數(shù)學(xué)建模最佳組隊(duì)方案

1、數(shù)學(xué)建模論文加權(quán)向量組合安排最佳組隊(duì)方案摘要：在一年一度的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)中，都會(huì)有很多院校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，比賽規(guī)則就是3個(gè)人組成一個(gè)隊(duì)，但是每個(gè)學(xué)校都會(huì)有同樣的問(wèn)題，那就是在挑選出來(lái)的參賽團(tuán)隊(duì)中如何安排組隊(duì)才能使隊(duì)伍實(shí)力最強(qiáng)，以及整個(gè)團(tuán)隊(duì)實(shí)力最強(qiáng)，即追求一種整體實(shí)力最大化，這是參賽之前每個(gè)院校必須做好的工作，組隊(duì)原則是隊(duì)員各方面能力能互補(bǔ)。根據(jù)某院校20名參賽預(yù)選隊(duì)員，學(xué)校決定從20名隊(duì)員中選出18名隊(duì)員參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。根據(jù)對(duì)20名隊(duì)員各項(xiàng)（7項(xiàng)）衡量指標(biāo)判定學(xué)生的綜合素質(zhì)，我們通過(guò)定義7項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重得到一個(gè)正互反陣， 采用層次分析法，進(jìn)行分析，并且檢驗(yàn)是否通過(guò)一致性檢驗(yàn)，即 則

2、通過(guò)一致性檢驗(yàn)，那么就可以知道每一個(gè)學(xué)生的綜合成績(jī)，通過(guò)篩選把最差的兩個(gè)學(xué)生排除，就得到安排人數(shù)及名單，經(jīng)檢驗(yàn)在問(wèn)題一中各項(xiàng)指標(biāo)分層分析都通過(guò)一致性檢驗(yàn)，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行計(jì)算輸出結(jié)果。在問(wèn)題二中采用一隨機(jī)三個(gè)人進(jìn)行組合，進(jìn)行隨機(jī)組隊(duì)，然后采用對(duì)每一個(gè)隊(duì)組成的 的一個(gè)矩陣這樣的矩陣通過(guò)MATLAB計(jì)算有816個(gè)，那么就有816種組合方式，在矩陣中每一行表示學(xué)生的姓名，列表示學(xué)生的各項(xiàng)指標(biāo)，為了讓三個(gè)對(duì)員能夠形成互補(bǔ)，我們采用調(diào)用函數(shù) 方法進(jìn)行搜索每一列最大值，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)組，代表該隊(duì)的各項(xiàng)能力水平，這樣依次取出就得到816個(gè)隊(duì)的各項(xiàng)指標(biāo)的成績(jī)，再與問(wèn)題一里面的權(quán)重向量 相乘，就得到一個(gè) 的

3、一個(gè)總體綜合實(shí)力的矩陣，再通過(guò)排序篩選出最大的一個(gè)值，找到與之對(duì)應(yīng)的組合隊(duì)員，那么就可以確定該隊(duì)實(shí)力最強(qiáng)。問(wèn)題三采用隨機(jī)排序然后每隔3個(gè)數(shù)歸為一個(gè)整體代表每一個(gè)，一共有六個(gè)，通過(guò)增加其隨機(jī)次數(shù)來(lái)確定它的穩(wěn)定值。關(guān)鍵詞：層次分析，隨機(jī)數(shù)循環(huán)，加權(quán)向量，MATLAB，一致性檢驗(yàn)一問(wèn)題重述：?jiǎn)栴}一：對(duì)于問(wèn)題一的得要求要在20個(gè)隊(duì)員中選出最好的18個(gè)人參加比賽，通過(guò)篩選把最后的兩個(gè)同學(xué)進(jìn)行排就可以確定參賽隊(duì)員名單。問(wèn)題二：對(duì)于問(wèn)題二，根據(jù)題目要求通過(guò)對(duì)全局組合進(jìn)行篩選，這里運(yùn)用問(wèn)題一里面的數(shù)據(jù)，通過(guò)層次分析出來(lái)的權(quán)向量，以及篩選出來(lái)的18個(gè)隊(duì)員名單進(jìn)行排列組合的所有可能性做一個(gè)全局計(jì)算，得到每種可能組

