數(shù)制編碼及邏輯代數(shù)二新版資料doc

1、17.3.4 復(fù)雜邏輯關(guān)系(1) “與非”邏輯與和非的復(fù)合邏輯稱為與非邏輯,它可以看成與邏輯后面加了一個非邏輯,實(shí)現(xiàn)與非邏輯的電路稱為與非門 (2)或非邏輯或和非的復(fù)合邏輯稱為或非邏輯,可以看成或邏輯后面加了一個非邏輯,實(shí)現(xiàn)或非邏輯的電路或非門 (3)與或非邏輯是三種基本邏輯的組合,也可看成是與邏輯與或非邏輯的組合 (4) 異或邏輯異或邏輯是指當(dāng)兩個輸入邏輯變量取值相同時,輸出為0,不同(相異)時輸出為1實(shí)現(xiàn)異或邏輯的電路稱為異或門 (5)同或邏輯同或邏輯又稱為異或非邏輯,是指當(dāng)兩個輸入邏輯變量取值相同時,輸出為1,不同時輸出為0實(shí)現(xiàn)同或邏輯的電路稱為同或門(或稱為異或非門) 17.4 邏輯函

2、數(shù)表示17.4.1 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)的基本公式定律和規(guī)則 (1)基本公式 邏輯代數(shù)的基本公式和定律列下表 邏輯代數(shù)的基本公式和定律名稱公 式0-1律0·0=0 0+0=0 0·1=0 0+1=1 1·1=1 1+1=1 0·A=0 0+A=A1·A=A 1+A=1重疊律(自等律)A·A=AA+A=A互補(bǔ)律 還原律交換律A·B=B·A A+B=B+A結(jié)合律(A·B )·C=A·(B·C) (A+B )+C=A+(B+C)分配律A·(B +C)=AB+AC A+B C=

3、(A+B)(A+C)反演律(德·摩根定理)吸收律A+AB=A A(A+B)=A (A+B)(A+C)=A+BC表中各式,0-1律重疊律互補(bǔ)律還原律,按與或非三種基本邏輯運(yùn)算的含義不難理解,也無須證明而交換律結(jié)合律分配律反演律和吸收律各式可用真值表證明摩根定理適用于任何兩變量以上的多變量函數(shù) 表 證明兩變量的摩根定理的真值表A B0 00 11 01 11000100011101110由表可見 (2)關(guān)于等式的若干規(guī)則1)代入規(guī)則將等式兩邊出現(xiàn)的同一變量都以一個相同的邏輯函數(shù)代之,則等式仍成立,這個規(guī)則稱為代入規(guī)則 利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大等式的應(yīng)用范圍,很多基本公式都可以由兩變量或三變量

4、推廣為多變量的形式例如,摩根定理的兩變量形式為 及,利用代入法則,將前式“B”的位置以(B·C)代入,后式 “B”的位置以(B+C)代入就可得到表中三變量形式的摩根定理從而,摩根定理得到了擴(kuò)展2)反演規(guī)則對于一個邏輯式Z,如果把其中所有的“·”換成“+”,“+”換成“·”,0換成1,1換成0,原變量換成反變量反變量換成原變量,那么得到的函數(shù)式就是,這個規(guī)則叫做反演規(guī)則它為求一個函數(shù)的反函數(shù)提供了方便在使用反演規(guī)則時需要注意兩點(diǎn):必須遵守“先括號然后乘最后加”的順序不屬于單個變量上反號應(yīng)保留不變3) 對偶規(guī)則對于任何一個邏輯式Z,如果把其中所有的“·”換成

5、“+”,“+”換成“·”,0換成1,1換成0,則得到一個新的函數(shù)式,這就是函數(shù)Z的對偶式,記作可以證明,若兩個邏輯式相等,則它們的對偶式也相等,這就是對偶規(guī)則運(yùn)用對偶規(guī)則可以使人們要證明的公式大大減少假如要求證和是否相等,則只需證明其對偶式是否相等例如,分配律為A(B+C)=AB+AC,求這一個公式兩邊的對偶式,則有分配律A+BC=(A+B)(B+C)成立如果已證明前式成立,那么后式就不必再證明了,它一定成立17.4.2 邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡化簡的意義:將邏輯函數(shù)化成最簡形式便于在用電路實(shí)現(xiàn)時節(jié)省器件(1)邏輯函數(shù)式最簡的標(biāo)準(zhǔn)邏輯函數(shù)式有多種形式,如與或式,或與式,與非與非式,或非或

6、非式等等Y=AB+A'C與或式=(AB+A'C)')'=(AB)'(A'C)')'與非與非式兩次取反=(AB+A'C)')'=(A'+B')(A+C')'=(AB'+A'C'+B'C')'=(AB'+A'C')'=(A'+B)(A+C)或與式=(A'+B)(A+C)')'=(A'+B)'+(A+C)')'或非或非式兩次取反=(AB&#

