布萊克舒爾斯期權(quán)定價模型

1、第六章 布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型一、 影響期權(quán)價值的主要因素由前面的分析知道決定期權(quán)價值（價格）的因素是到期的股票市場價格和股票的執(zhí)行價格X。但是到期是未知的，它的變化還要受價格趨勢和時間價值等因素的影響。1)標(biāo)的股票價格與股票執(zhí)行價格的影響。標(biāo)的股票市場價格越高，則買入期權(quán)的價值越高，賣出期權(quán)的價值越低；期權(quán)的執(zhí)行價越高，則買入的期權(quán)價值越低，賣出期權(quán)的價值越高。2）標(biāo)的股票價格變化范圍的影響。在標(biāo)的股票價格變動范圍增大的，雖然正反兩方面的影響都會增大，但由于期權(quán)持有者只享受正向影響增大的好處，因此，期權(quán)的價值隨著標(biāo)的股價變動范圍的增大而升高。如下圖： x s股票的價格由密度函數(shù)變?yōu)?，S&

2、gt;X的可能性增大，買入期權(quán)的價值增大，對賣出期權(quán)的價值則相反。3）到期時間距離的影響。距離愈長，股價變動的可能性愈大。由于期權(quán)持有者只會在標(biāo)的股價變動中受益，因此，距離期權(quán)到期的時間越長，期權(quán)的價值就越高。4）利率的影響。利率越高，則到期的現(xiàn)值就越低，使得買入期權(quán)價值提高，而賣出期權(quán)價值降低。5）現(xiàn)金股利的影響。股票期權(quán)受到股票分割或發(fā)放股票股利的保護，期權(quán)數(shù)量也適應(yīng)調(diào)整，而不受影響，但是期權(quán)不受現(xiàn)金股利的保護，因此當(dāng)股票的價格因公司發(fā)放現(xiàn)金股利而下降時，買入期權(quán)的價值下降，賣出期權(quán)的價值便上升。二、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的假設(shè)條件B-S模型是反映歐式不分紅的買入期權(quán)定價模型，它的假定

3、條件，除了市場無摩擦（例如無稅、無交易成本、可以無限制自由借貸等）以外，還有：1 股票價格是連續(xù)的隨機變量，所以股票可以無限分割。2 T時期內(nèi)各時段的預(yù)期收益率ri和收益方差i保持不變。3 在任何時段股票的復(fù)利收益率服從對數(shù)正態(tài)分布，即在t1-t2時段內(nèi)有：因為股票的價格可以用隨機過程表示，其中S（t）表示第t日股票的價格，它是一個隨機變量. 則第t日股票的收益率（年收益率）為Rt：股票的年收益率（單利）R應(yīng)該是：為了簡化計算兩邊同時取自然對數(shù)可得：設(shè)r，r1，r2，r365為和R，R1，R2，R365相對應(yīng)的連續(xù)復(fù)利。則根據(jù)單復(fù)利之間的關(guān)系In(1+R)=r有：同理，對任何時間間隔T都有：由

4、中心極限定理知服從正態(tài)分布。即有：式中，分別為rt的數(shù)學(xué)期望和方差令，則y，而進行簡單的變量替換，可以求出S（T）的數(shù)學(xué)期望為：對于股票的二叉樹定價來說，如果從t=0時刻到t=T，時刻，所分的階段數(shù)趨于無限大時，股票的價格也趨于對數(shù)正態(tài)分布。即股票的二叉樹定價和對數(shù)正態(tài)分布定價是一致的。因為二叉樹定價時股票的價格變化的規(guī)律是：所以 即服從兩點分布且相互獨立.所以服從二項分布.當(dāng)，二項分布趨近于正態(tài)分布。即在一定的條件下，股票的二叉樹定價和對數(shù)正態(tài)分布定價是一致的。B-S定價模型是二叉樹定價模型的極限式。三、布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型的直觀理解作為無現(xiàn)金股利的歐式買權(quán)定價模式是：式中C是買權(quán)價格

5、，S0是期初股票價格，N（·）是累計正態(tài)分布函數(shù)，為了更容易從經(jīng)濟意義上理解B-S定價模型，我們可以從現(xiàn)實直觀的角度來作一些解釋：已知 式中為到期T時買權(quán)的價格，為到期標(biāo)的股票市場價格X為期權(quán)協(xié)定的執(zhí)行價格。則有 設(shè)到期的概率為P，此時則有 考慮到期初的期權(quán)合理定價等于的現(xiàn)值而有 (1)式中C:期初期權(quán)合理價格，r：無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利率，t到期時間長度這里關(guān)鍵的問題，要找出P和的表達(dá)式。1） 由于1N(d) N(-d) -d d= 這是由于正態(tài)分布的對稱性其中服從對數(shù)正態(tài)分布 服從對數(shù)正態(tài)分布（為常數(shù)）服從正態(tài)分布。收益率平均為，或。而且是以年為基礎(chǔ)計算的，但期權(quán)通常不超一年。T為分?jǐn)?shù)，

6、應(yīng)用代替。即為新正態(tài)分布的期望值。為新分布的標(biāo)準(zhǔn)差。2） 由于其中為對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù) 其中u為的均值，是的方差 令 其中注意到： 并且，式中將以上計算結(jié)果代入（1）式，得 這便是有名的Black-Scholes期權(quán)定價公式。舉例：已知股票期初市價，協(xié)議執(zhí)行價X=45，距到期日時間t=3個月0.25年無風(fēng)險利率r=10%，=0.16，則有： 查正態(tài)分布表：N()N(0.7520)=0.7740N()N(0.552)=0.7095一般地，期權(quán)交易市場上買入的價格即由B-S公式定價，如果實際市場價格比計算的價值低，說明期權(quán)的價格被低估，存在套利機會，可以買入期權(quán)。四、B-S期權(quán)定價模型微分方程推

7、導(dǎo)的基本思路隨機方程（某變量以某種不確定的方式隨時間變化） 馬爾可夫過程（隨機過程變量的未來預(yù)測值只與該變量的當(dāng)前值有關(guān)，而與該變量的過去值無關(guān)時，該隨機過程稱為馬爾可夫過程） 基本維納過程（在內(nèi)變量Z的變化滿足：，其中滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的一個隨機值。且兩個不同的的值相互獨立） 一般維納過程（變量X滿足：）如圖： 一般維納過程 基本維納過程 伊騰過程（S遵循ITO過程，即有變量G是S、t的函數(shù)，G=F(S，t)，則G也是ITO過程，并且有： 股票價格的ITO過程（股價S的變動可用瞬時期望漂移率為:，瞬時方差率為的ITO過程，即，即其中當(dāng)股價的方差率恒為0時，則有，得說明當(dāng)方差率為0時，股價得單位時間為的連續(xù)復(fù)利方式增長。五、關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布我們已經(jīng)知道很多獨立同分布的隨機變量之和趨于正態(tài)分布。那么許多獨立同分布隨機變量的連乘積便服從于對數(shù)正態(tài)分布，即 對數(shù)正態(tài)分布因為令則這是n個隨機變數(shù)之和，根據(jù)中心極限定理，y趨于正態(tài)分布，如圖：設(shè)，每年增長10%則有對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)100 110