探討圓錐曲線的定值最值與定點問題

1、探討圓錐曲線的定值、最值與定點問題圓錐曲線中的最值與定值問題，是解析幾何中的綜合問題，是一種典型題型，將函數(shù)與解析融為一體，要求有較強的綜合能力，例析如下。一、 定值問題解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無關(guān)。例1 A、B是拋物線（p0）上的兩點，且OAOB，求證：（1）A、B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；（2）直線AB經(jīng)過一個定點。證明：（1）設(shè)A（）、B（），則，。=，為定值，也為定值。（2），直線AB的方程為：，直線AB過定點（2p，0）。例2 已知拋物線方程為，點A、B及點P(2，4)都在拋物線上，直線PA與PB的傾斜角互補。（1

2、）試證明直線AB的斜率為定值；（2）當(dāng)直線AB的縱截距為m（m0）時，求PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運算量大，要注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運用。解析：（1）證明：把P(2，4)代入，得h=6。所以拋物線方程為：y4=k(x2)，由，消去y，得。所以，因為PA和PB的傾角互補，所以，用k代k，得，所以=。（2）設(shè)AB的方程為y=2x+m(m0)，由，消去y得：，令=164(2m12) 0，解得0m8，點P到AB的距離d=，所以，=，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故PAB面積最大值為。二、 最值問題解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題

3、，注意到自變量的范圍；二是幾何法，考慮某些量的幾何特征及意義，利用圖形性質(zhì)求解。例3 求橢圓上的點P到直線L：x2y12=0的最大距離和最小距離。方法1：（求切點）設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點P(x，y)，由橢圓方程得此切線方程，即（1），又（2），解(1)(2)得切點的坐標(biāo)為P（2，3）P（2，3）。設(shè)點P到直線L的距離為d，由點到直線的距離公式，得，。方法2：（判別式法）設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為x2y+m=0，代入橢圓方程，消去x得，由=得，。當(dāng)m=8時，切線方程x2y+8=0，此時，切點為P（2，3）；當(dāng)m=8時，切線方程x2y8=0，此時，切點為P（2，3）設(shè)點P到直線L的距離為

4、d，由點到直線的距離公式，得，。方法3：（參數(shù)法）設(shè)橢圓上任意一點P(4cos，sin)，它到直線L的距離為，當(dāng)時，；當(dāng)時，。BxyACO圖1·點評：方法1、方法2可以求出橢圓上的最遠(yuǎn)點和最近點的坐標(biāo)，方法3利用橢圓的參數(shù)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡潔明了，但求切點的坐標(biāo)較復(fù)雜。例4 已知定點A(0，3)點B、C分別在橢圓的準(zhǔn)線上運動，當(dāng)BAC=90°時，求ABC面積的最大值。解：橢圓的兩條準(zhǔn)線方程分別為：y=1或y=1。點B在直線y=1上且設(shè)B（a，1），點C在直線y=1上且設(shè)C（b，1），由于BAC=90°，A(0，3)，所以，·=，ab=8。=，當(dāng)且僅當(dāng)

5、，即，時ABC面積的值最大為8。三、定點問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)；二是直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點。CxyOFBA圖2例5（2001年全國高考）設(shè)拋物線（p0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸，證明：直線AC經(jīng)過原點。方法1：設(shè)直線方程為，A，B，C，又，即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點O。當(dāng)k不存在時，ABx軸，同理可證。xyFBACDO圖3NE方法2：如圖2過A作ADl，D為垂足，則：ADEFBC連結(jié)AC與EF相交于點N，則，由拋物線的定義知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，.點評：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標(biāo)法，借助代數(shù)推理進