二項(xiàng)分布與超幾何分布

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中幾個(gè)重要的隨機(jī)變量分布列一超幾何分布超幾何分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散型隨機(jī)變量的概率分布.它描述了由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件,成功抽出指定種類的物件的個(gè)數(shù)（不歸還）的概率分布.我們所使用的人教版教材選修2-3中通過一個(gè)例題歸納超幾何分布的。我們?cè)購?fù)習(xí)一下這個(gè)例題：例1在含有 5 件次品的 100 件產(chǎn)品中，任取 3 件，試求： (1)取到的次品數(shù)X 的分布列；(2)至少取到1件次品的概率 解： (1)由于從 100 件產(chǎn)品中任取3 件的結(jié)果數(shù)為，從100 件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k 件次品的結(jié)果數(shù)為，那么從 100 件產(chǎn)品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率為

2、。所以隨機(jī)變量 X 的分布列是 X0123P(2)根據(jù)隨機(jī)變量X 的分布列，可得至少取到 1 件次品的概率 P ( X1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006 = 0. 144 00 . 超幾何分布的概念：一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 X=k發(fā)生的概率為,其中，且稱分布列X01P為超幾何分布列如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量 X 服從超幾何分布.關(guān)于這個(gè)概念我們要掌握：(1) 從含有次品的一批產(chǎn)品中不放回地

3、抽出一定數(shù)量的樣品，則其中所含的次品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從超幾何分布;(2)當(dāng)時(shí)，概率計(jì)算公式 二二項(xiàng)分布：1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率它是展開式的第項(xiàng)3.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件發(fā)生的概率是P，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項(xiàng)展開式中的各項(xiàng)的值，所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù).關(guān)于這個(gè)

4、概念，我們重點(diǎn)掌握兩點(diǎn)： (1)判斷：在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A（在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p）發(fā)生的次數(shù); (2)分布列求解：，（k0,1,2,，n，） 例2某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)的概率分布解：依題意，隨機(jī)變量B(2，5%)所以，P(=0)=(95%)=0.9025，P(=1)=(5%)(95%)=0.095，P()=(5%)=0.0025因此，次品數(shù)的概率分布是012P0.90250.0950.0025三二項(xiàng)分布與超幾何分布辨析1.二項(xiàng)分布與超幾何分布是兩個(gè)非常重要的、應(yīng)用廣泛的概率模型，實(shí)際中的許多問題都可以利用這兩個(gè)概率模型來

5、解決在實(shí)際應(yīng)用中，理解并區(qū)分兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的下面舉例進(jìn)行對(duì)比辨析例3.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球求：（1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)的分布列；（2）不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)的分布列解：（1）有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)可能的取值為，1，2，3又由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則； 因此，的分布列為0123（2）不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)可能的取值為，1，2，且有：；因此，的分布列為012辨析：通過此例可以看出：有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的總體沒有改變，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是

6、二項(xiàng)分布模型而不放回抽樣時(shí)，取出一個(gè)則總體中就少一個(gè)，因此每次取到某物的概率是不同的，此種抽樣為超幾何分布模型因此，二項(xiàng)分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣所以，在解有關(guān)二項(xiàng)分布和超幾何分布問題時(shí)，仔細(xì)閱讀、辨析題目條件是非常重要的2.超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系(1)判斷方法：從含有次品的一批產(chǎn)品中不放回地抽出一定數(shù)量的樣品，則其中所含的次品數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從超幾何分布：在一次隨機(jī)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p,在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，該事件發(fā)生的次數(shù)為一個(gè)隨機(jī)變量，它服從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，即。 (2)相同點(diǎn)：超幾何分布和二項(xiàng)分布都是離散型隨機(jī)變量的

7、概率分布不同點(diǎn)：超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；超幾何分布是不放回抽取，而二項(xiàng)分布是放回抽?。í?dú)立重復(fù)）聯(lián)系：當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布.3綜合練習(xí)：1.判斷各題中隨機(jī)變量所服從的分布：(1) 袋中有3個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)X； (2) 袋中有3個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Y； (3) 某人定點(diǎn)投籃1次，擊中目標(biāo)的概率是0.8，他連續(xù)投籃10次，每次從控球到投籃所花時(shí)間t; (4)高二8班同學(xué)身高超過175CM的概率為0.4，現(xiàn)從全班60個(gè)人中任

8、意選取5名同學(xué)，則他們的身高h(yuǎn)； (5)依次拋擲5枚不同但質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上的次數(shù)X；(6)從含12件正品和4件次品的一批產(chǎn)品中有放回地抽取3件產(chǎn)品，則其中所抽到次品的個(gè)數(shù)服從 分布.2每次試驗(yàn)的成功率為，重復(fù)進(jìn)行10次試驗(yàn)，其中前7次都未成功后3次都成功的概率為（ ） 310張獎(jiǎng)券中含有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購買1張，則前3個(gè)購買者中，恰有一人中獎(jiǎng)的概率為（ ） 4某人有5把鑰匙，其中有兩把房門鑰匙，但忘記了開房門的是哪兩把，只好逐把試開，則此人在3次內(nèi)能開房門的概率是 （ ） 5甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為，比賽時(shí)均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在5局3勝制中，甲打完4局

9、才勝的概率為（ ） 6一射手命中10環(huán)的概率為0.7，命中9環(huán)的概率為0.3，則該射手打3發(fā)得到不少于29環(huán)的概率為 （設(shè)每次命中的環(huán)數(shù)都是自然數(shù)）7一名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為，在一次決賽中投10個(gè)球，則投中的球數(shù)不少于9個(gè)的概率為 8一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為 9某車間有5臺(tái)車床，每臺(tái)車床的停車或開車是相互獨(dú)立的，若每臺(tái)車床在任一時(shí)刻處于停車狀態(tài)的概率為，求：（1）在任一時(shí)刻車間有3臺(tái)車床處于停車的概率；（2）至少有一臺(tái)處于停車的概率10種植某種樹苗，成活率為90%，現(xiàn)在種植這種樹苗5棵，試求：全部成活的概率； 全部死亡的概率；恰好成活3

10、棵的概率； 至少成活4棵的概率11（1）設(shè)在四次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件至少發(fā)生一次的概率為，試求在一次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率（2）某人向某個(gè)目標(biāo)射擊，直至擊中目標(biāo)為止，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，求在第次才擊中目標(biāo)的概率12. 實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝制（即5局內(nèi)誰先贏3局就算勝出并停止比賽）（1）試分別求甲打完3局、4局、5局才能取勝的概率（2）按比賽規(guī)則甲獲勝的概率解：甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為記事件=“甲打完3局才能取勝”，記事件=“甲打完4局才能取勝”，記事件=“甲打完5局才能取勝”甲打完3局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝甲打完3局取勝的概率為甲打完4