微積分學(xué)中的微元分析法

1、微積分學(xué)中的微元分析法王鳳鳴1，2 李世紀(jì)2（1. 南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 南陽(yáng) 473061； 2. 河南財(cái)經(jīng)學(xué)院 成功學(xué)院，河南 鄭州 451200）摘要：微元分析法早在微積分學(xué)的嚴(yán)密理論建立之前就已經(jīng)在幾何學(xué)、力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用.這些應(yīng)用在解決實(shí)際問(wèn)題，給出很多精彩結(jié)果的同時(shí)，引導(dǎo)人們認(rèn)識(shí)了微分與積分的互逆關(guān)系，從而導(dǎo)致了微積分基本定理的建立.學(xué)會(huì)微元分析法對(duì)掌握微積分的理論和應(yīng)用十分重要，本文詳細(xì)分析討論微元分析法的應(yīng)用條件和方法.關(guān)鍵詞：微積分、微元分析法、相關(guān)性、可加性.中圖分類號(hào)：O 172.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671 - 6132（200

2、7）09 - 0019 03微積分是人類文明發(fā)展史上理性智慧的精華，早在二百多年前，微積分已經(jīng)成為自然科學(xué)和工程技術(shù)中不可缺少的工具.歷史發(fā)展到今天，微積分學(xué)的應(yīng)用幫助社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、商學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域取得巨大的進(jìn)步，這其中最重要的事情就是微元分析法幫助我們建立了各種紛繁復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.微分方程（這里表示時(shí)間變量，是某個(gè)時(shí)間序列量，是比例常數(shù)）不是一個(gè)非常精彩的例子嗎！它如此簡(jiǎn)明，但大到一定條件下各種生物種群的生衰變化，小到物體冷卻、放射性物質(zhì)的裂變等動(dòng)態(tài)過(guò)程都可以用這個(gè)模型來(lái)刻劃.現(xiàn)行的“高等數(shù)學(xué)”（微積分）課程都是在定積分應(yīng)用中作為定積分概念的簡(jiǎn)化介紹微元分析法的.即用定積分

3、求某個(gè)總量時(shí)，先求出總量的微分（相當(dāng)于寫出），再計(jì)算定積分（相當(dāng)于計(jì)算）上面第一步是問(wèn)題的關(guān)鍵，這時(shí)要選定一個(gè)和相關(guān)的變量（就是積分變量），建立一個(gè)對(duì)的無(wú)限細(xì)分方式，在用于刻劃這個(gè)細(xì)分的“”段上以直代曲，以均勻代不均勻，用初等規(guī)則計(jì)算的微元.當(dāng)然實(shí)施定積分計(jì)算，要求總量在積分變量的變化區(qū)間上具有可加性.就是說(shuō)，如果把區(qū)間分成若干個(gè)部分區(qū)間，則相對(duì)應(yīng)地分成若干部分量，而等于所有部分量之和.選擇與總量相關(guān)的變量，建立對(duì)的分劃方法是非常靈活的，這一步做得恰當(dāng)，會(huì)把問(wèn)題解決得很簡(jiǎn)明，看下面的例子.圖一我們考查（圖一）曲邊梯形（）繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.選取作積分變量（所求體積顯然與變量相關(guān)），用

4、同軸（軸）的圓柱面簇劃分這個(gè)旋轉(zhuǎn)體，在旋轉(zhuǎn)半徑為與（）的兩個(gè)圓柱面之間得到體積微元 由此得到（圖一）曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積公式 .例1. 計(jì)算由正弦曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.圖二解：如圖二，利用上面公式，所求體積例2. 計(jì)算由擺線，的一拱，直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 .解：如圖三，對(duì)上面公式作換元積分有圖三再作換元，令，利用奇偶性有 上面分劃旋轉(zhuǎn)體體積的方法稱為“柱殼法”，這比通常教科書(shū)上的切片劃分來(lái)得簡(jiǎn)單.例1、例2都是同濟(jì)大學(xué)“高等數(shù)學(xué)”教材上的例題，讀者不妨自己做個(gè)比較.關(guān)于“可加性”的要求，我們給出下面例子對(duì)比“可加”和“不可加”

5、，以加深對(duì)“可加性”條件的理解.圖 四例3. 設(shè)長(zhǎng)為的均勻細(xì)桿，質(zhì)量為；另有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于細(xì)桿的中垂線上，與桿的距離為.計(jì)算細(xì)桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解：建立如圖四坐標(biāo)系，均勻細(xì)桿在上的質(zhì)量為，由萬(wàn)有引力公式得到引力微元 （為引力常數(shù)）這里在對(duì)細(xì)桿分劃的不同段落上的方向是不同的，所以引力微元集不具有可加性，從而不能對(duì)它積分求引力.在軸、軸方向上的分量分別為這里微元集分別是軸、軸方向上的同向平行力，它們各自是可加的，從而作換元 有 事實(shí)上，微元分析法凝聚了微積分的基本思想，早在柯西給出極限的精確定義，隨后數(shù)學(xué)家們建立了嚴(yán)密的分析理論之前，運(yùn)用微元分析法貝努里、惠更斯解決了懸鏈線問(wèn)題，牛頓、萊布尼茨解

6、決了最速降線問(wèn)題，并引導(dǎo)人們認(rèn)識(shí)了微分與積分的互逆關(guān)系，從而導(dǎo)致了微積分基本定理的建立.圖 五前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，微元分析法能幫助我們建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，作為欣賞，我們給出下面的例子. 把旋輪線如圖五放在坐標(biāo)系中，這時(shí)其參數(shù)方程為 設(shè)質(zhì)量為的小球在、兩點(diǎn)間沿旋輪線作無(wú)摩擦擺動(dòng)，我們計(jì)算小球的擺動(dòng)周期.旋輪線的弧微元 （）設(shè)小球的初始位置點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù) .再設(shè)小球時(shí)刻位于點(diǎn)，其線速度為，由能量守恒定律有于是由此，旋輪線弧微元就是小球在時(shí)間內(nèi)的路程 （）由（）、（）兩式就有積分上式即得擺動(dòng)周期 這個(gè)結(jié)果告訴我們，小球擺動(dòng)周期與小球初始位置無(wú)關(guān)，正是由于這個(gè)性質(zhì)，旋輪線又稱擺線.上面過(guò)程中涉

7、及三個(gè)微元：弧長(zhǎng)微元、參數(shù)微元、時(shí)間微元.與的關(guān)系實(shí)質(zhì)上是對(duì)曲線弧細(xì)分后在局部以直代曲，對(duì)弧微分三角形運(yùn)用勾股定理 ；與的關(guān)系（）則是以均速代替非均速.于是通過(guò)建立了、間的數(shù)量關(guān)系.品味上面的分析方法，再對(duì)比單擺周期公式（，為擺長(zhǎng)），這個(gè)例子的過(guò)程和結(jié)果都是很美的！最后我們?cè)儆梦⒃治龇ㄓ?jì)算一個(gè)二重積分.計(jì)算，其中是閉區(qū)域.（圖六）解：用等值線劃分積分區(qū)域.于是夾在直線與間的面積微元（矩形） 再以定值代替被積函數(shù)（變值），于是 歸根結(jié)底，微積分是一種思想，微元分析是這個(gè)思想的靈魂.講授“微積分”決不能只關(guān)注那些微分、積分公式和計(jì)算技巧，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生建立起宏觀與微觀的辯證思維，學(xué)會(huì)應(yīng)用微元分析法描述