拱橋聯(lián)合作用的簡(jiǎn)化計(jì)算

1、拱橋聯(lián)合作用的簡(jiǎn)化計(jì)算省拱橋研究報(bào)告之四、五湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計(jì)院拱橋研究小組（上官興執(zhí)筆）為了充分挖掘拱橋的潛力，應(yīng)考慮拱上構(gòu)造與主拱圈的聯(lián)合作用。在學(xué)習(xí)湖南大學(xué)和部交研院等單位關(guān)于“聯(lián)合作用”方面的研究成果基礎(chǔ)上（資料14），1978年資料5提出“拱橋聯(lián)合作用的簡(jiǎn)化計(jì)算法”。幾年來，在漣源、懷化、湘西等地區(qū)和新化、辰溪、桑植、鳳凰等縣交通部門的大力支持下，先后在60余座石肋雙曲拱橋和石砌版肋拱橋中進(jìn)行了試用，取得了良好效果。為了鑒定該方法的可靠性，我院和各地建橋指揮部，在省交通科研究所幫助下進(jìn)行了六座橋梁的靜載實(shí)驗(yàn)（資料8。實(shí)驗(yàn)表明“聯(lián)合作用簡(jiǎn)化計(jì)算法”基本符合實(shí)際，可以在工程上適用。本

2、文在總結(jié)這些試驗(yàn)成果的基礎(chǔ)上，又進(jìn)行了必要的修改補(bǔ)充，現(xiàn)整理提請(qǐng)討論，供研究參考。本方法的特點(diǎn)是抓位腹拱是聯(lián)合作用的主導(dǎo)，提出簡(jiǎn)化的計(jì)算圖式，用位移法簡(jiǎn)捷求解腹拱抗力，再將腹拱抗力反作用在主拱圈上。這樣“聯(lián)合作用”這個(gè)高層次超靜定問題,迎刃而解。由于用手算一天能得到結(jié)果,這為拱橋設(shè)計(jì)計(jì)算中考慮“聯(lián)合作用”這個(gè)有利的因素，找到了一條捷徑的路。本文與一般方法不同還在于，用這套公式能便捷地進(jìn)行多孔連拱和平鉸拱的聯(lián)合作用的計(jì)算?？傻玫诫p鉸、無鉸、平鉸三種圖式的結(jié)果比較。應(yīng)當(dāng)指出，簡(jiǎn)化方法本身就是一種定性為主，在量方面能滿足工程精度的近似解。目前，還有一定的現(xiàn)實(shí)意義。由于實(shí)踐的局限性和水平所限，文中的錯(cuò)

3、誤歡迎批評(píng)指正。一、計(jì)算圖式眾所周知，國內(nèi)外對(duì)梁式拱上結(jié)構(gòu)與主拱圈的聯(lián)合作用問題，已有定論（如資料67）經(jīng)濟(jì)價(jià)值不大，不予考慮。然而我國廣泛使用的是拱式拱上結(jié)構(gòu)，腹拱采用圬工三平鉸構(gòu)造，至今尚未有一套成熟的接近實(shí)際結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法。但是巨大的聯(lián)合作用客觀存在的事實(shí)已得到一致的公認(rèn)。曾統(tǒng)計(jì)了國內(nèi)十多座靜、動(dòng)載實(shí)驗(yàn)資料，對(duì)控制設(shè)計(jì)的拱趾截面負(fù)彎矩，在考慮聯(lián)合作用的彎矩拆減值可達(dá)0.40.6（與裸拱比較）。在1972年“橋規(guī)草案”中采納了這些實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提出了對(duì)拱趾活載彎矩乘以0.7的拆減系數(shù)建議。我省長(zhǎng)沙湘江大橋（9-50m+8-76m）設(shè)計(jì)中曾予彩霞，取得了良好的經(jīng)濟(jì)效果。但如何在設(shè)計(jì)中將聯(lián)合作用這

4、有利因素反映出來，就要有一套相應(yīng)的通用計(jì)算方法，一個(gè)符合客觀的簡(jiǎn)明的計(jì)算圖式。下面就我們目前常用的圬工拱上建筑，設(shè)有（平鉸）平縫結(jié)構(gòu)的腹拱型式的聯(lián)合作用計(jì)算圖式，進(jìn)行討論分析。（一）現(xiàn)有方法的圖式（一）四次超靜定結(jié)構(gòu)：資料2經(jīng)過詳細(xì)結(jié)構(gòu)分析，指出腹拱推力X4為未知數(shù)的四次靜定結(jié)構(gòu)可以基本功上且偏安全反映拱上結(jié)構(gòu)對(duì)拱趾截面的影響，如圖1考慮到平鉸腹拱不能承受拉力的特性，在不對(duì)稱荷載作用下還可以近似只計(jì)和荷載P相對(duì)的一側(cè)受壓腹拱推力X4為贅余力，此時(shí)腹拱受壓按無鉸拱計(jì)算。資料5按照這個(gè)假定，推出了具體的計(jì)算方法計(jì)算圖表。該圖式的特點(diǎn)是忽略了立墻的抗推剛度，使結(jié)構(gòu)予以簡(jiǎn)化，能手算求解。（二）高次超靜

