專(zhuān)題離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差

1、專(zhuān)題三：離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差知識(shí)點(diǎn)歸納1可以一一列出可能取的值的隨機(jī)變量叫離散型隨機(jī)變量，其分布列可表示為:分布列的性質(zhì)為：Pi _0(i =1,2,n)數(shù)學(xué)期望(均值)和方差分別為:n' Pi 二 PlP2Pn =1i =1XXiX2XnPPiP2PnnE ( X )= 7 Xi Pi = Xi Pi X2 P2 x n P ni J.22D(X ) =(Xi E (X ) pi=(xiE(X) Pi22-(X2 E(X) P2 2- (Xn -E(X) Pn2、均值和方差的性質(zhì):若 n =a©+b 則 E=aE：+b DH=a2D© ； D(X)

2、= E(X2) _(EX)2。3、常見(jiàn)分布的均值與方差：分布名稱(chēng)分布列期望方差兩點(diǎn)分布p(q=i)=p p(h=o)=ippP(i-P)X B(n, P)k k 鼻n-kP(X=k)= Cn P (i-p)npnp(i-p)幾何分布PL=k)=p(ip)二iPi 一 P2P超幾何分布q kn kP(町_5嚴(yán)亠CNnMN題型一：離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)1 .55)則 P()=2 2解題思路：熟記離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)并結(jié)合其它相關(guān)知識(shí)。例1:隨機(jī)變量的分布列為P( =k)二辿(k=i, 245解。P( TP( =5i旦.空，454545p(22)=p(刀專(zhuān)題型二：離散型隨機(jī)變量分布列及均值與方

3、差的問(wèn)題解題思路：弄清題目中的事件屬于哪類(lèi)事件和隨機(jī)變量的取值情況及其概率是關(guān)鍵。例2(2001年天津)一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球.從中同時(shí)取出2個(gè),則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)的期望是 (用數(shù)字作答).提示：含紅球個(gè)數(shù)的分布列是E012P163101010數(shù)學(xué)期望E：=0 1 2 6.1010105例3 盒中有9個(gè)正品和3個(gè)次品，每次取一測(cè)試，不放回在取出一個(gè)正品前已取出的廢品數(shù)為'，求期望、方差。P( =2)二312211102202.92 .丄44220220-0.3D =(2-0.3)2 1 (上0.3)2442202 (0.3)2 3220244220220-(0.

4、3)2909351220 1 00 1 1 00£012393 93 2 93 2 1P1212 1112 11 1012 11 10次次正例4. (2005年全國(guó)卷二)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)排球比賽根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝 乙隊(duì)的概率為0.6,本場(chǎng)比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束設(shè)各局比賽相互間沒(méi)有影響令 為本場(chǎng)比賽的局?jǐn)?shù)求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解答單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為1-0.6= 0.4,比賽3局結(jié)束有兩種情況：甲隊(duì)勝3局或乙隊(duì)勝3局，因而P ( ' = 3)=330.6 0.4 =0.28 , 比賽4局結(jié)束有兩種情況：前3

5、局中甲隊(duì)勝2局，第4局甲隊(duì)勝； 或前3局中乙隊(duì)勝2局，第4局乙隊(duì)勝，因而P( = 4) = c； 0.62 0.4 0.6 +C； 0.42 0.6 0.4=0.3744，比賽5局結(jié)束有兩種情況：前 4局中甲隊(duì)勝2局、乙 隊(duì)勝2局，第5局甲勝或乙勝，因而 P ( = 5)= C： 0.62 0.42 0.6 + C： 0.42 0.62 0.4 = 0.3456,所以'的概率分布為345P0.280.37440.3456'的期望 E = 3XP ( ' = 3)+ 4XP ( ' = 4)+ 5XP ( ' = 5)= 4.0656,題型三：離散型隨機(jī)變

