數(shù)學建模競賽參賽的隊員選拔與組隊問題

1、數(shù)學建模競賽參賽的隊員選拔與組隊問題【摘要】本文根據(jù)競賽隊員的選拔和組隊問題的基本要求，制定合理假設并求解。依據(jù)各種能力的權(quán)重，建立能力加權(quán)值圖表，由能力加權(quán)值排名進行參賽隊員的選拔。在確定最佳組隊的問題上，首先以綜合加權(quán)能力為依據(jù)選擇，再根據(jù)相對優(yōu)勢制定調(diào)整方案。為參賽隊員組隊的方案參照了最佳組隊的方法并進行了推廣，使所有隊伍之間能力相差降低。最后，建立與最大值及差值相關的目標函數(shù)，將隊員組隊，并將模型進行推廣和改進。關鍵詞：加權(quán) 相對優(yōu)勢 差值一、 問題描述問題描述：在參加數(shù)學建模競賽活動中，各院校都會遇到如何選拔最優(yōu)秀的隊員和科學合理的組隊問題。今假設有20名隊員準備參賽，根據(jù)隊員的能力

2、和水平要選出18名優(yōu)秀隊員分別組成6個隊，選拔和評價隊員主要考慮的條件依次為有關的學科成績（平均成績）、智力水平（反映思維能力、分析和解決問題的能力等）、動手能力（計算機的使用及其他方面的實際操作能力）、寫作能力、外語水平、協(xié)作能力（組織、協(xié)調(diào)）和其它特長，每個隊員的基本條件量化后如下表（略）：（1）在20名隊員中選擇18名優(yōu)秀的隊員參加競賽；（2）確定一個最佳的組隊使得競賽技術水平最高；（3）給出由18名隊員組成6個隊的組隊方案，使整體競賽技術水平最高；并給出每個隊的競技水平。二、問題分析：隊員選擇上，關于隊員的選取，要從20名隊員中淘汰兩人。可采取排名然后去除后兩名的方法。根據(jù)原表格的數(shù)據(jù)

3、，隊員的評估指標分為了7項。這7項指標的平均值、波動程度都不同。因此，每種能力的權(quán)重不一致，因此采用表示差距的方差和原始指標的積來表示該隊員在這項能力上的加權(quán)指標。組隊原則上：為了組成一個最強的組隊方案，首先從綜合加權(quán)能力的排名入手，再讓每位隊員的劣勢得以補充。綜合所有的18名隊員進行分組，可以根據(jù)以下原則進行分組強弱隊員結(jié)合，綜合實力較差的隊員要有加權(quán)能力較強的隊員給予補充；強弱能力結(jié)合，某一項能力較差的隊員要有在該項能力較強的隊員給予補充；不可以存在弱項，表現(xiàn)在模型里即為，各指標的最大值均非負。三、基本假定（一）所有指標均能夠正常反映一個隊員在該項目上的能力；（二）選取參賽隊員時，淘汰的標

4、準為選擇20名隊員中實力差的兩名；（三）選擇最優(yōu)的組隊方案時，優(yōu)先考慮已選出的18名隊員中綜合實力較強的3名，根據(jù)弱項進行調(diào)節(jié)；（四）為已選擇出的18名隊員制定組隊方案時，不能讓某些隊伍實力過強，應保持總體水平的均衡；（五）選擇隊伍的過程中，不能讓所有隊員均在某一方面占有弱項；（六）綜合實力強的隊員對綜合實力弱的隊員進行補充；（七）一個隊在某一方面的能力體現(xiàn)為在這方面最強的隊員的能力。四、符號說明學科成績、智力水平、動手、寫作、外語、協(xié)作能力和其他特長分別編號為將各名隊員編號為初表格中的始值定義為，該項能力在隊員中的標準差為其中第名隊員的第項能力為第名隊員的加權(quán)能力為第名隊員的第加權(quán)能力為第項

5、能力的平均加權(quán)值為第名隊員的加權(quán)能力與平均能力的差值為表示各元素中的最大值表示各元素的標準差五、模型建立與求解五（一）.建立加權(quán)指標模型并排序五（一）.1 求解權(quán)重系數(shù)對表格分析可知，各個隊員的7種能力均呈現(xiàn)一定的波動，各種能力的對比中，有的能力在各位隊員里差別很大，而有的差別很小。計算可知，各種能力在隊員中的標準差如下：表一各項能力的權(quán)重系數(shù)能力指標（）學科成績（1）學科成績（1）動手能力（3）寫作能力（4）外語水平（5）協(xié)作能力（6）其它特長（7）2.9081782.1784172.438344.4485392.3301291.0630157.908856可見，“協(xié)作能力”在各個隊員中的差