5、定結(jié)構(gòu)資料34經(jīng)模型核驗(yàn)后同樣得出，腹拱推力是拱式拱上建筑聯(lián)合作用的主要支柱，為了更精確地說明聯(lián)合作用各因素，經(jīng)電算分析提出圖2的高次靜定結(jié)構(gòu)圖式，取邊腹拱為雙鉸拱其余為單鉸拱，考慮立墻的剛度。該方法較復(fù)雜，故用電算制成表格，便可計(jì)算單個(gè)主拱（四個(gè)腹拱）的拱頂、拱趾、L/4三個(gè)截面的聯(lián)合作用彎矩折減系數(shù)。經(jīng)比較，圖1和圖2兩種圖式計(jì)算結(jié)果相近，其原因是圖1的立墻剛度末計(jì)，但腹拱剛度按無鉸計(jì)（或變截面單鉸拱計(jì)）比圖2的腹拱按單鉸拱+雙鉸計(jì)大，這樣補(bǔ)償了圖2的立墻剛度。由此可見，拱上聯(lián)合作用可以用不同的圖式反映，得到大致相同的結(jié)果。（三）簡(jiǎn)化法計(jì)算圖式經(jīng)六座橋梁的現(xiàn)場(chǎng)靜載試驗(yàn)資料分析，我們進(jìn)一步認(rèn)

6、識(shí)到聯(lián)合作用隨荷載P位置不同而不同。因此，在圖1的基礎(chǔ)上還必須補(bǔ)充一些假定，才能使簡(jiǎn)化的圖式與實(shí)際情況更接近。1、P在拱左側(cè)時(shí)，主拱圈發(fā)生以側(cè)移為主的變位，如圖3，使右側(cè)腹拱壓縮，由腹拱抗推剛度K+而產(chǎn)生了推力Q和腹拱拱趾彎矩WQ。假定主拱和腹拱相交于L/3截面即7.5#7#截面抗力Q的大小則與8#截面在P作用下水平位移P和主、腹拱在L/3截面上的抗推剛度比值大小有關(guān)，該圖式的特點(diǎn)是用一根水平桿來等代多孔腹拱的剛度，因此只要經(jīng)等代換算后，就相當(dāng)能考慮多孔聯(lián)合作用?？紤]了WQ主要是能使拱頂和右拱趾的彎矩更確實(shí)一些，但對(duì)左拱趾和荷載P下的截面彎左影響不大，故如果計(jì)算左拱趾M和荷載P點(diǎn)下M也可將W忽

7、略不計(jì)。2、P在拱頂實(shí)腹段（8#81#截面之間）如圖4。對(duì)稱荷載作用下，拱圈撓度以上下彎化為主。在上翹處使立墻受壓，并傳遞到腹拱趾，由腹拱的垂直剛度而產(chǎn)生腹拱趾的垂直抗力R，R值大小與荷載作用下立墻處撓度 fp和主、腹拱的垂直剛度比值大小有關(guān)。該圖式的特點(diǎn)是腹拱垂直剛度C+大小只決定于主、腹找的幾何物理特性，與主孔孔數(shù)無關(guān)。（二）簡(jiǎn)化計(jì)算的假定在上面聯(lián)合作用的綜合圖式中，采用了若干簡(jiǎn)化計(jì)算的假定，現(xiàn)分別論證、分析。（一）立墻的計(jì)算圖式1、由資料5推導(dǎo)可知，“沒有橋墩”實(shí)際上是剛度小可忽略的橋墩的m孔腹拱，在m端作用水平推力H時(shí)，各孔的推力均相同，因此各孔的相對(duì)水平位移也相同，但累計(jì)在m端的水平

8、位移值m=m1，如圖5，如果m=4孔時(shí)，則有4=44關(guān)系。在資料810中量測(cè)了橋臺(tái)上高立墻頂?shù)乃轿灰?和主腹拱相交的第四孔拱端水平位移4的關(guān)系如表1。由表可見有80%接近上述假定。（橋墩剛度K=0）。因而能推斷4=41。由此反證，拱上立墻的抗推剛度K墻+相對(duì)腹拱K墻而言可以忽略不計(jì)，即在聯(lián)合作用中可以假定立墻兩端為鉸結(jié)。2、在資料976米雙曲拱模型試驗(yàn)指出，計(jì)算拱上立墻（柱）的抗推剛度必須考慮主拱圈彈性變形的影響，如圖6。墻頂水平位移=1+2+3，式中1=Hh3/(3EJ)。此值系立墻在水平力H作用下的墻頂水平位稱量。1是主拱圈A在水平力H和相應(yīng)的垂直力V作用下，所產(chǎn)生的水平位移。2與主拱圈

9、L/（EJ）和立墻部位有關(guān)，當(dāng)立墻在L/4附近時(shí)（如表1中3#墻）2值很大。拱上腹拱趾的位移（mm）表1重量荷載位置計(jì)算4=44實(shí)測(cè)44/4實(shí)測(cè)142.15#80T0.120.480.5587%4.77#110T0.301.201.4881%12#110T0.110.440.4598%示意圖3=h2是由于主拱圈A在H、V作用下所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角所引起的B點(diǎn)水平位稱。對(duì)于高立墻（如表1中2#墻）3值很大。立墻考慮主拱圈彈性位移后的抗推剛度應(yīng)按K墻=H/(1+2+3)與僅考慮立墻本身的剛度K0=1/1相較，可下降5080%，以致與腹拱剛度K腹相比，可以近似忽略不計(jì)。例如資料5，說明在76米拱跨中,K墻=

