第十二章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)

1、第十二章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù)第一節(jié) 合情推理與演繹推理本節(jié)主要包括2個知識點(diǎn)：1.合情推理；2.演繹推理.突破點(diǎn)(一)合情推理基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)某類事物的部分對象具有某種特征，推出這類事物的全部對象都具有這種特征的推理由部分到整體、由個別到一般類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由特殊到特殊考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 歸納推理運(yùn)用歸納推理時的一般步驟(1)通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)；(2)把這種相似性推廣到一個明確表述的一般命題(猜想)；(3)對所得出

2、的一般性命題進(jìn)行檢驗類型(一)與數(shù)字有關(guān)的推理例1給出以下數(shù)對序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)記第i行的第 j 個數(shù)對為aij，如a43(3,2)，則anm()A(m，nm1) B(m1，nm)C(m1，nm1) D(m，nm)解析由前4行的特點(diǎn)，歸納可得：若anm(a，b)，則am，bnm1，anm(m，nm1)答案A易錯提醒解決此類問題時，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關(guān)系，同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等類型(二)與式子有關(guān)的推理例2(1)觀察下列等式：2212；222223；222234；

3、222245；照此規(guī)律，222_.(2)已知x(0，)，觀察下列各式：x2，x3，x4，類比得xn1(nN*)，則a_.解析(1)觀察前4個等式，由歸納推理可知222n(n1).(2)第一個式子是n1的情況，此時a111；第二個式子是n2的情況，此時a224；第三個式子是n3的情況，此時a3327，歸納可知ann.答案(1)(2)nn方法技巧與式子有關(guān)的推理類型及解法(1)與等式有關(guān)的推理觀察每個等式的特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號后可解(2)與不等式有關(guān)的推理觀察每個不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解類型(三)與圖形有關(guān)的推理例3某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝

4、數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計第10年樹的分枝數(shù)為()A21 B34 C52 D55解析因為211,321,532，即從第三項起每一項都等于前兩項的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為213455.答案D方法技巧與圖形有關(guān)的推理的解法與圖形變化相關(guān)的歸納推理，解決的關(guān)鍵是抓住相鄰圖形之間的關(guān)系，合理利用特殊圖形，找到其中的變化規(guī)律，得出結(jié)論，可用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡灶惐韧评?類比推理的應(yīng)用一般分為類比定義、類比性質(zhì)和類比方法，常用技巧如下：類比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時，可以借助原定義來求解類比性質(zhì)從一個特殊式子的性質(zhì)、一個特殊圖形的性質(zhì)入手，提出類比推理型問題，求解時要認(rèn)

5、真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別，深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵類比方法有一些處理問題的方法具有類比性，我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中，注意知識的遷移2平面中常見的元素與空間中元素的類比：平面點(diǎn)線圓三角形角面積周長空間線面球三棱錐二面角體積表面積例4如圖，在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb(ab)若EFAB，EF到CD與AB的距離之比為mn，則可推算出：EF.用類比的方法，推想出下面問題的結(jié)果在上面的梯形ABCD中，分別延長梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn)，設(shè)OAB，ODC的面積分別為S1，S2，則OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是()AS0 BS0C. D.解析在平面幾何中

6、類比幾何性質(zhì)時，一般是由平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)；由平面幾何中線段的性質(zhì)類比推理面積的性質(zhì)故由EF類比到關(guān)于OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是.答案C方法技巧 類比推理的步驟和方法(1)類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題(猜想)(2)類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1考點(diǎn)二由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mnnm”類比得到“abba”；“(mn)tmt

7、nt”類比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”類比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”類比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”類比得到“|ab|a|b|”；“”類比得到“”以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4解析：選B正確，錯誤2考點(diǎn)二在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則()A. B. C. D.解析：選D正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13，故.3考點(diǎn)一類型(一)兩旅客坐火車外出旅游，

