數字濾波器的應用

1、目 錄1數字濾波器的簡介和研究意義.1 1.1數字濾波器的簡介1 1.2研究意義.12 IIR數字濾波器的設計22.1 IIR數字濾波器設計過程22.2 IIR數字濾波器設計方法2脈沖響應不變法2雙線性變換法4兩種方法優(yōu)缺點的比較53 FIR數字濾波器的設計53.1線性相位FIR數字濾波器的特性63.2設計方法74 IIR和FIR數字濾波器的基本結構研究9 4.1IIR數字濾波器的基本結構.9 4.2FIR數字濾波器的基本結構.125 IIR和FIR數字濾波器的比較146 設計濾波器 .146.1脈沖響應不變法.14 6.2線性變換法.167參考文獻.17摘 要 數字濾波器有很多優(yōu)點，例如它可

2、以滿足濾波器對幅度和相位特性的嚴格要求，可以避免模擬濾波器無法克服的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。數字濾波器是一種離散系統(tǒng)，分為有限數字濾波器和無限數字濾波器，本文總結了數字濾波器設計的意義以及IIR數字濾波器和FIR數字濾波器設計的基本過程、設計方法和它們的優(yōu)缺點，另外還講述了對這兩種濾波器的基本結構研究。1.數字濾波器的簡介和研究意義1.1數字濾波器的簡介數字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數字系統(tǒng)，通過對抽樣數據進行數學處理來達到頻域濾波的目的?？梢栽O計系統(tǒng)的頻率響應，讓它滿足一定的要求，從而對通過該系統(tǒng)的信號的某些特定的頻率成分進行過濾，這就是濾波器的基本原理。如果系統(tǒng)是一個連續(xù)系

3、統(tǒng)，則濾波器稱為模擬濾波器。如果系統(tǒng)是一個離散系統(tǒng)，則濾波器稱為數字濾波器。他的系統(tǒng)函數一般可以表示為 的有理多項式，即 公式1.1 當 ；i=1，2，.,N都為0時，由式（1-1）描述的系統(tǒng)稱為有限脈沖響應數字濾波器，簡稱FIR數字濾波器。當系數 ；i=1，2，.,N中至少有一個是非零時，式（1-1）描述的系統(tǒng)稱為無限脈沖響應數字濾波器，簡稱IIR數字濾波器。在設計數字濾波器時，首先根據具體的濾波成分，確定待設計數字濾波器的技術指標，在求解出滿足設計指標的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數H(z)。1.2研究意義濾波器的功能是用來移除信號中不需要的部分，比如隨機噪聲；或取出信號中的有用部分，如位于某段頻率范

4、圍內的成分。目前隨著計算機技術和數字信號處理器芯片的發(fā)展，使我們更為便利地識別和提取各種各樣的信號。因此研究不同數字濾波器的設計原理和穩(wěn)定性分析對于滿足軍事、航空、民營等等各個領域的信號處理要求具有十分重要的意義。2.IIR數字濾波器的設計2.1 IIR數字濾波器的設計過程IIR數字濾波器的設計就是根據給定的數字濾波器技術指標，確定公式1.1濾波器的階數N和系數，。在滿足技術指標的條件下，濾波器的階數應盡可能低。因為濾波器階數越低，實現數字濾波器的成本就越低。由于模擬濾波器設計技術已非常成熟，且可得閉合形式的解，因此在設計IIR數字濾波器時，一般是通過模擬濾波器來設計數字濾波器。設計方法是先將

5、數字濾波器技術指標轉換為對應的模擬濾波器技術指標，然后設計滿足技術指標的模擬濾波器H(s)，再將模擬濾波器H(s)轉換為對應的數字濾波器H(z)，如圖1.1所示。圖1.1 IIR數字濾波器設計過程因此，在IIR數字濾波器設計中，模擬濾波器設計是基礎，模擬濾波器到數字濾波器的轉換是核心。而模擬濾波器的設計都是通過低通濾波器來實現，比較常用的模擬低通濾波器有Butterworth和Chebyshev等。2.2 IIR數字濾波器的設計方法在IIR數字濾波器的設計中，將H(s)變換為H(z）時，要求模擬域到數字域映射滿足兩個條件：（1） 兩者的頻率特性不變，即s平面的虛軸jw必須映射到z平面的單位圓上