10、0.02K腹。3、由上分析，可見無論從實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算方面都可說明在聯(lián)合作用計(jì)算中，可近似取產(chǎn)墻為兩端鉸結(jié)的圖式，能傳遞垂直力而不傳遞水平力，這為簡(jiǎn)化計(jì)算提供了方便。（二）腹拱上的荷載產(chǎn)生的推力HP的處理。荷載P在腹拱上產(chǎn)生垂直反力V和推力HP、垂直力V通過立墻傳遞至主拱圈，產(chǎn)生以撓度為主的變形（圖3、4）它受到腹拱的抗推剛度K+和垂直剛度C+的約束。而水平推力HP在L/3截面附近作用在主拱圈上，使主拱圈產(chǎn)生水平方向的變位，這時(shí)整個(gè)橋面系的欄桿、緣石、填料、路面和側(cè)墻都受到壓縮，顯然形成一道強(qiáng)勁的水平剛性約束、K面，其絕對(duì)值遠(yuǎn)大于主拱圈的抗推剛度K主、按剛度分配的原理，可以認(rèn)為腹拱的活載推力HP

11、絕大部份可沿橋面系和腹拱一直傳遞以兩岸橋臺(tái)上，這樣在聯(lián)合作用計(jì)算中可以近似假定HP不作用在主拱圈上，不使主拱圈產(chǎn)生變形。如圖7所示，聯(lián)合作用計(jì)算圖式中，變相當(dāng)荷載P直接作用在主拱圈上。（精確應(yīng)為，是垂直反力V在立墻位置傳遞到主拱圈上。）（三）主拱圈的變形約束主拱圈裸拱在荷載P作用下，產(chǎn)生變形。如：撓度f、水平位移和轉(zhuǎn)角，在資料8中的幾座橋梁現(xiàn)場(chǎng)量測(cè)中觀察到以撓度值f最大，并有明顯的規(guī)律性，水平位次之，而轉(zhuǎn)角甚小。實(shí)測(cè)f、明顯地小于裸拱的理論值。此現(xiàn)象表明：裸拱圈的變形受到腹拱、立墻、側(cè)墻和橋面系的約束。特別是橋面系和腹拱對(duì)水平位移的約束，能使之減少5070%。這些都表明拱上構(gòu)造參與主拱圈一起共

12、同受力。與主拱圈相聯(lián)的任何種拱上構(gòu)造，理論上每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有三種約束（垂直、水平、轉(zhuǎn)動(dòng)）。這樣，一座單孔的拱橋就有20種以上約束了。要用簡(jiǎn)單明確概念來綜合說明這樣多的約束總效果，就必須通過現(xiàn)場(chǎng)實(shí)橋的荷載試驗(yàn)，抓住主要矛盾，舍除次要的因素，才能作出簡(jiǎn)化計(jì)算圖式的假定。這些假定本身帶有一定的近似性，有些還沒有找到論證，但是只要在宏觀上，能滿足工程的精度要求，就可以論為這些假定基本上是成立的。對(duì)圖3、4、6、7的一些假定都應(yīng)當(dāng)看成是拱上構(gòu)造對(duì)主拱圈約束的一種體現(xiàn)。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出這些并不完全代表實(shí)際，而是很多假定因素綜合的結(jié)果，例如前述立墻剛度流域，但在腹拱中多計(jì)一些來彌補(bǔ)。由于這些計(jì)算假定是來自現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)

13、果，往往比模型試驗(yàn)和電算分析更具有實(shí)踐性。（三）簡(jiǎn)化計(jì)算的精度為檢驗(yàn)“聯(lián)合作用簡(jiǎn)化計(jì)算法”的可靠性，與兩座模型橋（資料5）和一座50米電算橋（資料12）的拱趾彎矩聯(lián)合作用折關(guān)系數(shù)，作了計(jì)算比較，如表2。拱趾彎矩折減系數(shù)聯(lián)裸表橋型方法3米模型4米模型50米橋1簡(jiǎn)化法0.5760.560.8062實(shí)測(cè)或電算0.520.600.815誤差比較10.8%7%1%在資料8中六座橋靜載實(shí)驗(yàn)所量測(cè)的撓度、聯(lián)合作用折減系數(shù)t和8#截面、拱頂水平位移聯(lián)合作用折減系數(shù)如表3。由表和表數(shù)值比較可見，聯(lián)合作用簡(jiǎn)化計(jì)算的精度在以上，這時(shí)工程實(shí)用而言可以滿足。聯(lián)合作用變位折減系數(shù)f聯(lián)f裸表橋跨項(xiàng)目石肋雙曲拱石砌版肋拱52

14、4-454-35202-4060荷載在L/4附近f實(shí)測(cè)0.3980.6230.2420.6630.5140.628計(jì)算0.3850.5910.2820.7210.4870.712誤差+3%+5%-14%-8%-15%-12%實(shí)測(cè)0.3210.444計(jì)算0.2990.545誤差+7%-18%荷載在拱頂f實(shí)測(cè)0.830.640.4600.6000.7900.796計(jì)算0.7040.8290.831誤差-15%-5%-4%二、位移折減系數(shù)如上節(jié)分析得到了聯(lián)合作用的四次超靜定結(jié)構(gòu)圖式，按常規(guī)力法解仍十分見繁。這里引進(jìn)剛度分配概念，考慮聯(lián)合作用的主拱圈水平位移和撓度，用位移法一次求出。（一）主拱圈的剛度