4、隊(duì)的一個(gè)總體評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)指標(biāo)，然后篩選出最大的一個(gè)分?jǐn)?shù)，就可以知道該隊(duì)的人員組合安排。問(wèn)題三：對(duì)于問(wèn)題三，根據(jù)題目要求篩選出來(lái)的18名隊(duì)員組成的六個(gè)隊(duì)需要進(jìn)行一個(gè)科學(xué)合理的搭配使得總體水平效果最好，要解決的問(wèn)題是具體安排每一個(gè)隊(duì)由哪些人員組成，需要解決的是隊(duì)員組成的隊(duì)伍里面隊(duì)員能夠進(jìn)行相互各方面的缺陷，這樣才能使總體效果最好。二模型假設(shè)：1. 假設(shè)競(jìng)賽水平的發(fā)揮只取決于表中所給的各項(xiàng)條件；2. 參賽隊(duì)員都能正常發(fā)揮自己的水平；3.假設(shè)7個(gè)指標(biāo)的影響度是逐漸降低的4.假設(shè)隨機(jī)組組隊(duì)，每個(gè)隊(duì)員在該組都能彌補(bǔ)其他兩人的不足5.假設(shè)每隊(duì)的綜合能力只是取決于他們的7項(xiàng)指標(biāo)三符號(hào)說(shuō)明：一致性指標(biāo)；：一致性比率

5、；：隨機(jī)一致性指標(biāo)；：7個(gè)指標(biāo)的權(quán)重:每個(gè)隊(duì)員的綜合得分:每名隊(duì)員依據(jù)各個(gè)指標(biāo)所占權(quán)重所得分?jǐn)?shù)：每個(gè)方案總分:一個(gè)方案下每個(gè)隊(duì)的競(jìng)技水平：表示組隊(duì)的名稱四模型建立與求解：?jiǎn)栴}一：該問(wèn)題是一個(gè)綜合排序問(wèn)題。對(duì)于此類問(wèn)題，可通過(guò)層次分析法知道不同評(píng)價(jià)指標(biāo)所占權(quán)重，然后根據(jù)權(quán)重進(jìn)行整體評(píng)估與排序。 在本題中，依據(jù)層次分析法，目標(biāo)層為選擇隊(duì)員；準(zhǔn)則層為學(xué)科成績(jī)、智力水平、動(dòng)手能力、寫(xiě)作能力、外語(yǔ)能力、協(xié)作能力、其它特長(zhǎng)；方案層為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T這20個(gè)待選隊(duì)員（如圖1）。假設(shè)7個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)所占權(quán)重是依次遞減的，分別為1,2,3,4,5,6,7

6、。通過(guò)兩兩比較建立成對(duì)比較陣（如圖2），然后進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過(guò)，則計(jì)算出目標(biāo)層與準(zhǔn)則層之間權(quán)重。針對(duì)準(zhǔn)則層與方案層，若用層次分析法，需建立7個(gè)的矩陣，人為工作量過(guò)大；且心理學(xué)家認(rèn)為，成對(duì)比較因素不宜超過(guò)9個(gè)，而此時(shí)的成對(duì)比較因素有20個(gè)，因此準(zhǔn)則層與方案層之間的權(quán)重計(jì)算不用層次分析法，而通過(guò)Excel直接依據(jù)各個(gè)指標(biāo)所占權(quán)重計(jì)算每個(gè)人的得分，再將每個(gè)人的7個(gè)指標(biāo)得分求和得出每個(gè)隊(duì)員的綜合得分，并對(duì)總得分降序排列排除最后兩名隊(duì)員。圖1：選拔優(yōu)秀隊(duì)員學(xué)科成績(jī)寫(xiě)作能力動(dòng)手能力智力水平其他能力協(xié)作能力外語(yǔ)水平ADTCB目標(biāo)層準(zhǔn)則層C：方案層計(jì)算每名隊(duì)員綜合得分的方法如下：（1）在matlab中