6、別很小，說明，協(xié)作能力在一個隊員的綜合能力的重要性中占用很??；而“其他特長”、“寫作能力”在隊員中的差別很大，說明這些能力在一個隊員的綜合能力中占用很大。因此加權(quán)的綜合能力定義為各個能力與其標準差之積的平均值。即：使用表格表示為：表二各項能力的加權(quán)值學科加權(quán)智力加權(quán)動手加權(quán)寫作加權(quán)外語加權(quán)協(xié)作加權(quán)特長加權(quán)總加權(quán)分1A25.01 19.60 19.99 35.59 18.41 10.10 47.45 7.57 2B23.85 19.17 19.75 28.92 17.94 9.67 15.82 5.80 3C23.26 18.73 20.72 37.81 21.44 10.20 63.27 8.

7、40 4D25.01 19.38 20.24 42.71 22.60 10.31 63.27 8.74 5E25.59 18.30 20.72 34.25 20.04 9.78 71.18 8.59 6F26.75 20.04 19.99 35.14 20.97 9.57 47.45 7.73 7G26.75 20.91 21.94 32.03 21.20 9.78 71.18 8.76 8H20.36 17.42 23.89 27.58 20.27 10.31 47.45 7.19 9I22.39 17.86 20.48 28.92 22.37 9.89 39.54 6.94 10J24.1

8、4 17.64 20.97 30.69 19.81 9.99 31.64 6.65 11K26.17 17.86 19.50 34.70 20.97 10.10 39.54 7.25 12I27.92 19.82 19.75 44.04 20.27 10.31 47.45 8.14 13M27.63 20.91 20.24 36.03 20.97 9.89 55.36 8.21 14N25.01 18.08 19.99 36.03 20.97 9.57 39.54 7.27 15O26.46 18.95 21.45 37.37 20.50 9.99 39.54 7.49 16P27.04 18

9、.30 20.97 39.15 20.04 10.10 47.45 7.86 17Q24.43 17.42 22.92 40.93 19.57 9.67 55.36 8.18 18R25.30 18.08 22.43 40.48 20.27 9.78 63.27 8.58 19S22.39 17.64 23.40 33.81 20.97 10.20 71.18 8.58 20T26.17 19.17 23.16 35.14 17.94 9.57 47.45 7.67 2 對所有隊員的綜合能力進行由強到弱的排序可得（G，D，E，R，S，C，M，Q，L，P，F(xiàn)，T，A，O，N，K，H，I，J，B）

10、根據(jù)選拔要求，去除兩名隊員：J，B。讓剩余的18名選手參加比賽。（二）.1對剩余隊員重新編排號碼表三隊員隊員隊員A1H7O13C2I8P14D3K9Q15E4L10R16F5M11S17G6N12T182.建立差值模型剩余的18名隊員中，根據(jù)各個隊員的相對優(yōu)勢進行組合鑒于以分數(shù)確定每位隊員的特長存在偏差，模型采用相對優(yōu)勢作為選取隊員特長的依據(jù)。相對優(yōu)勢，即每位隊員的各個能力指標中，該指標與平均水平的差值除以該項指標的波動程度（即標準差），即可得到剔除各個指標波動幅度下的隊員優(yōu)勢。可得差值表，以確定各隊員的相對優(yōu)勢表三各隊員相對優(yōu)勢的差值表現(xiàn)學科差值智力差值動手差值寫作差值外語差值協(xié)作差值特長差

11、值1A-0.070.38-0.51-0.13-1.040.14-0.962C-0.68-0.04-0.20.420.440.251.693D-0.070.27-0.411.651.010.351.694E0.14-0.24-0.2-0.47-0.24-0.173.025F0.550.58-0.51-0.240.21-0.37-0.966G0.5510.31-1.020.32-0.173.027H-1.7-0.661.13-2.13-0.130.35-0.968I-0.98-0.45-0.31-1.80.89-0.06-2.289K0.34-0.45-0.72-0.350.210.14-2.28

12、10L0.950.48-0.621.98-0.130.35-0.9611M0.851-0.41-0.020.21-0.060.3712N-0.07-0.35-0.51-0.020.21-0.37-2.2813O0.440.070.10.31-0.020.04-2.2814P0.65-0.24-0.10.76-0.240.14-0.9615Q-0.27-0.660.721.2-0.47-0.270.3716R0.04-0.350.521.09-0.13-0.171.6917S-0.98-0.550.93-0.580.210.253.0218T0.340.170.82-0.24-1.27-0.37