15、按結(jié)構(gòu)定義，使主拱圈某截面產(chǎn)生單位撓度所需的垂直力（或水平力）的大小，為該點(diǎn)的垂直（或水平）剛度。由于主拱圈和腹拱、立墻相聯(lián)的點(diǎn)在不同的截面，故可用力法分別求之。（一）水平剛度主、拱趾0使無鉸拱拱趾產(chǎn)生而無轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所需要的推力大小，稱拱趾抗推剛度0，如表。f/L項(xiàng)1/51/61/71/81/91/10拱趾K09.8910.2410.4810.6410.6510.66拱背K主8170.04176.72180.75183.63185.60187.17K主12230240.8255.10287.503053202、主腹拱結(jié)點(diǎn)。當(dāng)腹拱矢度較大（f/L=1/41/6）時(shí)，腹拱按無鉸拱計(jì)的彈性中心水平力X2

16、作用線延長(zhǎng)與主拱圈拱軸一般相交在8#截面為主腹拱結(jié)點(diǎn)。當(dāng)腹拱矢度較?。╢/L=1/71/100）時(shí)結(jié)點(diǎn)一般在拱頂12#截面。3、使裸主拱圈的8#（或12#）截面產(chǎn)生單位向外的水平位移8=1（或12=1）所需的水平力大小稱主拱圈拱背抗推剛度K主8（或K主12）如圖9及表4。應(yīng)當(dāng)指出，不同拱軸線型K0和K主值有所差別，但相差不大。表4所列為懸索線拱軸線，如需要較精確地?cái)?shù)值可另行進(jìn)行電算求解。（二）垂直剛度C主主拱圈與拱上立墻軸線一般在1#6#截面之間相交。使某一截面產(chǎn)生上翹單位撓度（f=1）所需要的垂直力大小，稱該截面的垂直剛度C主，如圖10。無鉸拱各截面的垂直剛度如表5。立墻與主拱圈軸線相交不在

17、1#6#整數(shù)截面時(shí)，可用內(nèi)插法求C主值。無鉸拱懸鏈線不同m值的C主值可參考資料13的撓度影響線求算。即C主i=1/fii式1。fii為P=1作用于i截面上在i截面所產(chǎn)生的（不計(jì)彈壓）撓度。f/L截面1/51/61/71/81/91/101#44.04346.78148.71450.10051.13051.9152#7.7638.1858.4808.6908.8458.9623#3.2993.4503.5633.6393.6953.7374#2.0362.1192.1762.2162.2452.2675#1.5601.6141.6521.6771.6701.7106#1.3851.4271.45

18、61.4751.4891.500（二）腹拱剛度(一)腹拱計(jì)算圖式：如前所述本文所討論的拱式拱上建筑聯(lián)合作用系指腹拱采用三平縫（平鉸）結(jié)構(gòu)者。資料11指出：三平鉸腹拱不同于理論三鉸拱，它在拱趾受壓縮時(shí)能似無鉸拱（或單鉸拱）一樣具有抗推（和垂直）剛度。而在拱趾受拉有負(fù)水平位移時(shí)，它逐漸向三鉸拱靠攏，但抗推和垂直剛度趨近于雙鉸拱值。平鉸拱這種特性是研究聯(lián)合作用時(shí)一個(gè)必須考慮的邊界條件。資料11還論證三平鉸拱的剛度是一個(gè)隨拱趾水平位移0大小而不同的變數(shù)。為了簡(jiǎn)化聯(lián)合作用計(jì)算，并考慮到還有腹拱的護(hù)拱和填料，橋面系拱桿、緣石、側(cè)墻對(duì)聯(lián)合作用的約束，參照實(shí)驗(yàn)反復(fù)試算分析結(jié)果，假定三平鉸腹拱在拱趾受壓縮時(shí)，可

19、綜合地按無鉸拱計(jì)算剛度；而拱趾受拉時(shí)，可綜合地按三平鉸（即剛度=0）如圖11，由此聯(lián)合作用才得到計(jì)算的圖3和圖4。實(shí)際上，由于三平鉸腹拱初始存在負(fù)水平位移0（溫度和彈性壓縮u和主拱8#截面的彈性變位8等），在圖11中左側(cè)活載作用下，右側(cè)腹拱受壓縮P不一定能抵消0，尚未完全進(jìn)入無鉸狀態(tài)。左側(cè)腹拱拱趾受拉P，腹拱相對(duì)的水平位移=-（0+P）也尚未使三平鉸進(jìn)入三鉸狀態(tài)。左右腹拱這兩個(gè)不同的狀態(tài)都存在相應(yīng)的剛度K。因此，上述簡(jiǎn)化假定也就是綜合了這兩者情況并考慮到橋面系的抗推剛度影響，統(tǒng)一由腹拱按無鉸拱的圖式計(jì)算抗推剛度。（二）單孔腹拱拱上腹拱的底座標(biāo)，工程中常用圓弧拱放樣。腹拱的護(hù)拱如果如圖12，考慮