7、輸入正互反矩陣（圖2），調(diào)用編寫(xiě)好的層次分析法計(jì)算權(quán)重方程xxjj0，得出、，判斷一致性；（2）得出7個(gè)指標(biāo)所占權(quán)重；（3）通過(guò)Excel計(jì)算每名隊(duì)員依據(jù)各個(gè)指標(biāo)所占權(quán)重所得分?jǐn)?shù)；（4）每個(gè)隊(duì)員各個(gè)指標(biāo)的求和，得出每個(gè)隊(duì)員的綜合分?jǐn)?shù)；（5）個(gè)隊(duì)員的綜合分?jǐn)?shù)進(jìn)行排序，選出前18位；輸入正互反矩陣（圖2）矩陣2：得出，當(dāng)正互反陣為7階時(shí)，對(duì)應(yīng)的得到結(jié)果：且，所以通過(guò)一致性檢驗(yàn)，可用產(chǎn)生的權(quán)重 7個(gè)指標(biāo)權(quán)重分別為：隊(duì)員編號(hào)學(xué)科成績(jī)智力水平動(dòng)手能力寫(xiě)作能力外語(yǔ)水平協(xié)作能力其它特長(zhǎng)A8.698.287.99.56B8.28.88.16.57.79.12C88.68.58.59.29.68D8.68.98

8、.39.69.79.78E8.88.48.57.78.69.29F9.29.28.27.9996G9.29.697.29.19.29H789.86.28.79.76I7.78.28.46.59.69.35J8.38.18.66.98.59.44K98.287.899.55L9.69.18.19.98.79.76M9.59.68.38.199.37N8.68.38.28.1995O9.18.78.88.48.89.45P9.38.48.68.88.69.56Q8.489.49.28.49.17R8.78.39.29.18.79.28S7.78.19.67.699.69T98.89.57.97.7

9、96對(duì)求和，得出每個(gè)隊(duì)員的綜合分?jǐn)?shù)如下表：隊(duì)員ABCDEEGHIJKLMNOPQRST綜合分?jǐn)?shù)8.483067.965858.428698.833748.553998.785229.044947.806767.923378.084068.423569.105369.06878.346258.750068.780818.534148.726268.301468.73683對(duì)每個(gè)隊(duì)員的綜合分?jǐn)?shù)排序：隊(duì)員編號(hào)LMGDFPO綜合分?jǐn)?shù)9.105369.06879.044948.833748.785228.780818.75006排名1234567隊(duì)員編號(hào)TREQACK綜合分?jǐn)?shù)8.736838.72626

10、8.553998.534148.483068.428698.42356排名891011121314隊(duì)員編號(hào)NSJBIH綜合分?jǐn)?shù)8.346258.301468.084067.965857.923377.80676排名151617181920由上表排序知，隊(duì)員H、I綜合得分較低，因此淘汰。所選擇的18名隊(duì)員名單分別為:A、B、C、D、E、F、G、J、K、L、M、N、O、P、Q、R、S、T。問(wèn)題二：考慮到3名隊(duì)員之間能力的互補(bǔ)性，需選出3名隊(duì)員，他們每個(gè)人在7項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)中最高分予以保留生成新的最高分。將新生成的7項(xiàng)最高分按第一問(wèn)的權(quán)重相加，得出最高綜合分。這3名隊(duì)員的綜合最高分越高，則這只隊(duì)伍的能力

11、越強(qiáng)。對(duì)于每一項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，三人進(jìn)行比較，將3人中的最高值予以保留，得到由三人成績(jī)共同組成的新的一組指標(biāo)。將新得出的一組指標(biāo)分別乘以第一組得出的權(quán)重，讓后對(duì)一組中的7項(xiàng)指標(biāo)求和，其積記為這一組的總分?jǐn)?shù)。求出所有組合情況下每組的總分?jǐn)?shù)，并選出所有總分?jǐn)?shù)中的最大值。找出最大值所對(duì)應(yīng)的組合情況，即為最佳3人組隊(duì)。經(jīng)過(guò)程序運(yùn)行計(jì)算，得出總分最大值為9.5178，此時(shí)為第622種組合情況，對(duì)應(yīng)的隊(duì)員名單為：G、S、L。程序請(qǐng)看在附錄-第二問(wèn)問(wèn)題三：要求18名隊(duì)員組成6個(gè)隊(duì), 并且整體競(jìng)賽技術(shù)水平最高, 同時(shí)給出每個(gè)隊(duì)的競(jìng)賽技術(shù)水平。通過(guò)matlab隨機(jī)產(chǎn)生18個(gè)元素的一行18列矩陣，隨機(jī)分成六組作為一個(gè)分

