兩個(gè)平面平行的性質(zhì)

1、文件 sxglija 0010.doc科目 數(shù)學(xué)年級(jí) 高中章節(jié) 關(guān)鍵詞 平面平行標(biāo)題 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)內(nèi)容兩個(gè)平面平行的性質(zhì)北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué) 曹付生教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理及應(yīng)用；2.引導(dǎo)學(xué)生自己探索與研究?jī)蓚€(gè)平面平行的性質(zhì)定理，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理；難點(diǎn):兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)教師簡(jiǎn)述上節(jié)課研究的主要內(nèi)容(即兩個(gè)平面的位置關(guān)系，平面與平面平行的定義及兩個(gè)平面平行的判定定理)，并讓學(xué)生回答:(1)兩個(gè)平面平行的意義是什么?(2)平面與平面的判定定理是怎樣的?并用命題的形式寫(xiě)出

2、來(lái)?(教師板書(shū)平面與平面平行的定義及用命題形式書(shū)寫(xiě)平面與平面平行的判定定理)(目的:(1)通過(guò)學(xué)生回答，來(lái)檢查學(xué)生能否正確敘述學(xué)過(guò)的知識(shí)，正確理解平面與平面平行的判定定理.(2)板書(shū)定義及定理內(nèi)容，是為學(xué)生猜測(cè)并發(fā)現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理作準(zhǔn)備)二、引出命題(教師在對(duì)上述問(wèn)題講評(píng)之后，點(diǎn)出本節(jié)課主題并板書(shū)，平面與平面平行的性質(zhì))師:從課題中，可以看出，我們這節(jié)課研究的主要對(duì)象是什么?生:兩個(gè)平面平行能推導(dǎo)出哪些正確的結(jié)論.師:下面我們猜測(cè)一下，已知兩平面平行，能得出些什么結(jié)論.(學(xué)生議論)師:猜測(cè)是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的方法.“沒(méi)有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)展.”但猜想不是盲目的，有一些常用的

3、方法，比如可以對(duì)已有的命題增加條件，或是交換已有命題的條件和結(jié)論.也可通過(guò)類(lèi)比法即通過(guò)兩個(gè)對(duì)象類(lèi)似之處的比較而由已經(jīng)獲得的知識(shí)去引出新的猜想等來(lái)得到新的命題.(不僅要引導(dǎo)學(xué)生猜想，同時(shí)又給學(xué)生具體的猜想方法)師:前面，復(fù)習(xí)了平面與平面平行的判定定理，判定定理的結(jié)論是兩平面平行，這對(duì)我們猜想有何啟發(fā)?生:由平面與平面平行的定義，我猜想:兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行于另一個(gè)面.師:很好，把它寫(xiě)成命題形式.(教師板書(shū)并作圖，同時(shí)指出，先作猜想、再一起證明)猜想一:已知:平面，直線(xiàn)a，求證:.生:由判定定理“垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行”.我猜想:一條直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，

4、它也垂直于另一個(gè)平面.教師板書(shū)猜想二:已知:平面，直線(xiàn)l.求證:l.師:這一猜想的已知條件不僅是“”，還加上了“直線(xiàn)l”.下面請(qǐng)同學(xué)們看課本上關(guān)于判定定理“垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行”的證明.在證明過(guò)程中，“平面=a，平面=a”.a與a是什么關(guān)系?生:aa.師:若改為不是過(guò)AA的平面，而是任意一個(gè)與，都相交的平面.同學(xué)們考慮一下是否可以得到一個(gè)猜想呢?(學(xué)生討論)生:如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，也必與另一個(gè)平面相交.”教師板書(shū)猜想三:缺圖3已知:平面，平面=a，求證:與一定相交.師:怎么作這樣的猜想呢?生:我想起平面幾何中的一個(gè)結(jié)論:“一條直線(xiàn)與兩條平行線(xiàn)中的一條相交，也必與另一條

5、相交.”生:平行師:請(qǐng)同學(xué)們表達(dá)出這個(gè)命題.生:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行.教師板書(shū)猜想四:已知:平面，平面=a，=b.求證:ab.通過(guò)復(fù)習(xí)定理的證明方法，既發(fā)現(xiàn)了猜想三，猜想四，同時(shí)又復(fù)習(xí)了定理的證明方法，也為猜想四的證明，作了鋪墊師:在得到猜想三時(shí)，我們用到了類(lèi)比法，實(shí)際上，在立體幾何的研究中，將所要解決的問(wèn)題與平面幾何中的有關(guān)問(wèn)題作類(lèi)比，常常能給我們以啟示，發(fā)現(xiàn)立體幾何中的新問(wèn)題.比如:在平面幾何中，我們有這樣一條定理:“夾在兩條平行線(xiàn)間的平行線(xiàn)段相等”，請(qǐng)同學(xué)們用類(lèi)比的方法，看能否得出一個(gè)立體幾何中的猜想?生:把兩條平行線(xiàn)看作兩個(gè)平行平面，可得猜想:夾在兩