20、參與拱圈共同作用（僅拱座的Y高度范圍），腹拱圈可近似按變截面拋物線線拱進(jìn)行計(jì)算，等截面則可近似按n=1處理。1、使腹拱拱趾產(chǎn)生單位水平位移（或垂直位移）所需的推力（或垂直力）稱腹拱的抗推（或垂直）剛度K+（或C+）。下標(biāo)“+”號(hào)是表示拱趾受壓狀態(tài)。（拉伸狀態(tài)不能按無鉸拱計(jì)），如圖13。 式2括號(hào)n=1相當(dāng)?shù)冉孛婀啊?、當(dāng)拱趾產(chǎn)生水平位稱+時(shí)，按無鉸找計(jì)算的腹拱贅余力X2如圖書館4，將它移至拱趾時(shí)，必定產(chǎn)生相應(yīng)的拱趾彎距+。X2=K+×+=- X2×YK=-K+×YK 式3應(yīng)當(dāng)指出，+必定反作用于主拱關(guān)上，+值大小僅與腹拱所承受的壓縮量大小和剛度K+及彈性中心至拱趾

21、的距離YK有關(guān)而不由主拱圈性質(zhì)決定。因此，它不是一個(gè)贅余力，而是與X2相應(yīng)的一個(gè)約束力。（三）多孔腹拱：1、二孔腹拱之間的立墻，傳遞主拱圈向上的翹曲，使腹拱趾產(chǎn)生單位撓度 f=1時(shí)，二腹拱所產(chǎn)生的垂直抗力稱C腹=2C+。如圖15。2、m孔腹拱，不計(jì)立墻剛度時(shí)，m端拱趾的抗推剛度K腹可以用一根剛度相等的直桿來代替，如圖16。據(jù)資料5分析推算得到K腹等于m分之一K+，即K腹=K+/m式4。由此可見，腹拱孔數(shù)愈多則拱端剛度愈小。K腹稱多孔腹拱端等代剛度。（三）位移折減系數(shù)（一）撓度折減系數(shù)1、主拱圈和立墻的軸線相交的截面i稱結(jié)點(diǎn)，該點(diǎn)裸拱圈的剛度C主i由于腹拱C腹的參加，使得產(chǎn)生單位撓度所需要的垂直

22、力增加至C=C主i+C腹如圖17，Ci稱結(jié)點(diǎn)的垂直剛度。例如某橋截面2的主拱圈垂剛度為C主2=32.445×103(T/m)，立墻傳遞的兩腹拱垂直剛度C腹=2C+=7.696×103(T/m)2#截面的結(jié)點(diǎn)垂直剛度，C2=C主2+C腹=40.1×103(T/m)。2、按照變位法的基本原理，撓度f與垂直剛度C成反比，故考慮腹拱參加主拱圈的共同受力（即考慮聯(lián)合作用后），裸主拱圈的撓度應(yīng)減少至1，1可按式5計(jì)算。式5式中fp是裸拱圈在荷載P作用下的撓度式6稱撓度的折減系數(shù)又例：2=0.808，主拱圈5#截面C主5=7.03×103(T/m)， C腹=7.696

23、×103(T/m)， C5=(7.03+7.696)×103=14.73×103(T/m)，與2=0.808相較，可見越靠近拱趾，值愈小。（二）水平位移折減系數(shù)1、同理，主拱與腹拱彈性中心水平線相交于8#（或12#）截面的裸拱抗推剛度K主i，考慮腹拱K腹的參與作用也提高至Ki如式7所示。Ki= K主i+K腹= K主i+K+/m 式72、據(jù)變位法的原理考慮腹拱參與主拱圈受力后，裸拱圈的水平位移P也減少至，如式8式8式中：= = ，稱水平位移折減系數(shù)。3、例如某橋腹拱K+=584.47×103(T/m )共三孔，K腹=K+/m=K+/3=194.8×

24、;103(T/m )，主拱圈裸拱的抗推剛度K主8=52.9×103(T/m )，K主12=83×103(T/m )，8#截面的結(jié)點(diǎn)抗推剛度K8=K主8+K腹=247.7×103(T/m )，8=K主8/Ki=52.9/247.7=0.2135，12#截面的結(jié)點(diǎn)抗推剛度K12=K主12=K腹=277.8×103(T/m )，12=K主12/K12=83/277.8=0.2987。如圖18比較可見，8一般小于12（拱頂）。三、單孔聯(lián)合作用計(jì)算為了具體敘述單孔無鉸拱的聯(lián)合作用計(jì)算原理和步驟，現(xiàn)以資料840米橋跨的靜載實(shí)驗(yàn)為例進(jìn)行說明。該橋的位移折減系數(shù)、如前計(jì)

25、算，不再累敘。拱軸張均按懸索線計(jì)。（一）裸拱圈的計(jì)算（一）裸拱內(nèi)力變位影響線1、無鉸拱在垂直荷載P=1作用下，拱趾、L/8、L/4、3L/8和拱頂?shù)热我饨孛娴膹澗赜绊憦埡屯屏?、垂直反力影響線均可在資料14中查得，雙鉸拱則可在資料15中查得。2、在P=1作用下，主拱圈8#截面（或12#截面）的水平位移8（或12）值，見附錄I注意荷載P在左側(cè)時(shí)，8值是右側(cè)腹拱的，而P在右側(cè)時(shí)，8是左側(cè)腹拱的，兩者是相反的。若同一側(cè)，因?yàn)橹禐樨?fù)即平鉸拱拱趾受拉而不產(chǎn)生抗力，如圖19。3、在P=1作用下主拱圈1#6#截面的撓度f影響線座標(biāo)見資料14，注意使用時(shí)選擇立墻與主拱圈軸線相交的結(jié)點(diǎn)截面（可內(nèi)插）。因荷載在拱頂