7、39;+A'C')'與或非式與或式使用最多,因此我們只討論與或式的最簡標(biāo)準(zhǔn)1.包含的與項(xiàng)最少;2.在滿足1項(xiàng)的前提下,每個與項(xiàng)包含的變量個數(shù)最少(2)化簡方法我們通過一些例子說明如何應(yīng)用這些公式進(jìn)行化簡1)并項(xiàng)法:A+A'=12)吸收法:A+AB=AY=AB+A(C+D)B=AB 3)消因子法:A+A'B=A+BY=AC+A'D+C'D=AC+(AC)'D=AC+D4)消項(xiàng)法:AB+A'C+BC=AB+AC'Y=AC+AD'+(C+D)'=AC+AD'+C'D'=AC+C&#

8、39;D'5)配項(xiàng)法:A=A+A 1=A+A' AB+A'C =AB+AC'+BCY1=A'BC'+A'BC+ABC=A'BC'+A'BC+A'BC+ABC=A'B+BCY2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+AC'=A'B+B'C +AC'或Y2= AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C

9、+A'C=AB'+BC'+A'C卡諾圖化簡法1. 卡諾圖的構(gòu)成形狀:二變量卡諾圖有22=4個小方格;三變量卡諾圖有23=8個小方格;四變量卡諾圖有24=16個小方格;一般4個小方格和16個小方格的卡諾圖組成正方形;8個小方格的卡諾圖組成長方形(當(dāng)然,也有五變量和六變量的卡諾圖,它們有不同的設(shè)計(jì)方法) 坐標(biāo)軸:也有橫軸和縱軸與普通代數(shù)中的平面直角坐標(biāo)軸的稱呼不太相同下面的方法把坐標(biāo)軸和變量聯(lián)系起來記憶,可以方便學(xué)習(xí)二變量(A,B)卡諾圖的橫軸稱為A橫軸,縱軸稱為B縱軸;三變量(A,B,C)卡諾圖的橫軸稱為AB橫軸,縱軸稱為C縱軸;四變量(A,B,C,D)卡諾圖的橫

10、軸稱為AB橫軸,縱軸稱為CD縱軸坐標(biāo):橫坐標(biāo)從左到右,縱坐標(biāo)從上到下都按升序當(dāng)坐標(biāo)軸為一個變量時,升序?yàn)?,1如A橫軸,對應(yīng)坐標(biāo)為,A余類推當(dāng)坐標(biāo)軸為二個變量時,升序?yàn)?0,01,11,10(注意:這種升序是二進(jìn)制數(shù)00,01,10,11對應(yīng)的格雷碼), 如AB橫軸,對應(yīng)坐標(biāo)為,B,AB,A余類推當(dāng)坐標(biāo)軸為三個變量時,升序?yàn)?00,001,011,010,110,111,101,100(注意:這種升序是二進(jìn)制數(shù)000,001,010,011,100,101,110,111對應(yīng)的格雷碼)卡諾圖中小方格的內(nèi)容:每一個小方格代表一個最小項(xiàng)如同平面直角坐標(biāo)系一樣,平面上的每一個點(diǎn)的坐標(biāo)是先橫后列例如四

11、變量的卡諾圖中,最小項(xiàng)m5對應(yīng)的AB橫軸坐標(biāo)為01(即為B),CD縱軸坐標(biāo)為01(即為D),故m5=BD2. 邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示若邏輯函數(shù)表達(dá)式是“最小項(xiàng)之和”的形式,如F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= m2+m3+ m6+ m7,則在直接在三變量卡諾圖中對應(yīng)m2m3m6m7的小方格內(nèi)填1,其余方格填0填1的方格稱為1方格,填0的方格稱為0方格一般不填0方格,以求圖象清淅若邏輯函數(shù)是“與-或” 表達(dá)式,如F(A,B,C)= C+B +AC +BC在三變量卡諾圖中,填C時,因只有一個橫坐標(biāo),故應(yīng)先在AB橫軸上找出開始為0的坐標(biāo) (這個0對應(yīng)著):00和01的兩列,然后在C縱軸上找出坐標(biāo)為1的一列,這樣就在卡諾圖中找到了001和011的兩個1方格相當(dāng)于C+BC=C填B時,因只有橫坐標(biāo),無縱坐標(biāo),故在AB橫軸上找出坐標(biāo)01后,在這一列的所有兩個小方格內(nèi)填1(即兩個1方格)相當(dāng)于BC+B=B填BC時,因只有一個橫坐標(biāo)B,故應(yīng)先在AB橫軸上找出第二個坐標(biāo)為1的坐標(biāo) (這個1對應(yīng)著B)的11和01的兩列,然后在C縱軸上找出坐標(biāo)為1的一列,