力學(xué)#形心與靜矩

1、B.1 截面的形心和靜矩 Centroid and static moment of section在桿件的應(yīng)力和變形公式中，遇到一些幾何量，例如面積、靜矩、形心位置、極慣性矩和軸慣性矩 等，這些量只與構(gòu)件的橫截面形狀和尺寸有關(guān)，而與構(gòu)件的受力無關(guān)，稱它們?yōu)榻孛娴膸缀涡再|(zhì)截面幾何性質(zhì)的計算在分析桿的強度和剛度時非常重要，首先應(yīng)明確截面幾何性質(zhì)的定義，并熟練 地掌握其計算方法。1.形心與靜矩圖示任一截面，選任一參考坐標(biāo)系 yoz，設(shè)截面形心C的坐標(biāo)為yc和zc，取微截面積dA,由合力矩定理可知，均質(zhì)厚度薄板中面的形心、或該板的重心在 yoz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(B.1-1)式中:軸和y軸的靜矩。由公

2、式（B.1-1 ）可知，當(dāng)y軸和z軸通過截圖 B.1-1面形心時（即yc=Zc=0），貝U s=sy=o；反之，當(dāng)靜矩Sz=0時，說明z軸通過截面形心；而當(dāng)靜矩Sy=0時，說明y軸通過截面形 心。此概念在確定梁的中性軸時十分有用2.組合截面的形心與靜矩(al在工程實際中，經(jīng)常遇到形狀較為復(fù)雜的截面，它們由若干簡單截面或標(biāo)準(zhǔn)型材組合而成， 稱為組合截面（圖B.1-2）當(dāng)確定它們的形心時，可將其分割成 n個部分，形心坐標(biāo)為(B.1-2)式中A為分割后的各面積，yi和zi為A的形心在參考系中的坐 標(biāo)。圖 B.1-2(B.2-1)式中' L _ ；1，稱為組合截面的靜矩。B.2 極慣性矩 Po

3、lar momet of inertia1.定義任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在矢徑為打處取一微面積dA,定義截面對原點0的極慣性矩為極慣性矩的量綱為長度的4次方（m冷，它恒為正圖 B.2-12.圓截面的極慣性矩圖示圓截面，取微面積為一薄壁環(huán)，即-.心（圖B.2-2），讀者自行證明實心圓、空心圓和薄壁圓截面（圖 B.2-3 ）的極慣性矩分別為:圖 B.2-2(B.2-2)(B.2-3)(B.2-4)式中八丄,d空心圓內(nèi)徑,D空心圓外徑，R0薄壁圓平均半徑。圖 B.2-3B.3 軸慣性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis The

4、ory1.定義任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在坐標(biāo)為（y, z） 處取一微面積dA,定義截面對z和y軸的慣性矩為其量綱為長度的四次方（mm），恒為正圖 B.3-12.簡單截面的軸慣性矩(B.3-1)由于1：'，于是得出極慣性矩和軸慣性矩之間的關(guān)系為匚=+才）必=人+厶（B.3-2）A?矩形：如圖所示高為h,寬為b的矩形，計算矩形截面對形心 軸z和y的慣性矩。取dA=bdy,則h'24如即斶=巻（B.3-3）圖 B.3-2?圓形：如計算圓截面對形心軸7 = 7 + /y和z的慣性矩可借助公式（B.3-2）:-;對于圓截面:于是，實心圓、空心圓、薄壁圓截面的軸慣性矩分別為

5、(B.3-4)(B.3-5)式中一丄，d空心圓內(nèi)徑,D空心圓外徑,R0薄壁圓平均半徑。(B.3-6 )3.平行軸間慣性矩的移軸公式對簡單截面而言，它們對自身形心軸的慣性矩很容易計算，如矩形、圓形、三角形等，并有現(xiàn)成表格可查附錄C本節(jié)研究截面對任一根與形心軸平行之軸的慣性矩。如圖B.3-3所示，設(shè)y。、zo為截面的一對形心軸，如果截面對形心軸的慣性矩為和I，則截面對任一平行于它的軸y和z的慣性矩為：(B.3-7)上式稱為慣性軸的 移軸公式或稱平行軸定理 (Parallel axis theorem )。式中A為截面面積，a和b分別為坐標(biāo)軸y°和y以及Z0和z之間的垂直距離。證明如下：