26、附近不完全對(duì)稱，因此左、右兩側(cè)的立墻與主拱結(jié)點(diǎn)各有一根撓度影響線，例如：f2右、f2左它們是反對(duì)稱的。（二）f/L=1/8，L=40米橋跨在拱頂均布荷載P=30T和5#截面均布荷載P=70T作用時(shí)，如圖20。在影響線上加載，用常規(guī)方法可得到各截面的內(nèi)力和撓度如表6，由于腹拱矢度f/L=1/8，故腹拱彈性中心水平線與主拱相交于拱頂12#截面。（二）對(duì)稱荷載聯(lián)合作用荷載在8#81#截面之間（實(shí)腹區(qū)），對(duì)全拱而言，接近對(duì)稱狀態(tài)。此時(shí)拱頂下?lián)希?#-12#截面的主拱圈均產(chǎn)生向跨中的位移，因此腹拱受拉，不產(chǎn)生壓縮抗力。拱上構(gòu)造聯(lián)合作用主要體現(xiàn)在0#-6#截面間拱圈上撓，通過立墻使腹拱受縮而產(chǎn)生垂直抗力R

27、、如圖21。40m橋跨裸拱內(nèi)力變位（表6）荷載及位置項(xiàng)目P=30（在12#截面）P=70T（在51#截面）變位×10-3=mm拱圈撓度fP2#-0.485#-0.97-5.4812#2.10-1.71851#-0.978.0021#-0.4812#截面水平位移122.145內(nèi)力彎矩MP（T-M）0#34.5889.45#-21.58-31.812#32.55-28.851#-21.58103.501#34.58-149.2拱趾推力H（T）54.457.1拱趾垂直力V（T）V左158.8V右1561.2（一）腹拱垂直抗力R腹拱抗力R與結(jié)點(diǎn)撓度和腹拱趾垂直剛度C腹大小成正比，即： 式9式

28、中fp為裸拱撓度、1、例如：圖21中40米橋跨，A#立墻在主拱圈2#截面，考慮聯(lián)合作用后的撓度2=fp=0.808-0.48×10-3=-0.388×10-3(m)腹拱垂直抗力R2=-2C腹=+(0.388×10-3)×7.696×103=2.985(T)2、圖21中B#立墻在主拱圈5#截面，考慮聯(lián)合作用后的撓度5=5fp5=0.477×-0.97×10-3=-0.4627×10-3(m)立墻傳遞的腹拱垂直抗力R5=-5×C腹0.4627×10-3)×7.696×103=3.

29、56(T)(二)抗力R產(chǎn)生的反撓度和內(nèi)力1、求得腹拱垂直抗力R后，可將它視為外荷作用在圖20的f12、f5、f51，影響線上，求得抗力所產(chǎn)生的反撓度，例如：對(duì)拱頂截面的撓度而言：R2=2.985(T) f12R2=2R2-0.017×10-3=-0.10×10-3(m)R5=3.560(T) f12R5=2R5-0.131×10-3=-0.262×10-3(m)式中乘2系對(duì)稱P=30T的荷載有兩個(gè)立墻抗力。2、將四個(gè)抗力R2、R5作用在資料14內(nèi)力影響線上，同樣可求得0#、5#、12#三個(gè)截面的抗力彎矩MP如表7。（三）聯(lián)合作用位移及內(nèi)力在表7中將裸拱的

30、撓度和內(nèi)力與腹拱垂直抗力R所產(chǎn)生的反撓度內(nèi)力相加，則得以了聯(lián)合作用后的撓度和內(nèi)力，將撓度和彎左在圖21上。由圖可見P=30T作用在拱頂時(shí)，考慮聯(lián)合作用與裸拱相較有如下特點(diǎn)：P=30T在拱頂?shù)穆?lián)合作用（表7）截面項(xiàng)目051250撓度f×10-3m(=mm)P=30T裸拱fp0-0.972.10-0.970R2=2.985T fR200.100R5=3.560T fR500.507-0.2620.5070f=fp+ fR2+ fR50-0.4631.74-0.4630實(shí)測(cè)f00-0.101.66-0.100比較f0/f022%95%22%0彎矩M（T-M）P=30T裸拱Mp34.58-2

31、1.5832.55-21.5834.58R2=2.985T MR2-5.580.866-0.9690.866-5.58R5=3.560T MR5-3.826.376-3.5806.376-3.82M=Mp+ MR2+ MR525.18-14.3428.00-14.3425.18軸向力N（T）P=30T裸拱Np55.27456.6454.456.6455.274R2=2.985T NR22.981.3741.321.3742.98R5=3.560T NR56.216.0795.8386.0796.21N=Np+ NR2+NR564.4664.0961.5664.0964.461、拱頂撓度折減系數(shù)