6、。（2） 變換后的濾波器仍是穩(wěn)定的，即s左平面必須映射到z平面的單位圓內。這樣才能保證變換后的數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的模擬頻率響應基本一致。常用的將模擬濾波器變換為數字濾波器的方法有脈沖響應不變法和雙線性變換法。脈沖響應不變法2.2.1.1基本原理脈沖響應不變法通過對模擬濾波器的單位沖激響應h（t）等間隔抽樣來獲得對應數字濾波器的單位脈沖響應hk，即hk=h(kT)(1) 其中T是抽樣間隔。若已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數H(S),則利用脈沖響應不變法將H(s)變換為步驟如圖1.2所示，即先對H(S)進行Laplace逆變換獲得h(t),在對h(s)等間隔抽樣得到h(k),最后計算h(k)

7、的z變換得到H(z)。 圖1.2利用脈沖響應不變法將H(S)變?yōu)镠(Z)兩種方法優(yōu)缺點的比較 脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位沖激響應能完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域逼近良好，而且模擬角頻率和數字角頻率之間呈線性關系。該方法最大的缺點是有頻率響應的混疊效應，所以只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且阻帶衰減越快，混疊效應越小。2.2.2 雙線性變換法 雙線性變換法的基本思想是，將模擬濾波器的H( s)轉換為數字濾波器的 H( z)時，不是直接從s域到z域，而是先將非帶限的H( s)映射為帶限的H( s')，再通過脈沖響應不變法將s'域映

8、射到z域，即H( s)>H( s')>H( z)。從頻域來看模擬角頻率與數字角頻率的關系需通過'建立，即>'>。設計步驟如下：(1) 由式(2-5)將數字濾波器的頻率指標轉換為模擬濾波器的頻率指標。 (2-5) (2) 設計通帶截頻、通帶衰減、阻帶截頻、阻帶衰減的模擬濾波器。(3) 利用雙線性變換法將模擬濾波器的H( s)轉換為數字濾波器的 H( z)。遵循公式(2-6)。 (2-6)雙線性變換法的優(yōu)、缺點： 雙線性變換最突出的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊失真，缺點是頻率響應的非線性失真，模擬角頻率和數字角頻率之間的關系如式(2-8)在零頻率附近與

9、之間的關系近似于線性，隨著的增加，與之間的關系出現嚴重非線性，使數字濾波器頻率響應不能保真地模仿模擬濾波器頻率響應。 雙線性變換法的非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，否則變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有較大畸變。脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位沖激響應能完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域逼近良好，而且模擬角頻率和數字角頻率之間呈線性關系。脈沖響應不變法的最大的缺點是有頻率響應的混疊效應，所以只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且阻帶衰減越快，混疊效應越小。雙線性變換法的設計原理雙線性變換法是將模擬濾波器的H

10、( s)轉換為數字濾波器的 H( z)時，不是直接從s域到z域，而是先將非帶限的H( s)映射為帶限的H( s')，再通過脈沖響應不變法將s'域映射到z域，即H( s)>H( s')>H( z)。從頻域來看模擬角頻率與數字角頻率的關系需通過'建立，即>'>。設計步驟如下：(4) 由式(2-7)將數字濾波器的頻率指標轉換為模擬濾波器的頻率指標。 (2-7)(5) 設計通帶截頻、通帶衰減、阻帶截頻、阻帶衰減的模擬濾波器。(6) 利用雙線性變換法將模擬濾波器的H( s)轉換為數字濾波器的 H( z)。遵循公式如式(2-8)。 (2-8)

11、雙線性變換法的優(yōu)點：雙線性變換最突出的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊失真。雙線性變換法的缺點：最大的缺點是頻率響應的非線性失真，模擬角頻率和數字角頻率之間的關系如式(2-7)在零頻率附近與之間的關系近似于線性，隨著的增加，與之間的關系出現嚴重非線性，使數字濾波器頻率響應不能保真地模仿模擬濾波器頻率響應。3.FIR數字濾波器 3.1 線形FIR數字濾波器的特性 FIR濾波器的設計是建立在對期望濾波器頻率特性的某種近似基礎之上的 目前有許多方法可以設計FIR濾波器，比如窗函數設計法、頻率取樣法等。其中 窗函數設計法是濾波器設計的主要方法之一，由于運算簡便，物理意義直觀，已成為工程實際中應用最廣泛的方法