6、個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等.教師板書(shū)猜想五:已知:平面，AABB，且A，B，B，B.求證:AA=BB.該命題，在教材中是一道練習(xí)題，但也是平面與平面平行的性質(zhì)定理，為了完整體現(xiàn)平面與平面平行的性質(zhì)定理，故爾把它放在課堂上進(jìn)行分析三、證明猜想師:通過(guò)分析，我們得到了五個(gè)猜想，猜想的結(jié)論往往并不完全可靠.得到猜想，并不意謂著我們已經(jīng)得到了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，下面主要來(lái)論證我們得到的猜想是否正確.師生相互交流，共同完成猜想的論證師:猜想一是由平面與平面平行的定義得到的，因此在證明過(guò)程中要注意應(yīng)用定義.猜想一證明證明:因?yàn)?，所以 與無(wú)公共點(diǎn).又 因?yàn)?a，所以 a與無(wú)公共點(diǎn).故 a.師:利用平面

7、與平面平行的定義及線(xiàn)面平行的定義，論證了猜想一的正確性.這便是平面與平面平行的性質(zhì)定理一.簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線(xiàn)面平行.”教師探擦“猜想一”，板書(shū)“性質(zhì)定理一”論證完猜想一之后，教師與學(xué)生共同研究了“猜想二”，發(fā)現(xiàn)，若論證了“猜想四”的正確性質(zhì)，“猜想二”就容易證了.因而首先討論“猜想三，猜想四”師:“猜想三”是類(lèi)比平面幾何中的結(jié)論得到的，還記得初中時(shí)，是怎么證明的?學(xué)生回答:反證法師:那么，大家可否類(lèi)比初中的證明方法來(lái)證明“猜想三”呢?生:用反證法:假設(shè)與不相交，則.這樣過(guò)直線(xiàn)a有兩個(gè)平面和與平行.與“過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行”矛盾.故與相交.師:很好.由此可知:不只是發(fā)

8、現(xiàn)問(wèn)題時(shí)可用類(lèi)比法，就是證明方法也可用類(lèi)比方法.不過(guò)猜想三，雖已證明為正確的命題，但教材中并把它作為平面與平面平行的性質(zhì)定理，大家在今后應(yīng)用中要注意.猜想四的證明師:猜想四要證明的是直線(xiàn)ab，顯然a,b共面于平面，只需推導(dǎo)出a與b無(wú)公共點(diǎn)即可.生:(證法一)因?yàn)?a，所以 a與無(wú)公共點(diǎn)，又因?yàn)?a，b.所以 a與b無(wú)公共點(diǎn).又因?yàn)?a，b，所以 ab.師:我們來(lái)探討其它的證明方法.要證線(xiàn)線(xiàn)平行，可以轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行.生:(證法二)因?yàn)?a，又因?yàn)?，所以 a.又因?yàn)?a，且=b，所以 ab.師:用兩種不同證法得出了“猜想四”是正確的.這是平面和平面平行的性質(zhì)定理二.教師擦掉“猜想四”，板書(shū)“性質(zhì)

9、定理二”師:平面與平面平行的性質(zhì)定理二給出了在兩個(gè)平行平面內(nèi)找一對(duì)平行線(xiàn)的方法.即:“作一平面，交兩面，得交線(xiàn)，則線(xiàn)線(xiàn)平行.”同時(shí)也給我們證明兩條直線(xiàn)平行的又一方法.簡(jiǎn)言之，“面面平行，則線(xiàn)線(xiàn)平行”.猜想二的證明師:猜想二要證明的是直線(xiàn)l，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，就要證明l和平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直.那么如何在平面內(nèi)作兩條相交直線(xiàn)呢?引導(dǎo)學(xué)生回憶:“垂直于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行”的定理的證明生:(證法一)設(shè)l=A，l=B.過(guò)AB作平面=a,=a.因?yàn)?，所以 aa.再過(guò)AB作平面=b,=b.同理bb.又因?yàn)?l，所以 la，lb,所以 la,lb,又ab=，故l.師:要證明l，根據(jù)線(xiàn)面垂直的定

10、義，就是要證明l和平面內(nèi)任何一條直線(xiàn)垂直.生:(證法二)在內(nèi)任取一條直線(xiàn)b,經(jīng)過(guò)b作一平面，使=a，因?yàn)?，所以ab,因此 l，a，故 la，所以 lb.又因?yàn)閎為內(nèi)任意一條直線(xiàn)，所以 l.教師擦掉“猜想二”，板書(shū)“性質(zhì)定理三”猜想五的證明證明:因?yàn)?AABB，所以過(guò)AA，BB有一個(gè)平面，且=AB，=AB.因?yàn)?，所以 ABAB，因此 AABB為平行四邊形.故 AA=BB.教師擦掉“猜想五”，板書(shū)“性質(zhì)定理四”師:性質(zhì)定理四，是類(lèi)比兩條平行線(xiàn)的性質(zhì)得到的.平行線(xiàn)的性質(zhì)有許多，大家還能類(lèi)比得出哪些有關(guān)平行平面的猜想呢?你能證明嗎?請(qǐng)大家課下思考.因類(lèi)比法是重要的方法，但平行性質(zhì)定理已得出，故留作