32、f=0.83; M=0.86，拱面的計(jì)算撓度與實(shí)測(cè)撓度95%吻合。2、5#截面撓度折減系數(shù)f=0.477; M=0.66，實(shí)測(cè)撓度遠(yuǎn)比計(jì)算小，可見實(shí)際拱上構(gòu)造的聯(lián)合作用比僅按C+計(jì)算為大。以腹拱垂直抗力R來反映聯(lián)合作用尚有一定的安全度。3、拱趾彎矩折減系數(shù)M=0.73，總之用撓度和彎矩的折減系數(shù)=聯(lián)合作用/裸拱，可以說明聯(lián)合作用的程度。在拱頂加載時(shí)值一般在0.80左右，這與模型試驗(yàn)的結(jié)果相同，此外需要說明，此P不完全對(duì)稱時(shí)，則方法相同，僅左右R2、R5大小略有差別而已。（三）不對(duì)稱荷載聯(lián)合作用荷載P在左側(cè)0#-8#截面之間（空腹區(qū)）對(duì)全拱而言，屬不對(duì)稱狀態(tài)。此時(shí)拱發(fā)生向右側(cè)移，右側(cè)腹拱受水平壓

33、縮，產(chǎn)生腹拱水平抗力Q，如圖22，由于腹拱Q作用在彈性中心，至拱趾產(chǎn)生彎左WQ=QYK。與此同時(shí)，右側(cè)立墻也上翹傳遞使腹拱趾受壓，將產(chǎn)生垂直抗力R。但是因用剛度分配方法只能求解一個(gè)未知數(shù)，而實(shí)驗(yàn)又證明在側(cè)移情況下Q的作用遠(yuǎn)大于R，因此在不對(duì)稱荷載時(shí)，僅計(jì)算Q和WQ，而可忽略不計(jì)立墻傳遞的垂直抗斬R，R的作用由腹拱選用無鉸拱的圖式（Q計(jì)算偏大）而得到補(bǔ)償。（一）腹拱水平抗力Q1、腹拱水平抗力Q與結(jié)點(diǎn)水平位移和多孔腹拱拱端等代剛度K腹大小成正比，即：式10式中P裸拱在P作用下主腹拱結(jié)點(diǎn)所產(chǎn)生的水平位移，如附錄I。水平抗力系數(shù)，與Q產(chǎn)生的腹拱拱趾彎左WQ=-Q×YK如前面式3。2、例如圖2

34、2，垂直荷載P=70T時(shí)，使主腹拱結(jié)點(diǎn)12#截面產(chǎn)生水平位移=×P=0.2985×2.145×10-3=0.64×10-3(m)，由此引起腹拱水平抗力Q=×K腹=0.64×10-3×194.8×103=124.85(T)，腹拱的YK=-0.28(m)，WQ=-124.85×(-0.28)=34.83(T)。（二）抗力Q、W所產(chǎn)生的反撓度內(nèi)力1、單位水平抗力Q=1作用于12#截面（或8#）在拱內(nèi)產(chǎn)生的彎矩可查附錄。單位腹拱拱趾彎左WQ=1作用于8#截面在拱內(nèi)氧生的彎矩可查附錄。2、將計(jì)算而得到的（Q、WQ）

35、乘以附錄和所查到的單位力彎矩可得到Q、W作用在裸拱圈上所產(chǎn)生的反彎矩，撓度可乘以該橋單位力的撓度值（用圖乘法求得，計(jì)算過程從略）而得。P=70T在51#截面時(shí)聯(lián)合作用（表8）截面項(xiàng)目051250撓度f×10-3m(=mm)P=70T裸拱fp0-5.48-1.7188.000Q=124.85 fQ04.660-4.660W=34.83 fW0-0.710.490.1220f=fp+ fQ+ fW0-1.53-1.2283.5620實(shí)測(cè)f00-1.26-0.213.320比較f0/f082%17%96%0彎矩M（T-M）P=70T裸拱Mp89.5-31.828.8103.5-149.2Q

36、=124.85 MQ-7733.100-33.1077W=34.83 MW12.35-9.695.42-1.711.14M=Mp+ MQ+ MW24.75-8.39-23.3868.69-71.06軸向力N（T）P=70T裸拱Np57.3057.2957.1071.8778.667Q=124.85 NQ-63.24-63.24±62.4363.2460.950W=34.83 NW2.912.93.363.553.527N=Np+ NQ+ NW-3.03-3.05122.89-1.973138.66143.11（三）聯(lián)合作用撓度、內(nèi)力在表8中將P在裸拱中的撓度和內(nèi)力與腹拱水平抗力Q及W

37、所產(chǎn)生的反撓度和內(nèi)力相加則得到聯(lián)合作用的撓度和內(nèi)力，將結(jié)果繪在圖22上。由圖可見P=70T作用在5#截面位置時(shí)考慮到聯(lián)合作用與裸拱相較有如下特點(diǎn)：1、P=70T時(shí)5#截面，撓度折減1=0.432,彎矩折減M=0.664，右拱趾彎矩折減系數(shù)M=0.476，左拱趾彎左折減系數(shù)M=0.276，總之考慮聯(lián)合作用后，不對(duì)稱荷載P作用下的撓度和內(nèi)力折減程度平均達(dá)到0.5左右，即比裸拱承載力可提高一倍以上。由此可見，在計(jì)算中考慮聯(lián)合作用巨大效果。2、按本文方法所得計(jì)算撓度f=fp+ fQ+ fW與實(shí)測(cè)值在5#和51#截面有82-96%的吻合度。在拱頂截面，實(shí)測(cè)值更小，這是因?yàn)樘盍虾蜆蛎嫦档榷紖⑴c作用未予計(jì)入