12、，常見的窗函數有：矩形窗、三角形窗、布萊克曼窗、切比雪夫窗等。窗函數法的基本思想是用一具有有限長度樣值響應、并具有線性相位的系統(tǒng)函數逼近理想濾波器的系統(tǒng)函數。3.2設計方法(1) 根據過渡帶寬及阻帶衰減要求，選擇窗函數的類型并估計窗口長度N(或階數M=N-1)，窗函數類型可根據最小阻帶衰減As獨立選擇，因為窗口長度N對最小阻帶衰減As沒有影響，在確定窗函數類型以后，可根據過渡帶寬小于給定指標確定所擬用的窗函數的窗口長度N，設待求濾波器的過渡帶寬為w，它與窗口長度N近似成反比，窗函數類型確定后，其計算公式也確定了，不過這些公式是近似的，得出的窗口長度還要在計算中逐步修正，原則是在保證阻帶衰減滿足

13、要求的情況下，盡量選擇較小的N，在N和窗函數類型確定后，即可調用Matlab中的窗函數求出窗函數wd(n)。(2) 根據待求濾波器的理想頻率響應求出理想單位脈沖響應hd(n)，如果給出待求濾波器頻率應為Hd，則理想的單位脈沖響應可以用下面的傅里葉反變換式求出：(3-1)采用離散傅里葉反變換（IDFT）即可求出。(3)用窗函數wd(n)將截斷，并進行加權處理，得到(3-2)如果要求線性相位特性， 則h(n)還必須滿足：(3-3)根據上式中的正、負號和長度N的奇偶性又將線性相位FIR濾波器分成四類。要根據所設計的濾波特性正確選擇其中一類。例如：要設計線性相位低通特性可選擇h(n)=h(N-1-n)

14、一類，而不能選h(n)=-h(N-1-n)一類。 窗函數法的優(yōu)、缺點：窗函數法的優(yōu)點是簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。窗函數法是從時域出發(fā)，通過一定的窗函數截取有限長的單位脈沖響應來逼近理想單位脈沖響應；窗函數法的缺點是：(1)加窗后，會使頻響產生一過渡帶，其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度。(2)在處會出現肩峰，肩峰兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少。(3)會出現吉布斯(Gibbs)效應。(4)較為復雜時，不容易由反傅里葉變換求得。邊界頻率因為加窗的影響而不易控制。頻率取樣法是從頻域出發(fā) ，對理想的頻響 進行等間隔取樣，以有限個頻響采樣去近

15、似理想頻響應。用頻率取樣法設計FIR濾波器的步驟：(1)根據所要求的濾波器類型，根據是偶數還是奇數，指定，在阻帶內，。(2)根據構成濾波器的和，并考察的指標是否滿足要求。頻率取樣法設計濾波器的最大優(yōu)點是直接從頻率域進行設計，比較直觀，也適合于設計具有任意幅度特性是濾波器，它十分適用于窄帶濾波器的設計。頻率取樣法設計的缺點是由于頻率抽樣點的分布必須符合一定規(guī)律，在規(guī)定通、阻帶截止頻率方面不夠靈活。比如當截止頻率不是整數倍數時會產生較大逼近誤差。4.IIR和FIR數字濾波器的基本結構研究4.1 IIR數字濾波器基本結構 IIR數字濾波器的基本結構是指將加法器、乘法器、延遲器等基本單元進行相應的連接

16、，以實現其系統(tǒng)函數的數學運算過程。實現IIR數字濾波器的結構主要有直接型、級聯型和并聯型三種基本結構。 直接性結構IIR數字濾波器的系統(tǒng)函數可以看作系統(tǒng)函數分別為和的兩個子系統(tǒng)的級聯，即：其中： ， 畫出兩個字系統(tǒng)的信號流圖，將其級聯后可獲得直接型信號流圖。交換兩級聯子系統(tǒng)的連接次序不影響整個系統(tǒng)的特性， 直接性結構的優(yōu)點是簡單、直觀，所使用的延時器數量少。缺點是改變某一個系數將影響所有的極點，改變某一個系數將影響所有的零點。更嚴重的是對有限字長效應太敏感，容易出現不穩(wěn)定現象和產生較大誤差。對于三階以上的IIR數字濾波器幾乎都不采用直接性結構。 級聯型結構將系統(tǒng)的分子和分母都分解為一階多項式的