6、I根據(jù)面積對z軸的慣性矩的定義， 曲圖B.3-3中微面積dA距z軸的垂直距離為y=y0+b，代入上式，得=11仏十硏曲二丄®1* +2皿+/)曲=汛A4十丁問+期式中L計=匚，故：十血，同理得心譏+曲如為組合截面，則上式表示為圖 B.3-3(B.3-8)讀者自行計算下圖各截面對z軸的靜矩和慣性矩:Th-2hlfa)4.例題試計算三角形截面對形心軸(h)12圖 B.3-4z的慣性矩。解:三角形形心位于距底邊1/3h處，取八 二，式中1由如下比例式求出:<2，得，于是36圖 B.3-5丿為圖 B.3-6圖 B.3-7B.4 慣性積 Product of inertia1.定義o 7

7、任意形狀的截面如圖所示，設(shè)其面積為 A,在坐標(biāo)為（y，z）處取一微面積dA,定義截面對z和y軸的慣性積為(B.4-1)顯然，慣性積根據(jù)截面在坐標(biāo)系的不同象限有正負(fù)之別，其量綱圖 B.4-1是長度的四次方（mm:VV3TT b當(dāng)坐標(biāo)軸之一為截面的對稱軸時，慣性積 Iyz=0圖 B.4-22慣性積的移軸公式慣性積和慣性矩一樣（圖B.4-3），同樣可以推導(dǎo)出它的移軸公式:(B.4-2)式中九一為截面對形心軸丫之。的慣性矩，a和b分別為坐標(biāo)軸yo 和y以及zo和z之間的垂直距離。如為組合截面，則上式表示為圖 B.4-3f用=£匚站o十屜對（B.4-3）i=l3.例題試計算圖B.4-4所示截面

8、對y、z軸的慣性矩。Q I §0 t50解：y或zo均為對稱軸，故J 二扎 +£血二 CHx5Qx60- n08xl04圖 B.4-4試求上節(jié)圖B.3-9所示截面對形心軸y、z軸的慣性積。解：形心 C的坐標(biāo)已知yc=44.57mm Zc=14.57mm圖 B.4-5將截面分割為兩個矩形，它們的形心分別為C和C2,通過形 心C和G且與y和z相平行之軸為兩個矩形的對稱的對稱軸，故_ 120_ _12第一個矩形："-，'1：，-，-_ _12第二個矩形：；，【；，；'代入公式，得：=2j (Aw + Aah -弓滅 + AA 斗占典斗 a2b2;-i=0

9、+1440 次 1 工43 乂 8L57 + 0+刃6 乂 38.57 乂 21.43 = 66.65- 1 呦4B.5 轉(zhuǎn)軸公式 Transformation equation1.轉(zhuǎn)軸公式圖示任意截面，假設(shè)該截面對任意軸 y1和乙的慣性矩和慣性積分別為、和；，本節(jié)研究當(dāng)坐標(biāo)軸逆時針旋轉(zhuǎn)角之后，截面對新坐標(biāo)軸y與z的慣性矩Iy與Iz以及慣性積lyz。步驟如下：?先求出兩個坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系，由圖B.5-1可以看出,任一點K處的兩個坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系為y 三 4 + 盤b 三cos >3 + si.ii 8z = erf = cossin g?代入慣性矩和慣性積的定義式中，得嚴(yán)二 Jy

10、dA J (尹】ccs R 十左J win 匕亡as Bsin 必圖 B.5-1于是，得:同理，得:L -L?=卩站sin 2+ A匚os加陰2J円/十 4- 41=川11 十沖£|小 2&/22曲厶十比- 11= J,31 川遜匚企甜十匚sin2（9522呵=匚4-A(B.5-1)(B.5-2)(B.5-3)AA以上三式稱為轉(zhuǎn)軸公式。將（B.5-2 ）與（B.5-3 ）相加，得出:4 + =(B.5-4)由上式可知，截面對于通過同一點的任一對坐標(biāo)軸的兩個慣性矩之和恒為常數(shù)當(dāng)H半時，*'/-I，表明當(dāng)坐標(biāo)由推論1由公式（B.5-1 ）可知，當(dāng)日=°"

11、;時，4 ='呵旋轉(zhuǎn)至貯二- 時，必有一處尸推論2 |對于通過同一點的所有坐標(biāo)系中， 一定存在一對特殊的坐標(biāo)系，截面對其中一軸的慣性矩最大, 而對另一軸的慣性矩最小。2.主軸與主慣性矩定義:慣性矩'匹_ °的軸稱為主軸(Principal axis)，對主軸 的慣性矩稱為主慣性矩(Principal moment of inertia)設(shè)主軸方位角為.“，令式(B.5-1 )等于零,得:21>i(B.5-5)上式即可確定主軸的方位。(B.5-3 )，得主慣性矩：22目啓*+ lx K IE一%B.5-6 )用極值條件丿，求得的之與公式(B.5-5 )相同。證明了在上述的 兩個主慣性矩中，一個為最大值，另一個為最小值。聯(lián)合式(B.5-6 )、( B.5-7 )和(B.5-5 )，可