)相當(dāng)于， 這里為總體的概率密度例1 至1984年底，南京市開辦有獎儲蓄以來，13期兌獎號碼中諸數(shù)碼的頻數(shù)匯總?cè)绫?.1：表8.1數(shù)碼i0 1 2

14、 3 4 5 6 7 8 9總數(shù)頻數(shù)fi21 28 37 36 31 45 30 37 33 52350試檢驗器械或操作方法是否有問題()解 設(shè)抽取的數(shù)碼為X，它可能的取值為09，如果檢驗器械或操作方法沒有問題，則09出現(xiàn)是等可能的，即檢驗假設(shè) ，這里 依題意知k=10，令，n=350，則理論頻數(shù)給定顯著性水平，查分布表，得臨界值由于19.675>16.9，故拒絕，即認(rèn)為器械或操作方法有問題 如果為帶有未知參數(shù)的已知分布，未知參數(shù)為，這時用這r個未知參數(shù)的極大似然估計量來代替中的參數(shù)，得到分布函數(shù)，然后建立統(tǒng)計量，這里是由計算出來的理論頻率，再用以上檢驗步驟進(jìn)行檢驗，但此時檢驗統(tǒng)計量近似

15、服從分布(這里k>r+1)例2 某高校對100名新生的身高(厘米)做了檢查，把測得的100個數(shù)據(jù)按由大到小的順序排列，相同的數(shù)合并得表8.2： 表8.2身高人數(shù)153 156 157 159 160 161 162 163 164 1 3 2 1 4 6 7 6 10身高人數(shù)165 166 167 168 169 170 171 172 173 8 7 5 7 5 6 3 4 7 身高人數(shù)174 176 178 180 181 3 2 1 1 1 試問，在顯著性水平下是否可以認(rèn)為學(xué)生身高X服從正態(tài)分布？ 解 這里n=100，我們來檢驗假設(shè)，這里為正態(tài)分布的概率密度，設(shè)其分布函數(shù)為，與為未知參數(shù) 先求與的極大似然估計值，：， 設(shè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量為Y，分布函數(shù)為按照分組要求，每個小區(qū)間的理論頻數(shù)不應(yīng)小于5，因此我們將數(shù)據(jù)分成了7個組，使得每組的實際頻數(shù)不小于5，各計算結(jié)果如下表8.3所示分組(-, 158.5(158.5，161.5(161.5，164.5(164.5，167.5(167.5，170.5(170.5，173.5 (173.5，+)6112