8、希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()窗口12過道345窗口6789101112131415A48,49 B62,63 C75,76 D84,85解析：選D由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析選項中的4組座位號知，A、B兩組座位號都不靠窗，C中兩個座位沒有連在一起，只有D符合條件4考點(diǎn)一類型(二)設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，觀察上述結(jié)果，可推測一般的結(jié)論為_解析：f(21)，f(22)2，f(23)，f(24)

9、，歸納得f(2n)(nN*)答案：f(2n)(nN*)5考點(diǎn)一類型(三)蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù)則f(4)_，f(n)_.解析：因為f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以f(4)16121837，所以f(n)1612186(n1)3n23n1.答案：373n23n1突破點(diǎn)(二)演繹推理基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理

10、稱為演繹推理(2)模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷(3)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 演繹推理典例數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義)(2)由(1)可知數(shù)列是等比數(shù)列，(大前提)所以4(n2)，即Sn14(n

11、1)4Sn14an(n2)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)所以對于任意正整數(shù)n，都有Sn14an.(結(jié)論)方法技巧演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略，本例中，等比數(shù)列的定義在解題中是大前提，由于它是顯然的，因此省略不寫(2)在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個三段論才能完成能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f

12、(3)的值解析：(1)證明：函數(shù)f(x)的定義域為全體實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)(大前提)由已知y，則1y1，f(1x)，(小前提)1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱(結(jié)論)(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.故f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.2已知函數(shù)yf(x)滿足：對任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)證明：設(shè)任意x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1

13、f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，因為x10，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)(小前提)所以yf(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)(結(jié)論) 全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2016全國甲卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_解析：由丙所言可能有兩種情況一種是丙持有“1和2”，結(jié)合乙所言可知乙持有“2和3”，從而甲持有“1和3”

14、，符合甲所言情況；另一種是丙持有“1和3”，結(jié)合乙所言可知乙持有“2和3”，從而甲持有“1和2”，不符合甲所言情況故甲持有“1和3”答案：1和32(2014新課標(biāo)全國卷)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)齻€去過同一城市由此判斷乙去過的城市為_解析：由于甲、乙、丙三人去過同一城市，而甲沒有去過B城市，乙沒有去過C城市，因此三人去過的同一城市應(yīng)為A，而甲去過的城市比乙多，但沒去過B城市，所以甲去過A，C城市，乙去過的城市應(yīng)為A.答案：A課時達(dá)標(biāo)檢測 重點(diǎn)保分課時一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過高考練基礎(chǔ)小題強(qiáng)

15、化運(yùn)算能力1(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；(2)由112,1322,13532，可得到1352n1n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬于()A類比推理、歸納推理 B類比推理、演繹推理C歸納推理、類比推理 D歸納推理、演繹推理解析：選A(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理，故選A.2“因為指數(shù)函數(shù)yax是增函數(shù)(大前提)，而yx是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以yx是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯誤在于()A大前提錯導(dǎo)致

16、結(jié)論錯 B小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯C推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯 D大前提和小前提都錯導(dǎo)致結(jié)論錯解析：選Ayax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯誤3觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A121 B123 C231 D211解析：選B令ananbn，則a11，a23，a34，a47，得an2anan1，從而a618，a729，a847，a976，a10123.4下面圖形由小正方形組成，請觀察圖1至圖4的規(guī)律，并依此規(guī)律，寫出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是_解析：由題圖知第1個圖形的小正方形個數(shù)為1，第2個圖形的小正方形個數(shù)為12，第3個圖形的小正方

17、形個數(shù)為123，第4個圖形的小正方形個數(shù)為1234，則第n個圖形的小正方形個數(shù)為123n.答案：5在平面幾何中：ABC中C的角平分線CE分AB所成線段的比為 .把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結(jié)論是_解析：由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得.答案：練?？碱}點(diǎn)檢驗高考能力一、選擇題1給出下面類比推理(其中Q為有理數(shù)集，R為實(shí)數(shù)集，C為復(fù)數(shù)集)：“若a，bR，則ab0ab”類比推出“a，bC，則ab0ab”；“若a，b，c，dR，則復(fù)數(shù)abicdiac，bd”類比推出“a，b，c，dQ，則abcdac，bd ”；“a，b