6、量在風(fēng)險(xiǎn)決策的應(yīng)用 解題思路：對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)決策問(wèn)題，常用概率和期望來(lái)做決策。例4:在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一學(xué)生需做兩道題，一道代數(shù)題，一道幾何題，學(xué)生可自由選擇 解題順序，若他先做一道，則只有當(dāng)他做對(duì)時(shí)才可繼續(xù)做另一道，此學(xué)生答對(duì)代數(shù)題的概率為0.5,得分30分，答對(duì)幾何題的概率為 0.4,得分50分，設(shè)他答對(duì)兩道題相互獨(dú)立，問(wèn)他 應(yīng)先答哪道題，才能使他的得分期望值高。題型四：離散型隨機(jī)變量與其他知識(shí)的綜合。2005年湖南)某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4, 0.5, 0.6,且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)E表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)

7、之差的絕對(duì)值.(1)求E的分布及數(shù)學(xué)期望；”為事件A,求事件A的概率.(2)記 函數(shù)f(x)= x2 3 %+ 1在區(qū)間2 , + a)上單調(diào)遞增解答(1)分別記客人游覽甲景點(diǎn)”客人游覽乙景點(diǎn)”客人游覽丙景點(diǎn)”為事件 Ai, A2, A3.由已知 Ai, A2, A3 相互獨(dú)立，P (Ai) =0.4, P (A 2) =0.5, P (A3) =0.6 ,客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0, 1 , 2, 3.相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3, 2, 1, 0,所以'的可能取值為1 ,3,P ( ' =3)=P(A1A2A3)+ P (A,A2A3)=p (A1) p

8、(A2) p (A3) +p ( a)p(A2)p(A3)=2 >0.4 ®.5 ®.6=0.24, P ( ' =1) =1 0.24=0.76,所以的分布列為13P0.760.24E =1 XQ.76+3 >.24=1.48.；3 M 29 M 2(2)方法一因?yàn)?f(x) =(x-2 )1 一4 2,3所以函數(shù)f(x)=x2-3x，1在區(qū)間,；)上單調(diào)遞增，2要使f(x)在2,=)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)3 2，即23從而 P( A) = P(空 4) = P( = 1) = 0.76.3方法二：的可能取值為1, 3.當(dāng)=1時(shí)，函數(shù)f(x) = x2-

9、3x，1在區(qū)間2,r)上單調(diào)遞增，當(dāng)=3時(shí)，函數(shù)f(x) =x2 -9x V在區(qū)間2,=)上不單調(diào)遞增所以 P(A) = P( =1) =0.76.鞏固練習(xí)1已知 B(n , P)，若 E =12 , D =4，求 n、P12. B(6 ,)，求 D ( 24 )23. 美國(guó)NBA籃球職業(yè)聯(lián)賽總決賽，采用七局四勝制，預(yù)計(jì)兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，每場(chǎng)比賽組織 者可獲利200萬(wàn)美元，問(wèn)組織者在本次比賽中期望獲利多少萬(wàn)美元。4. 某次大獎(jiǎng)賽共有8人參加，平均分成兩組，第一輪賽后，每組的前兩名參加下一輪比賽(賽制規(guī)定沒(méi)有并列的名次)，如果要求你從兩組中各猜2名能進(jìn)入下一輪的選手，并規(guī)定猜對(duì)4人獎(jiǎng)勵(lì)8分，猜對(duì)3人

10、獎(jiǎng)勵(lì)6分，猜對(duì)2人獎(jiǎng)勵(lì)4分，猜對(duì)1人獎(jiǎng)勵(lì)2分，否則不 給分。試計(jì)算你獲獎(jiǎng)得分的期望。5. (理)現(xiàn)有四道數(shù)學(xué)試題，記為 A、B、C、D，和它們應(yīng)的答案記為 a、b、c、d， 把A、B、C、D和a、b、c、d分別寫(xiě)成左、右兩列?，F(xiàn)有一答題者，隨機(jī)用 4條線(xiàn)把 左、右全部連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)“一一對(duì)應(yīng)” ，連對(duì)一個(gè)得2分，連錯(cuò)一個(gè)得0分。(1)求答題者得分的分布列；(2)求所得分?jǐn)?shù)的期望。6:袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從其中任取一球，直到取到白球?yàn)橹埂?1)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差； (2)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時(shí)，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。參考答案1.n P =12n =18、nP(1_P) =4-P =-32.二a2D =