彈性力學(xué)論文對(duì)兩端固支梁的彈性力學(xué)應(yīng)力解

1、對(duì)兩端固支梁的彈性 力 學(xué) 應(yīng) 力 .解 對(duì)兩端固支梁的彈性力學(xué)應(yīng)力解摘 要 :根據(jù)彈性力學(xué)平面問(wèn)題的基本理論 ,采用半逆解法 ,求出了兩端固支的單跨超靜定梁在集中荷載作用下的應(yīng)力和位移多項(xiàng)式解 ,并與材料力學(xué)解進(jìn)行了比較 ,說(shuō)明了材料力學(xué)解的精度和適用范圍 。關(guān) 鍵 詞 :超靜定梁 ;應(yīng)力 ;位移 ;集中荷載 ;彈性力學(xué)1 兩端固支梁的彈性力學(xué)應(yīng)力解 如圖 1 所示 :兩端固支的單跨超靜定矩形截面梁(為了簡(jiǎn)便 ,不妨取厚度為 1 ,不計(jì)體力) , x = a 處受到集中荷載 P 作用 (可設(shè)此問(wèn)題為平面應(yīng)力問(wèn)題) ,上、 下兩個(gè)邊界的正應(yīng)力邊界條件為 （1） 先考慮 x = 0 a 段的應(yīng)力

2、分布. 根據(jù)式(1) 所示的應(yīng)力邊界條件6,可假設(shè)應(yīng)力函數(shù) 為將應(yīng)力函數(shù) 代入相容方程 : ,即可求得待定函數(shù) f1, f2故應(yīng)力函數(shù)因函數(shù) 中常數(shù)項(xiàng)和 中的線性項(xiàng)對(duì)應(yīng)力分量沒(méi)有影響 ,故未列出. 根據(jù)應(yīng)力函數(shù)可求出應(yīng)力分量由上、 下兩個(gè)邊界的剪應(yīng)力邊界條件0,可求出待定常數(shù)應(yīng)力分量為同理可得 x = al 段的應(yīng)力分布為x = a 處平衡條件為由此可得可見(jiàn) ,應(yīng)力分量中還包含 3 個(gè)獨(dú)立的待定常數(shù)這 3 個(gè)常數(shù)必須由位移邊界條件確定，為此考慮物理方程和幾何方程 當(dāng) 0 x a 時(shí) ,將應(yīng)力分量式(5) , (2) , (6) 和幾何方程代入物理方程 ,可得由式(11)得由式(12)得 （15

3、）將式(14) , (15)代入式(13) ,整理得由于該式左邊是 x 的函數(shù),右邊是 y 的函數(shù),所以左右兩邊應(yīng)等于同一常數(shù),設(shè)此常數(shù)為1,則將所得 ( y)和 ( x)代入式(14) ,(15)得式中 :分別為表征剛體位移的常數(shù). 左端位移邊界條件為 由此得同理可得 x = al 段的位移為右端位移邊界條件為由此得x =a 處 位 移 協(xié) 調(diào) 條 件 為 由此得上面 3 個(gè)等式聯(lián)立式(10)得從而由式(5) , (6)得 x = 0 a 段的應(yīng)力分布解為由式(7) 、 (8) 、 (9)得 x = al 段的應(yīng)力分布解為2 彈性力學(xué)解與材料力學(xué)解比較彈性力學(xué)是從平衡方程、 幾何方程、 物理

4、方程出發(fā)求解 ,材料力學(xué)是從平衡方程、 物理方程和平截面假設(shè)基礎(chǔ)上的幾何關(guān)系出發(fā)求解 ,因此 ,彈性力學(xué)方法比材料力學(xué)方法更具合理性. 利用材料力學(xué)方法對(duì)集中荷載作用下兩端固支單跨超靜定梁求解 ,得到材料力學(xué)解 ,與彈性力學(xué)解比較 ,可以得出 :1 材料力學(xué)解 分別與彈性力學(xué)解式(22) , (24) , (25) , (27) 中的相應(yīng)分量完全相同 ,材料力學(xué)解的撓度與彈性力學(xué)解式(32) 、 (33) 完全相同 ,但彈性力學(xué)解比材料力學(xué)解多得出了正應(yīng)力分量y和位移分布表達(dá)式(28) , (29) , (30) , (31) .2 從式(28) , (30)可以得出 ,與 y 有關(guān) ,因此梁

5、變形不嚴(yán)格符合材料力學(xué)的平截面假定 ,那么材料力學(xué)解還與彈性力學(xué)解的相應(yīng)分量相同原因是梁上、 下邊界不存在分布力 ,使得應(yīng)力分量 = 0 ,才使應(yīng)力分量的解相同 ,對(duì)于梁上、 下邊界存在分布力的工況 ,應(yīng)力分量 0 ,兩種求法應(yīng)力分量x的解是不同的.3 材料力學(xué)解雖與彈性力學(xué)解的相應(yīng)分量相同 ,并不能說(shuō)明材料力學(xué)解是精確的 ,而是更清楚說(shuō)明材料力學(xué)解是近似的 ,因?yàn)閺氖?28) , (29) , (30) ,(31)可以看出 , x = a 處位移分量 u 不精確滿足位移連續(xù)條件 ,所以彈性力學(xué)多項(xiàng)式解就是近似的 ,這是集中荷載作用時(shí)采用多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)求解彈性力學(xué)解的局限性引起的.4得出的彈性力學(xué)多項(xiàng)式解在兩端以及集中力作用處是不精確的 ,但根據(jù)圣維南原理 ,在離開(kāi)這3 處一段距離后彈性力學(xué)多項(xiàng)式解是精確的,這