17、乘積即可獲得級聯型結構，則系統(tǒng)函數可表示為：稱為濾波器二階基本環(huán)節(jié)，L表示N范圍內的某一整數。級聯型結構的一個重要優(yōu)點是存儲單元需要較少，硬件實現時，可以用一個二階環(huán)節(jié)進行時分復用。另一個特點是其每一個基本節(jié)系數變化只影響該子系統(tǒng)的零、極點，因此易于準確的實現濾波器的零、極點，也易于調整濾波器的頻率特性。4.1.3 并聯型結構將濾波器系統(tǒng)函數展成部分分式只和即獲得并聯型結構，則表達為：顯然并聯結構運算速度快，各基本環(huán)節(jié)的誤差互不影響，還可以單獨調整極點的位置，但不能像級聯型那樣直接調整零點，因為子系統(tǒng)零點不是整個系統(tǒng)的零點。4.2 FIR數字濾波器的基本結構FIR數字濾波器的基本結構主要有直接

18、型 、級聯型、和頻率取樣型。4.2.1 直接形結構M階FIR數字濾波器的系統(tǒng)函數為：由于線性相位 FIR數字濾波器的單位脈沖響應滿足，因而其系統(tǒng)函數可表示為 ， M為奇數 ， M為偶數4.2.2 級聯型結構M階FIR數字濾波器的系統(tǒng)函數H(z)是的M次多項式，若將其分解為L個二階因子相乘，即 ：級聯結構與直接型結構所需的基本運算單元數量相同，但級聯型結構可以分別控制每個子系統(tǒng)的零點，這些零點也是整個系統(tǒng)的零點，因此，當需要精確控制數字濾波器的零點的時候往往采用級聯型結構。 4.2.3 頻率取樣型結構M階頻率取樣型FIR數字濾波器的系統(tǒng)函數可表達為： 頻率取樣型一般比直接型結構復雜，所用存儲單元

19、和乘法器也比直接型多。但如果濾波器是窄帶低通或帶通，此時H(m)中許多項等于零，乘法器可以大量減少。另外，頻率取樣型結構中每一個二階系統(tǒng)結構均相同，只需調整相應的加權系數就可獲得不同的濾波特性，由此可以構成濾波器組，從而將信號的各頻率分量過濾出來，實現信號的頻譜分析。5. IIR和FIR數字濾波器比較兩種數字濾波器比較如表5.1所示。FIR濾波器IIR濾波器設計方法一般無解析的設計公式，要借助計算機程序完成利用AF的成果，可簡單、有效地完成設計設計結果可得到幅頻特性(可以多帶)和線性相位(最大優(yōu)點)只能得到幅頻特性，相頻特性未知，如需要線性相位，須用全通網絡校準，但增加濾波器階數和復雜性穩(wěn)定性

20、極點全部在原點(永遠穩(wěn)定)無穩(wěn)定性問題有穩(wěn)定性問題階數高低結構非遞歸系統(tǒng)遞歸系統(tǒng)運算誤差一般無反饋，運算誤差小有反饋，由于運算中的四舍五入會產生極限環(huán)5.2數字濾波器比較概括性總結本次課程設計首先給出了濾波的概念、分類及模擬濾波器設計，接著討論了無限沖激響應和有限沖激響應數字濾波器的各種設計方法，重點是按照頻域技術指標為依據的濾波器設計。對于無限沖激響應，介紹了沖激響應不變法、雙線性映射法、IIR濾波器的頻率變換設計法、IIR數字濾波器的直接設計法。5.2數字濾波器比較概括性總結本次課程設計首先給出了濾波的概念、分類及模擬濾波器設計，接著討論了無限沖激響應和有限沖激響應數字濾波器的各種設計方法

21、，重點是按照頻域技術指標為依據的濾波器設計。對于無限沖激響應，介紹了沖激響應不變法、雙線性映射法、IIR濾波器的頻率變換設計法、IIR數字濾波器的直接設計法。對于有限沖激響應，介紹了FIR濾波器窗函數設計法、FIR濾波器頻率采樣設計法。6設計濾波器6.1 雙線性變換濾波器的實現模擬低通濾波器用BW型低通濾波器。設系統(tǒng)的抽樣頻率為44.1kHz。所設計出的數字濾波器要能取代下列指標的模擬低通濾波器。fp=2Hz, fs=10kHz, Ap=0.5dB, As=50dB用buttap確定歸一化模擬低通濾波器。圖6.1雙線性變換濾波6.2脈沖響應變換濾波器的實現圖6.2脈沖響應濾波6.3線性濾波和脈