18、R，則ab0ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab”；“若xR，則|x|11x1”類比推出“若zC，則|z|11z1”其中類比結(jié)論正確的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4解析：選B類比結(jié)論正確的有.復(fù)數(shù)不能比較大小，錯誤2已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，則第60個“整數(shù)對”是()A(7,5) B(5,7) C(2,10) D(10,1)解析：選B依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有

19、個“整數(shù)對”，注意到60，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和為12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)3觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125，則52 016的末四位數(shù)字為()A3 125 B5 625C0 625 D8 125解析：選C553 125 ,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由

20、此可歸納出5m4k與5m(kN*，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2 01645028，所以52 016與58的后四位數(shù)字相同，為0 625，故選C.4若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn也為等差數(shù)列類比這一性質(zhì)可知，若正項數(shù)列cn是等比數(shù)列，且dn也是等比數(shù)列，則dn的表達(dá)式應(yīng)為()Adn BdnCdn Ddn解析：選D若an是等差數(shù)列，則a1a2anna1d，bna1dna1，即bn為等差數(shù)列；若cn是等比數(shù)列，則c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn為等比數(shù)列，故選D.5古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)比如：他們研究過圖1中的1,3,6,10，由于這些數(shù)能夠

21、表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A289 B1 024C1 225 D1 378解析：選C觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，記該數(shù)列為an，則a11，a2a12，a3a23，anan1n.a1a2an(a1a2an1)(123n)，an123n，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，記該數(shù)列為bn，則bnn2.把四個選項的數(shù)字，分別代入上述兩個通項公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有 1 225.6某市為了緩解交通壓力，實(shí)行機(jī)動車輛限行政策，每輛機(jī)動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行某公司有A，

22、B，C，D，E五輛車，保證每天至少有四輛車可以上路行駛已知E車周四限行，B車昨天限行，從今天算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推測一定正確的是()A今天是周六 B今天是周四CA車周三限行 DC車周五限行解析：選B因為每天至少有四輛車可以上路行駛，E車明天可以上路，E車周四限行，所以今天不是周三；因為B車昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因為A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，選B.二、填空題7對于實(shí)數(shù)x，x表示不超過x的最大整數(shù)，觀察下列等式： 3， 10， 21，按照此規(guī)律第n個等式的等號右邊的結(jié)果為_解析：因

23、為 13， 25， 37，以此類推，第n個等式的等號右邊的結(jié)果為n(2n1)，即2n2n.答案：2n2n8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：由題意知，凸函數(shù)滿足f，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sin Asin Bsin C3sin3sin.答案：9設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時，fn(x

24、)f(fn1(x)_.解析：根據(jù)題意知，各式中分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n1，故fn(x)f(fn1(x).答案：10. 如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按如下規(guī)則標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)0，點(diǎn)(1,0)處標(biāo)1，點(diǎn)(1，1)處標(biāo)2，點(diǎn)(0，1)處標(biāo)3，點(diǎn)(1，1)處標(biāo)4，點(diǎn)(1,0)處標(biāo)5，點(diǎn)(1,1)處標(biāo)6，點(diǎn)(0,1)處標(biāo)7，依此類推，則標(biāo)簽為2 0172的格點(diǎn)的坐標(biāo)為_解析：因為點(diǎn)(1,0)處標(biāo)112，點(diǎn)(2,1)處標(biāo)932，點(diǎn)(3,2)處標(biāo)2552，點(diǎn)(4,3)處標(biāo)4972，依此類推得點(diǎn)

25、(1 009，1 008)處標(biāo)2 0172.答案：(1 009,1 008)三、解答題11在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求證：.在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由解析：如圖所示，由射影定理AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.又BC2AB2AC2，.猜想，在四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE平面BCD，則.證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.ABAC，ABAD，ACADA，AB平面ACD.AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.AB平面ACD，ABCD.AE平面BCD，AECD.又ABAEA，CD平面A

