有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分

1、有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分3.6有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式的積分教學(xué)目的：使學(xué)生理解有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法，掌握有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法的一般步驟及其應(yīng)用。重點(diǎn)：有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法及其應(yīng)用難點(diǎn)：有理函數(shù)及三角函數(shù)有理式積分法及其應(yīng)用教學(xué)過(guò)程：一、問(wèn)題的提出前面兩節(jié)我們利用基本積分表、不定積分性質(zhì)和兩種基本積分發(fā)（換元積分法與分部積分法）已經(jīng)求出了一些不定積分。從求解過(guò)程中可見，求不定積分不像求導(dǎo)數(shù)那樣，只要按照求導(dǎo)法則并利用基本求導(dǎo)公式就一定能求出一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而求不定積分卻沒(méi)有那樣容易。即使一個(gè)看起來(lái)并不復(fù)雜的函數(shù)，要求出結(jié)果，有時(shí)候都需要一定的技巧，有些甚至還

2、“積不出”。例如，sinxdxxdx-,edxxInxdx-33 )#1 x被積函數(shù)都是初等函數(shù)，看起來(lái)也并不復(fù)雜，但是在初等函數(shù)范圍內(nèi)卻積不出來(lái)，這是因?yàn)楸环e函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)。本節(jié)主要介紹幾類常見的函數(shù)類型的積分方法與積分計(jì)算技巧。求不定積分的主要方法有“拆、變、湊、換、分、套”“拆”，即將被積函數(shù)拆項(xiàng)，把積分變?yōu)閮蓚€(gè)或幾個(gè)較簡(jiǎn)單的積分?！白儭保创鷶?shù)恒等變形：加一項(xiàng)減一項(xiàng)、乘一項(xiàng)除一項(xiàng)、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等變形：半角、倍角公式，平方和公式，積化和差、和差化積、和角公式；陪完全平方：根號(hào)下配完全平方、分母配完全平方等；“湊”，即湊微法（第一類換元法）?！皳Q”，即第二類

3、換元法（三角代換、倒代換、指數(shù)代換法等）。“分”，即分部積分法?！疤住保刺谆竟?。求不定積分的主要技巧在一個(gè)“巧”字和一個(gè)“練”字，即巧用上述方法和綜合運(yùn)用上述方法。二、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)盹）是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表函數(shù),r # 、 nP（ x） a0x a1xan1x anR（x）Q（x）boxmbixm1bmixbm其中m和n都是非負(fù)整數(shù)；九叭歸，務(wù)及Qi*,%都是實(shí)數(shù)，通?？偧俣ǚ肿佣囗?xiàng)式P（x）與分母多項(xiàng)式Q（x）之間沒(méi)有公因式，并且a0 0，當(dāng)nm時(shí)，稱R(x)為真分式；而當(dāng)nm時(shí)，稱R(x)為假分式一個(gè)假分式總可化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和的形式.例如x4X32x12XX

4、1X1X1.多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算，因此，積有理函數(shù)的分主要是解決真分式的積分問(wèn)題，積分而真分式的往往是轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分式來(lái)計(jì)算.先來(lái)討論鑒此，我們真分式分解為最簡(jiǎn)分式問(wèn)題P(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，真分式麗總可以分解成最簡(jiǎn)分式之和，且具有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：如果Q(x)中有因式(xa)k,那么分解后相應(yīng)有下列k個(gè)最簡(jiǎn)分式之和A1A2Ak(xa)k(xa)k1(xa)其中A、A2、？?？、Ak都是常數(shù).特別地，如果k1,A那么分解后只有一項(xiàng)門；如果q(x)中有因式(x2Pxq)k(P24q0),那么分解后相應(yīng)有下列k個(gè)最簡(jiǎn)分式之和M1XN1M2XN2MkXNk(x2pxq)k(x2pxq)k1x2pxq其中N

5、i都是常數(shù).特別地，如果k1,那MxN么分解后只有一項(xiàng)X2pxq.有理真分式總能分解為若干個(gè)部分分式之和的形式(部分分式是指這樣一種簡(jiǎn)單分式，分母為一次因式或二次質(zhì)因式)。從而得到，有理真分式的積分總可以歸納為以下四種形式的部分分式的積分：A ndX (x a)0)一”x;MxN “pX q dxx(p24qxandx(p24q0),其中系數(shù)A、M、N為常數(shù)PXq)綜上所述，有理函數(shù)分解為多項(xiàng)式及部分分式之和以后，各個(gè)部分都能積出，且原函數(shù)都是初等函數(shù)，因此，有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)。由上述定理，我們得到求有理真分式不定積分空Ldx的步驟書為：Qm(x)第一步將Q”)分解為(2)的形式；第