38、所在地致。應(yīng)當(dāng)說明，P在51#截面時(shí)，控制設(shè)計(jì)的是51#和01#截面，由表8數(shù)值可見，腹拱WQ=34.83(T-m)對(duì)51#截面彎矩M5W=-1.71(T-m)，撓度f5W=0.122(mm)絕對(duì)值都很小，因此在計(jì)算51#和01#截面內(nèi)力時(shí)可以將WQ忽略不計(jì)。WQ對(duì)拱頂5#截面影響較大，但該兩截面不控制設(shè)計(jì)。（四）聯(lián)合作用彎矩影響線在生產(chǎn)實(shí)踐中，往往只對(duì)若干控制設(shè)計(jì)的截面進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算，因此可以繪制該截面考慮聯(lián)合作用的彎矩影響線，再在其上布載?，F(xiàn)仍以f/L=1/8，L=40m橋跨為例，以左拱趾彎矩M左和拱頂彎矩MK影響線計(jì)算步驟來說明。（一）左拱趾MK影響線1、如圖23，單位荷載P=1分別在左右

39、半拱時(shí)：拱頂12#截面的水平位移表值列在表9中。腹拱抗力 單位抗力對(duì)左拱趾的彎矩如附錄查得，如圖23上標(biāo)明。腹拱水平抗力Q對(duì)左拱趾的反彎矩MQ=Q。P在左半拱：MQ右=12.935×103表×15.308×10-3L=198L表值P在右半拱：MQ左=12.935×103表×（-15.308×10-3L）=-198L表值2、P=1作用下裸拱圈左拱趾的彎矩MP由資料14中查得，列在表9中。3、將MP和MQ相加，可得到聯(lián)合作用彎矩，計(jì)算過程如表9，表示如圖24。將圖中正負(fù)彎矩的面積和最高座標(biāo)Y分別計(jì)算折減系數(shù)Y=Y聯(lián)/Y裸，=聯(lián)/裸取平均值

40、說明拱趾負(fù)彎矩考慮聯(lián)合作用折減系數(shù)=0.6215，正彎矩考慮聯(lián)合作用折減系數(shù)=0.595。4、應(yīng)當(dāng)指明表9中忽略了WQ影響，對(duì)正彎矩有較大誤差，對(duì)負(fù)彎矩精度足夠。（二）拱面MS影響線1、如圖20單位荷載P=1在0#-10#截面之間時(shí)，立墻與主拱的垂直相交結(jié)點(diǎn)2#、5#撓度不都是負(fù)值，因此產(chǎn)生上翹而引起的垂直抗力RS不大，故仍按產(chǎn)生水平抗力Q計(jì)。Q作用在12#截面對(duì)MS沒有影響，但WQ=-QYK作用在8#截面，它對(duì)拱頂負(fù)彎矩有決定性影響，因此可按圖25方法計(jì)算。如前知腹拱抗力Q=12.935×103表PWQ=-QYK=-12.935×103表P×(-0.28)=3.

41、6218×103表P由附錄查所以W所產(chǎn)生的拱頂彎矩=3.6218×103表P×0.1556=563.4表P=14L表P2、P=1作用在12#截面時(shí)，Q=0，但在圖20上立墻和主拱垂直相交結(jié)點(diǎn)2#、5#均產(chǎn)生上翹，因此產(chǎn)生腹拱垂直抗力R2、R5，按圖26方法計(jì)算。P=1作用拱頂、2#截面撓度f2P=-16.722×10-6(m/T)。5#截面撓度f5P=-36.538×10-6(m/T)。2#立墻腹拱垂直抗力）5#立墻腹拱垂直抗力）由資料14查到時(shí)拱頂彎矩 故抗力R2、R5所產(chǎn)生的拱頂彎矩MR2=2×-4.006×10-3L&

42、#215;(-6.220×103)f2P=2×24.917f2pLMR5=2×-12.484×10-3L×(-3.673×103)f5P=2×24.917f5pL3、P在11#截面時(shí)也均使左右側(cè)立墻腹拱上翹而產(chǎn)生垂直抗力R，用同樣方法計(jì)算，但注意左右R值不等（當(dāng)fp為正值時(shí)則R=0）例如：11#截面 垂直抗力R引起彎矩M12R2=-0.79×10-3L M12R5=-3.148×10-3L10#截面 M12R2=-0.766×10-3L M12R5=-4.116×10-3L9#截面 M12R2=-0.76×10-3L M12R5=-4.664×10-3L拱趾彎矩影響線（表9）MP位置MQ=±198LP表MPM折減系數(shù)附錄I PMQ附錄VMP+MQM/MP×10-3×10-3L×10-3L×10-3L0000010.0147612.293-34.0153-31.0920.91420.0476909.443-54.568-45.1250.82730.08828417.480-64.313-46.8330.72840.12682625.111-65.533-40.4220.61750.1