七年級數(shù)學上冊《絕對值》競賽講義 （新版）蘇科版

1、絕對值【圖解考點】【技法透析】1絕對值的基本性質(zhì)在含有絕對值式子的運算及變形中，絕對值的性質(zhì)有很重要的作用，其主要性質(zhì)有：若a、b為有理數(shù)，則：(1)非負性：0；若0，則ab0；(2)若，則a±b；(3)；（b0）；特別關(guān)注：若干個非負數(shù)之和為0，則這幾個非負數(shù)必須同時為0，即：0，則abn02去絕對值符號的方法 去掉絕對值符號是絕對值化簡的關(guān)鍵，而絕對值符號內(nèi)的數(shù)（或式）的正負性的判斷是化簡的關(guān)鍵，在實際運用中常見的去絕對值符號的方法有： (1)由已知條件去絕對值 (2)從數(shù)軸上“讀取”相關(guān)信息，運用數(shù)形結(jié)合去絕對值 (3)運用“零點分段法”分類討論去絕對值，特別關(guān)注：對于多個絕對

2、值問題，其解題思路為：求零點、分區(qū)間、定性質(zhì)、去符號，即令各絕對值代數(shù)式為零，得若干個絕對值為零的點，這些點把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，再在各區(qū)間內(nèi)化簡求值即可3絕對值方程 (1)最簡單的絕對值方程為a，它的解法情況如下： 當a>0時，方程有兩解：xa或xa， 當a0時，方程有一解：x0， 當a<0時，方程無解 (2)解絕對值方程的一般步驟 求出各個零界點 根據(jù)未知數(shù)的取值范圍分類討論 去絕對值符號，化為一般方程求解，在轉(zhuǎn)化過程中，經(jīng)常荽用到分類討論，數(shù)形結(jié)合等方法在解題過程中，要充分利用絕對值的意義和性質(zhì)，善于觀察，發(fā)掘題目中的隱含條件，從而簡化解題過程特別關(guān)注：對于解絕對值方程，零點

3、分段法是一種非常重要的方法4絕對值的幾何意義在生活中的應(yīng)用 在實際生活中經(jīng)常要通過借助數(shù)軸模型使復雜的數(shù)量關(guān)系形象化，簡單化，同時又使實際問題數(shù)學化，從而運用絕對倌的幾何定義求解一般地，設(shè)a1，a2，a3，an是數(shù)軸上依次排列的點表示的有理數(shù)，對于，則： (1)當n為奇數(shù)時，此式在x時取最小值； (2)當n為偶數(shù)時，此式在x時取最小值【名題精講】賽點1絕對值的化簡例1 _ 【切題技巧】脫去絕對值符號是絕對值化簡的切入點，而對絕對值符號中的正負性的判斷是化簡的關(guān)鍵，本例若直接化簡會很繁鎖，應(yīng)從的性質(zhì)入手，由題中條件可知，每一絕對值符號內(nèi)均為負數(shù)，于是有當a<0時a【規(guī)范解答】原式= 【借題

4、發(fā)揮】絕對值化簡關(guān)鍵是要去掉絕對值符號，而要去掉絕對值符號，先要對絕對值符號中的數(shù)（或式）的正負性進行判斷去掉絕對值符號有三種方法，本例可以由已知條件直接判斷各個絕對值符號內(nèi)均為負數(shù)，于是可以利用1a1的性質(zhì)順利達到去掉絕對值符號的目的 【同類拓展】1有理數(shù)a，b的大小關(guān)系如圖，則的值是( D ) A0 B1 C2 D3賽點2絕對值的分類討論例2 若abc<0，abc>0，且x，試求代數(shù)式(12x)20162016 x2016的值 【切題技巧】解決本題的關(guān)鍵是對a、b、c的符號的所有可能情況進行分類討論，由abc<0可知a、b、c中有一個或三個全為負數(shù)，又由abc>0知

5、a、b、c不可能全為負數(shù)，所以a、b、c中有一個負數(shù)，兩個正數(shù)【規(guī)范解答】由abc<0，可知a、b、c中有一個負數(shù)或三個全為負數(shù)，又由abc>0知a、b、c不可能全為負數(shù)，所以可得a、b、c中有一個負數(shù)，兩個正數(shù)，依x的輪換性，不妨設(shè)a>0、b>0、c<0則：所以原代數(shù)式的值為：(12×1)20162016×120161201620161 【借題發(fā)揮】解含絕對值符號的化簡求值題的關(guān)鍵，在于善于運用已知條件去掉絕對值符號，而用分類討論法是能達到去掉絕對值符號的常用方法在分類討論時，分類要全面、準確、不失一般性【同類拓展】已知有理數(shù)x，y，z滿足x

6、y<0，yz>0，且3，2，求xyz的值 2 賽點3 求的最小值 【規(guī)范解答】由絕對值的幾何意義知1xa1在數(shù)軸上表示數(shù)x與數(shù)a兩點之間的距離，故求原式的最小值就是在數(shù)軸上找出表示x的點，使它到1，2，3，2015，2016的點的距離和最小【規(guī)范解答】由絕對值的幾何意義可知：求原式的最小值，就是在數(shù)軸上找出表示x的點，使它到1，2，3，2016的點的距離之和最小， 可看出當1008x1009時，原式的值最小，把x1008代入原式中得：原式=1007+1006+1005+1+0+1+2+3+1008=2（1+2+3+1007）+1008【借題發(fā)揮】(1)由絕對值的幾何意義可知如圖當a

7、xb時，的值最小，如圖當xb時，的值最小 (2)一般地，設(shè)a1，a2，a3an是數(shù)軸上依次排列的點表示的有理數(shù)，若n為奇數(shù)，則當x時，的值最?。蝗鬾為偶數(shù)，則當ax時， 的值最小 (3)在實際牛活中，有時需借助數(shù)軸模型，使實際問題數(shù)學化，從而運用絕對值的幾何定義解決問題 如某公共汽車運營線路AB段上有A、B、C、D四個汽車站，如圖所示，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M，為了使加油站選址合理，要求A、B、C、D四個汽車站到加油站M的路程總和最小，試分析加油站M在何處最好？求最小路程總和，即求M到A、B、C、D的距離和最小，不妨設(shè)A、B、C、D四點在數(shù)軸上且分別表示為數(shù)a，b，c，d(a<c

8、<d<b)，點M表示的數(shù)為工，則點M到A、B、C、D四點距離和為由絕對值幾何定義可求解【同類拓展】3某城鎮(zhèn)，沿環(huán)形路上依次排列有五所小學，它們順次有電腦15臺、7臺、11臺、3臺、14臺，為使各學校里電腦數(shù)相同，允許一些小學向相鄰小學調(diào)出電腦，問怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺數(shù)最少？并求出調(diào)出電腦的最少總臺數(shù)一小向二小調(diào)3臺，三小向四小調(diào)出1臺，五小向四小調(diào)出6臺，一小向五小調(diào)出2臺，這樣調(diào)出的電腦總數(shù)最小數(shù)目為12臺賽點4絕對值方程 例4 解方程【規(guī)范解答】解含絕對值符號的方程的關(guān)鍵是去絕對值符號，這可采用“零點分段法”，即令x20，2x10，分別得到x2，x用2，將數(shù)軸分成三段：【規(guī)范解答】 【借題發(fā)揮】