26、BF，CDAF.在RtACD中，.12某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論解析：(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為

27、sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.第二節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法本節(jié)主要包括3個知識點(diǎn)：1.直接證明；2.間接證明；3.數(shù)學(xué)歸納法.突破點(diǎn)(一)直接證明基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使

28、它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止思維過程由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示書寫格式因為，所以或由，得要證，只需證，即證考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神”綜合法綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍是：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型例1已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.(1)若0，求f(x)的最大值；(2)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線xy10垂直，證明：0.解(1)f(x)的定義域為

29、(0，)當(dāng)0時，f(x)ln xx1.則f(x)1，令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x0，故f(x)在(0,1)上是增函數(shù)；當(dāng)x1時，f(x)0，故f(x)在(1，)上是減函數(shù)故f(x)在x1處取得最大值f(1)0.(2)證明：由題可得，f(x)ln x1.由題設(shè)條件，得f(1)1，即1.f(x)(x1)ln xx1.由(1)知，ln xx10，且x1)當(dāng)0x1時，x10，f(x)(x1)ln xx1xln x(ln xx1)0.當(dāng)x1時，x10，f(x)(x1)ln xx1ln x(xln xx1)ln xx0，0.綜上可知，0.方法技巧綜合法證題的思路分析法分析法是逆向思維，當(dāng)已知條件與結(jié)論之

30、間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中需要用到的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導(dǎo)時，?？紤]用分析法例2已知a0，證明 a2.證明要證 a2，只需證 (2)因為a0，所以(2)0，所以只需證22，即2(2)84，只需證a2.因為a0，a2顯然成立當(dāng)且僅當(dāng)a1時，等號成立，所以要證的不等式成立方法技巧分析法證題的思路(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵(2)證明較復(fù)雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法

31、證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1 考點(diǎn)一命題“對于任意角，cos4sin4cos 2”的證明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”過程應(yīng)用了()A分析法B綜合法C綜合法、分析法綜合使用D間接證明法解析：選B因為證明過程是“從左向右”，即由條件逐步推向結(jié)論，故選B.2考點(diǎn)一若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()Aac2bc2 Ba2abb2C. D.解析：選Ba2aba(ab)，ab0，ab0，a(ab)0，即a2ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3考點(diǎn)一

32、已知實(shí)數(shù)a1，a2，a2 017滿足a1a2a3a2 0170，且|a12a2|a22a3|a2 0172a1|，證明：a1a2a3a2 0170.證明：根據(jù)條件知：(a12a2)(a22a3)(a32a4)(a2 0172a1)(a1a2a3a2 017)0.另一方面，令|a12a2|a22a3|a32a4|a2 0172a1|m，則a12a2，a22a3，a32a4，a2 0172a1中每個數(shù)或為m或為m.設(shè)其中有k個m，(2 017k)個m，則(a12a2)(a22a3)(a32a4)(a2 0172a1)km(2 017k)(m)(2k2 017)m.由知：(2k2 017)m0.而2

33、k2 017為奇數(shù)，不可能為0，所以m0.于是知：a12a2，a22a3，a32a4，a2 0162a2 017，a2 0172a1.所以a122 017a1，即得a10.從而a1a2a3a2 0170.命題得證4考點(diǎn)二已知m0，a，bR，求證：2.證明：因為m0，所以1m0.所以要證原不等式成立，只需證(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證m(ab)20，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證突破點(diǎn)(二)間接證明基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識的“源”與“流” 1反證法假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說