13、-0.962選取最強的三個隊員根據(jù)要求，確定一個最佳的組隊使競賽水平最高從18名隊員中選擇三隊員進行個組隊，有種方法，但實際要求最佳的組隊方案，即尋求綜合實力最強且各種能力相匹配的方案。（1）單一考慮綜合加權(quán)能力下的組隊方案：設三名隊員的新編號為根據(jù)加權(quán)能力的排名表，可知綜合能力最強的三名隊員分別為G，D，E。（2）根據(jù)三名隊員的各項能力進行調(diào)整。依據(jù)強弱結(jié)合的原則，三名隊員在各項能力中必須有人占有強項，有弱項的方面可以由其他兩名隊友補充。使用差值數(shù)表判別，三個成員中，各項能力的差值不能全是負值，之和亦不應為負值；因此，選擇最佳的一個組隊方案為，G，D，E共同組隊。表四（G，D，E）共同組隊下

14、的差值隊員（）學科差值智力差值動手差值寫作差值外語差值協(xié)作差值特長差值G（6）0.551.000.31-1.020.32-0.173.02D（3）-0.070.27-0.411.651.010.351.69E（4）0.14-0.24-0.20-0.47-0.24-0.173.02差值之和0.621.03-0.30.161.090.017.73（3）根據(jù)各項能力進行調(diào)整根據(jù)各個差值之和可得：G，D，E組合成一隊的之時，動手能力方面相對弱，其他特長方面優(yōu)勢過高，需調(diào)整。（4）調(diào)整方法：先在G，D，E中選擇一個能力相對較弱的以替換。由分析，E在各項差值中有4項占據(jù)最低，應在最優(yōu)方案中替換E。在其他綜

15、合加權(quán)能力較強的隊員中選擇一個，與G、D結(jié)合，使差值之和最高。R、S、C分別與G、D結(jié)合后的差值表，分別定義為調(diào)整方案、方案，（G，D，R）共同組隊表五（G，D，R）共同組隊下的差值隊員（）學科差值智力差值動手差值寫作差值外語差值協(xié)作差值特長差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 R （16）0.04 -0.35 0.52 1.09 -0.13 -0.17 1.69 差值之和0.51 0.92 0.42 1.72 1.20 0.02 6.40 此方案的差值總和=11.

16、19；、方案，（G，D，S）共同組隊表六（G，D，S）共同組隊下的差值隊員（）學科差值智力差值動手差值寫作差值外語差值協(xié)作差值特長差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 S（17）-0.98 -0.55 0.93 -0.58 0.21 0.25 3.02 差值之和-0.51 0.72 0.83 0.05 1.54 0.43 7.73 此方案的差值總和=10.79；、方案，（G，D，C）共同組隊表七（G，D，C）共同組隊下的差值隊員（）學科差值智力差值動手差值寫作差值外

17、語差值協(xié)作差值特長差值G（6）0.55 1.00 0.31 -1.02 0.32 -0.17 3.02 D（3）-0.07 0.27 -0.41 1.65 1.01 0.35 1.69 C（2）-0.68 -0.04 -0.20 0.42 0.44 0.25 1.69 差值之和-0.20 1.23 -0.30 1.05 1.77 0.43 6.40 方案的差值總和=10.385.分析原方案及各個調(diào)整方案：、原方案，G，D，E組合成一隊，其中，動手能力：；、調(diào)整方案，G，D，R組合成一隊，其中，；、調(diào)整方案，G，D，S組合成一隊，其中，學科成績：；、調(diào)整方案，G，D，C組合成一隊其中，學科成績：

18、，動手能力：因此，選擇調(diào)整方案，即G，D，R組合成一隊。不僅總差值最高，而且在任一項能力上均未表現(xiàn)出弱勢。（三）.全部18名隊員綜合考慮下的組隊方案：1、綜合考慮18名隊員時，不能以單一隊伍的實力來制定組合方案，應盡量使各個隊伍的能力平均。在18個隊員中分成6隊，共有種方法，為簡便，采取分組再分隊的方法。2.首先，將隊員按照綜合能力排名分成三組：優(yōu)、中、劣。每組六名成員，每隊的三名隊員均分別從這三組中選擇成員3.構(gòu)造目標函數(shù)，單組各實力最大值之和目標函數(shù)確定為該隊的三名隊員在各項能力的最大值之和：同時應滿足各組均有至少一個成員在某能力上具有優(yōu)勢：為保證每隊的平均能力和原始的總隊員能力相當，建立平均能力的偏差函數(shù)：根據(jù)強弱隊員結(jié)合、強弱能力結(jié)合的原則，選擇方案。經(jīng)過從優(yōu)、中、劣三組中進行選擇，組隊方案為（D，P，K）（E，F(xiàn)，A），（R，L，N），（G，Q，I），（S，T，O），（C，M，H）各分為一組如（D，P，K）組，D，P，K的編號分別為3,14,9。因此同理，將（E，F(xiàn)，A），（R，L，