11、課下思考四、定理應(yīng)用師:以上我們通過(guò)探索猜想論證，得出了平面與平面平行的四個(gè)性質(zhì)定理，下面來(lái)作簡(jiǎn)單的應(yīng)用.例 已知平面，AB，CD為夾在，間的異面線(xiàn)段，E、F分別為AB，CD的中點(diǎn).求證: EF，EF.師:要證EF，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理，就是要在內(nèi)找一條直線(xiàn)與EF平行.證法一:連接AF并延長(zhǎng)交于G.因?yàn)?AGCD=F所以 AG，CD確定平面，且=AC,=DG.因?yàn)?，所以 ACDG，所以 ACF=GDF,又 AFC=DFG,CF=DF,所以 ACFDFG.所以 AF=FG.又 AE=BE，所以 EFBG，BG.故 EF.同理:EF.師:要證明EF，只須過(guò)EF作一平面，使該平面與平行，則

12、根據(jù)平面與平面平行性質(zhì)定理即可證.證法二:因?yàn)锳B與CD為異面直線(xiàn)，所以ACD.在A，CD確定的平面內(nèi)過(guò)A作AGCD，交于G，取AG中點(diǎn)H，連結(jié)AC，HF.因?yàn)?所以 ACDGEF.因?yàn)?DG，所以 HF.又因?yàn)?E為AB的中點(diǎn)，因此 EHBG，所以 EH.又EHFH=H,因此 平面EFH，EF平面EFH，所以 EF.同理，EF.師:從以上兩種證明方法可以看出，雖然是解決立體幾何問(wèn)題，但都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題來(lái)解決的.這是解決立體幾何問(wèn)題的一種技能，只是依據(jù)的不同，轉(zhuǎn)化的方式也不同.五、平行平面間的距離師:和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn)，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)，它夾在這兩個(gè)平行平面間的

13、部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段.兩個(gè)平行平面有幾條公垂線(xiàn)?這些公垂線(xiàn)的位置關(guān)系是什么?生:兩個(gè)平行平面有無(wú)數(shù)條公垂線(xiàn)，它們都是平行直線(xiàn).師:夾在兩平行平面之間的公垂線(xiàn)段有什么數(shù)量關(guān)系?根據(jù)是什么?生:相等，根據(jù)“夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等.”六、小結(jié)1.由學(xué)生用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言來(lái)敘述兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.教師總結(jié)本節(jié)課是由發(fā)現(xiàn)與論證兩個(gè)過(guò)程組成的.簡(jiǎn)單的說(shuō)就是:由具體問(wèn)題具體素材用類(lèi)比等方法猜想命題，并由轉(zhuǎn)化等方法論證猜想的正確性，得到結(jié)論.2.在應(yīng)用定理解決立體幾何問(wèn)題時(shí)，要注意轉(zhuǎn)化為平面圖形的問(wèn)題來(lái)處理.大家在今后學(xué)習(xí)中一定要注意掌握這一基本技能.3.線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行與面面

14、平行的判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系.在學(xué)習(xí)中應(yīng)發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的科學(xué)規(guī)律:低一級(jí)位置關(guān)系判定著高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系一定能推導(dǎo)低一級(jí)位置關(guān)系.下面以三種位置關(guān)系為綱應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想整理如下:七、布置作業(yè)課本:p.38，習(xí)題五5，6，7，8.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明在設(shè)計(jì)本教案時(shí)，充分考慮到教學(xué)研究活動(dòng)是由發(fā)現(xiàn)與論證這樣兩個(gè)過(guò)程組成的.因而把“如何引出命題”和“如何猜想”作為本節(jié)課的重要活動(dòng)內(nèi)容.在教師的啟發(fā)下，讓學(xué)生利用具體問(wèn)題；運(yùn)用具體素材，通過(guò)類(lèi)比等具體方法，發(fā)現(xiàn)命題，完成猜想.然后在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生一一完成對(duì)猜想的證明，得到兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.也就在這一“探索”、“發(fā)現(xiàn)”、“論證”的過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.在實(shí)施過(guò)程中，讓學(xué)生處在主體地位，教師始終處于引導(dǎo)者的位置.特別是在用類(lèi)比法發(fā)現(xiàn)猜想時(shí)，學(xué)生根據(jù)兩條平行線(xiàn)的性質(zhì)類(lèi)比得出許多猜想.比如:根據(jù)“平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行”得到“平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.”根據(jù)“兩條直線(xiàn)平行，同位角相等”等，得到“與兩個(gè)平行平面都相交的直線(xiàn)與兩個(gè)平面所成的