12、組方案，編程類似問(wèn)題二，最后通過(guò)總分t衡量，量化看一個(gè)方案的優(yōu)秀程度。經(jīng)過(guò)大數(shù)量的循環(huán)得到最優(yōu)方案（1）一次循環(huán)即為一個(gè)方案，隨機(jī)分出6個(gè)組，記為列出每個(gè)組的分?jǐn)?shù)矩陣，例如隨機(jī)組合一個(gè)組如下（2）每個(gè)組各項(xiàng)的水平應(yīng)該由其三個(gè)隊(duì)員各項(xiàng)能力中最高的數(shù)組決定，所以用函數(shù)得出能代表每組各項(xiàng)水平，結(jié)果如下： （3）將每組通過(guò)用函數(shù)得到的行向量乘以每項(xiàng)能力的權(quán)重得到,即為衡量每組綜合能力的數(shù)值。例如 將向量六項(xiàng)元素求和得，用值來(lái)衡量該方案的優(yōu)秀程度解得結(jié)果如下：當(dāng)前最優(yōu)的六種組合組別第一組第二組第三組隊(duì)員21071291314183水平9.3949.3949.0659組別第四組第五組第六組隊(duì)員155114

13、1781616水平9.35359.29079.0896上面為篩選后的十八名隊(duì)員排序編號(hào)分別為，所以對(duì)應(yīng)上表得到組隊(duì)方案：第一隊(duì) 第二隊(duì) 第三隊(duì) 第四隊(duì) 第五隊(duì) 第六隊(duì)五模型的誤差分析在第一問(wèn)中，本文采用了層次分析法。依題意較主觀的對(duì)7項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行了重要度的評(píng)測(cè)。從不同的角度、不同側(cè)重點(diǎn)對(duì)7項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要度進(jìn)行評(píng)測(cè)，其評(píng)測(cè)結(jié)果存在差異，這將導(dǎo)致7項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)所占權(quán)重存在差異。在第三問(wèn)中，由于全局搜索計(jì)算量過(guò)大，本文通過(guò)多次產(chǎn)生隨機(jī)組合的方法求18名隊(duì)員總體的最佳競(jìng)賽水平。由于隨機(jī)生成的組合方法不同，18名隊(duì)員的分組情況會(huì)有差異，18名隊(duì)員整體競(jìng)賽水平也會(huì)有差異，但誤差可控制在0.01之內(nèi)。六模

14、型評(píng)價(jià)本文針對(duì)第一問(wèn)，采用了層次分析法，能夠較科學(xué)的得出7項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)指標(biāo)所占權(quán)重。但又未完全采用層次分析法，避免了由于成對(duì)比較因素過(guò)多而造成值不準(zhǔn)確，保證了所求每個(gè)隊(duì)員綜合得分的準(zhǔn)確性與科學(xué)性。本文對(duì)18名隊(duì)員所有組合情況進(jìn)行了全局搜索，對(duì)于最佳組合能力衡量較全面，所選的3名隊(duì)員能力具有互補(bǔ)性。而對(duì)于每種組合情況，具有科學(xué)的量化標(biāo)準(zhǔn)。本程序能夠精確的選出所需的3名隊(duì)員，并給出綜合得分。本文對(duì)于18個(gè)隊(duì)員組成6隊(duì)的人員分組，進(jìn)行了隨機(jī)生成，大大減少了計(jì)算機(jī)的工作量，同時(shí)所得結(jié)論亦科學(xué)合理。 模型的不足受題目本身的影響，有些誤差無(wú)法避免，重要系數(shù)得到的正反矩陣是人為定義的誤差無(wú)法避免。七模型推廣此模型在對(duì)待評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)行全面而綜合的科學(xué)評(píng)價(jià)，多個(gè)選擇對(duì)象進(jìn)行篩選，任務(wù)分配，組隊(duì)等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，