22、沖濾波性能比較雙線性變換最突出的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊失真，缺點是頻率響應的非線性失真。雙線性變換法的非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數型的，否則變換所產生的數字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有較大畸變。脈沖響應不變法使得數字濾波器的單位沖激響應能完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應，時域逼近良好，而且模擬角頻率和數字角頻率之間呈線性關系。該方法最大的缺點是有頻率響應的混疊效應，所以只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且阻帶衰減越快，混疊效應越小。6.4功能程序雙線性變換濾波器的實現程序%BW型帶通濾波器的指標Wp1=0.25*pi;

23、Wp2=0.45*pi;Ws1=0.15*pi;Ws2=0.55*pi;B=Wp2-Wp1;W02=Wp2*Wp1;W0=sqrt(W02);%確定原型低通濾波器的指標Wp、Ws Wp11=(Wp1*Wp1-W02)/B/Wp1;Wp22=(Wp2*Wp2-W02)/B/Wp2;Ws11=(Ws1*Ws1-W02)/B/Ws1;Ws22=(Ws2*Ws2-W02)/B/Ws2;Wp=max(abs(Wp11),abs(Wp22);Ws=min(abs(Ws11),abs(Ws22);%設置通帶最大和最小衰減 Ap=0.5; As=50; %調用butter函數確定巴特沃斯濾波器階數N,WcN,

24、Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %調用butter函數設計巴特沃斯濾波器num,den=butter(N,Wc,'s'); %繪出巴特沃斯模擬濾波器的幅頻特性曲線 W1=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf1=freqs(num,den,W1); %計算模擬濾波器的幅頻響應 subplot(2,2,1);plot(W1/pi,abs(hf1)/abs(hf1(1);grid on;title('巴特沃斯原型模擬濾波器');xlabel('頻率rad/s');ylabel(&

25、#39;幅度');%將原型低通轉為帶通濾波器numt,dent=lp2bp(num,den,W0,B); %繪出帶通濾波器的幅頻特性曲線 W1=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf2=freqs(numt,dent,W1); %計算模擬濾波器的幅頻響應 subplot(2,2,2);plot(W1/pi,abs(hf2)/abs(hf2(1);grid on;title('轉換的帶通模擬濾波器');xlabel('頻率rad/s');ylabel('幅度');%利用雙線性不變法設計數字帶通濾波器 t=1;

26、fs=10000;wpz=0.25,0.45;wsz=0.15,0.55;wp=2/t*tan(wpz/2);ws=2/t*tan(wsz/2);n,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %計算帶通濾波器階數N和3dB截止頻率wcb,a=butter(n,wc,'s'); %計算帶通濾波器系統(tǒng)函數分子分母多項式系數向量b,abz,az=bilinear(b,a,fs);nd,wdc=buttord(wpz,wsz,Ap,As);bd,adz=butter(nd,wdc);hf4=freqz(bd,adz,W1)subplot(2,2,4)pl

27、ot(W1/pi,abs(hf4)/abs(hf4(1);xlabel('頻率rad/s'); ylabel(' 幅度'); title('雙線性變換法實現圖')脈沖濾波器的實現程序%BW型帶通濾波器的指標Wp1=0.25*pi;Wp2=0.45*pi;Ws1=0.15*pi;Ws2=0.55*pi;B=Wp2-Wp1;W02=Wp2*Wp1;W0=sqrt(W02);%確定原型低通濾波器的指標Wp、Ws Wp11=(Wp1*Wp1-W02)/B/Wp1;Wp22=(Wp2*Wp2-W02)/B/Wp2;Ws11=(Ws1*Ws1-W02)/B/

28、Ws1;Ws22=(Ws2*Ws2-W02)/B/Ws2;Wp=max(abs(Wp11),abs(Wp22);Ws=min(abs(Ws11),abs(Ws22);%設置通帶最大和最小衰減 Ap=0.5; As=50; %調用butter函數確定巴特沃斯濾波器階數N,WcN,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %調用butter函數設計巴特沃斯濾波器num,den=butter(N,Wc,'s'); %繪出巴特沃斯模擬濾波器的幅頻特性曲線 W1=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段頻率值 hf1=freqs(num,den,W1); %計算模擬濾波器的幅頻響應 subplot(2,2,1);plot(W1/pi,abs(hf1)/abs(hf1(1);grid on;title('巴特沃斯原型模擬濾波器');xlabel('頻率rad/s');ylabel('幅度');%將原型低通轉為帶通濾波器numt