34、明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法2用反證法證明問題的一般步驟第一步分清命題“pq”的條件和結(jié)論第二步作出命題結(jié)論q相反的假設(shè)綈q第三步由p和綈q出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè)綈q不真，于是結(jié)論q成立，從而間接地證明了命題pq為真3.常見的結(jié)論和反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個一個都沒有至多有一個至少有兩個至少有n個至多有(n1)個至多有n個至少有(n1)個都是不都是對任意x成立存在某個x不成立對任意x不成立存在某個x成立p或q綈p且綈qp且q綈p或綈q不都是都是考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 證明否定性命題例1

35、已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足anSn2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列an中任意三項不可能按原來順序成等差數(shù)列解(1)當(dāng)n1時，a1S12a12，則a11.又anSn2，所以an1Sn12，兩式相減得an1an，所以an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以an.(2)證明：假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，則2，所以22rq2rp1.(*)又因為pqr，所以rq，rpN*.所以(*)式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立所以假設(shè)不成立，原命題得證證明存在性問題例2若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(a2)，使函數(shù)h

36、(x)是區(qū)間a，b上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知得g(x)(x1)21，其圖象的對稱軸為x1，區(qū)間1，b在對稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間1，b上單調(diào)遞增由“四維光軍”函數(shù)的定義可知，g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因為b1，所以b3.(2)假設(shè)函數(shù)h(x)在區(qū)間a，b(a2)上是“四維光軍”函數(shù)，因為h(x)在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞減，所以有即解得ab，這與已知矛盾故不存在證明“至多”“至少”“唯一”命題例3已知f(x)ln(1ex)mx(xR)，對于給定區(qū)間(a，b)，存在x0(a，b)，使得f(x0)成立，求證：x0唯一證明

37、假設(shè)存在x0，x0(a，b)，且x0x0，使得f(x0)，f(x0)成立，即f(x0)f(x0)因為f(x)m，記g(x)f(x)，所以g(x)0，f(x)是(a，b)上的單調(diào)遞增函數(shù)所以x0x0，這與x0x0矛盾，所以x0是唯一的 能力練通 抓應(yīng)用體驗的“得”與“失” 1考點(diǎn)三用反證法證明命題“設(shè)a，b 為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0 至少有一個實(shí)根”時，要作的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實(shí)根B方程 x3axb0至多有一個實(shí)根C方程x3axb0 至多有兩個實(shí)根D方程x3axb0 恰好有兩個實(shí)根解析：選A用反證法證明命題時，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論的否定成立，而至少有一個實(shí)根的否定是沒有實(shí)根，故作的假設(shè)是

38、“方程x3axb0沒有實(shí)根”2考點(diǎn)一、三若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab及ab中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析：選C由于a，b，c不全相等，則ab，bc，ca中至少有一個不為0，故正確；顯然正確；令a2，b3，c5，滿足ac，bc，ab，故錯誤3考點(diǎn)三已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個不小于1.證明：假設(shè)a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，而abcx22xx2x12x22x32233，兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c至少有

39、一個不小于1.4考點(diǎn)一設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導(dǎo)an的前n項和公式；(2)設(shè)q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解析：(1)設(shè)an的前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Sna1a1a1na1；當(dāng)q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)證明：假設(shè)數(shù)列an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1.a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設(shè)不成立，故數(shù)列an1不是等比數(shù)列5考點(diǎn)

40、二已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由解析：(1)證明：由已知得SA2AD2SD2，故SAAD.同理SAAB.又ABADA，所以SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾，假設(shè)不成立故在棱SC上不存在異于S，C的點(diǎn)F，使得BF平面SAD.突破點(diǎn)(三)數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干

41、知識的“源”與“流” 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)證明(1)當(dāng)n2時，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(

42、k)1，那么，當(dāng)nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)方法技巧用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的策略(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1時，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：12(nN*，n2)證明(1)當(dāng)n2時，12，命題成立(2)假設(shè)nk(k2，kN*)時命題成立，即12.當(dāng)nk1時，12均成立證明：(1)當(dāng)n2時，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立(2)假設(shè)nk(k2，且kN*)時不等式成立，即.則當(dāng)nk1時，1.當(dāng)nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成