6、二步將陽(yáng)分解為(3)的形式；Qm(x)第三步求各部分分式的原函數(shù)。下面通過(guò)具體的舉例來(lái)說(shuō)明分解的方法和步驟.例1把x(x1)2分解為最簡(jiǎn)分式之和.解：根據(jù)真分式的性質(zhì)可設(shè)1ABC22X(x1)=x(x1)(x1)上式兩端去分母后，得1A(x1)2BxCx(x1)(1)或1(AC)x2(2ABC)xA(2)因?yàn)檫@是恒等式，等式兩端對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等，于是有AC02ABC0A1從而解得A1,B1,C1.1_L11于是得x(x1)2=X(x1)2(x1).注：此題定A、B、C還有另法：在恒等式中，代入適當(dāng)?shù)膞值，即可求出待定的常數(shù).在式中令x1得B1；令x0,得A1；再令x2,得C1.于是得11nx

7、(x1)2=x(x1)2(x1)x3例2把x25x6分解為最簡(jiǎn)分式之和.x3解：因?yàn)閤25x6(x2)(x3)A_B所以，令x25X6nn,其中A、B為待定常數(shù).上式兩端去分母后，得x3A(x3)B(x2)(3)或x3(AB)x(3A2B)比較兩端系數(shù)有AB1(3AB)3從而解得A5,B6所以x3562x5x6x2x3注：此題也可以米用上例第二種方法確定待定系數(shù).x2例3把(x2)(x22X2)分解為最簡(jiǎn)分式之和.解：因?yàn)榉帜钢衳2解2x2為二次質(zhì)因式，故應(yīng)分為A(xBxC2)(x22x2)x二兩端去分母得x2x2x2A(x22x2)(BxC)(x2)比較兩A2B1端對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不難求得C2所

8、以2x(x2)(x22x2)門廠2x2分式之Ax a、0)等五類由上可知，有理函數(shù)總能分解為多項(xiàng)式及最簡(jiǎn)和，其積分最終歸結(jié)為多項(xiàng)式、AMxNMxNk22kn(xa)、xpxq、(xpxq)(kN,k1,p4q函數(shù)的積分？顯然，前面四類都比較容易積出，我們將在下面的例子中進(jìn)行介紹，而對(duì)于最后一類積分較繁，其結(jié)果可通過(guò)查閱積分表求得，這里不作討論.x3 4x2 2x 9 2 x 5x 6x3 4x2 2x 9解：因?yàn)?x 5x 6又由前面例2知x3 4x2 2x 9 -所以，-x 5x 6 d 2x 5ln x 2 6ln x212 dx 例 5 求 x(x i)2解：因?yàn)?x(x 1)2 = x

9、所以八77 dx,一1一x(x 1)2 (x 1)1Sx2dxx(x 1)dxx2 5x 6_5 65x 6 xc c12(x 1) (x 1)dxIn x一 In x 1 C x 12x.6求(x2)(x22x2)解：由例x3可得2x2dxx,2x2x22dxdx(x2)(x22x2)x2dx1(2x2)1x22a.2dx2dx乂x22x2x22x21 2x 22 N1 d(x21-In x2dx 1 dx2x 2 產(chǎn) 2x 22 2x 2) d(x 1)2x2 2x 2 (x 1)122x 2 arcta n(x 1) C從而dxInarctan(x1)C(x2)(x22x2)Jx22x2

10、二、三角函數(shù)有理式的積分由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)稱為三角有理式。由于各種三角函數(shù)都可用sinx及cosx的四則運(yùn)算來(lái)表示，故三角函數(shù)有理式也可以說(shuō)是由sinx.cosx及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則云素所構(gòu)成的函數(shù)，記為R(sinx,cosx),其中R(u,v)表示兩個(gè)變量的有理式，積分R(sinx,cosx)dx稱為三角有理式的積分。下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明這類函數(shù)的積分方法1例7八求1sinxcosx解：因?yàn)閤 x 2sin cos22 sin x.2 x 2 x sin cos2 coscosx2x . 2 x sin -22x 2ta n.2 x1 tan 22 x 1 tan2

11、.2 x 2 x sin cos一2 22 x 1 ta?所以，令噸2usi nx 1 u2 cosx2arctanu )21 u1 u2 dx 1 u2于是:2du代入原積分得221u1u1uduIn1uC1uxIn1tanC2一般說(shuō)來(lái),對(duì)于三角函數(shù)有理式積分，總可u,其.x作變量代換tan2轉(zhuǎn)化為u的有理函數(shù)的積1sinxcosxdx,12u221u分即有R(sinx,cosx)dx2u1cu12u2u2duu1例8求sinx(1.x解：令tan2sinxdxcosx)1sinx,，則x2arctanudxsinx(1cosx)111 1u2du2 u1|n21|n2于是12u4u2tan

12、-tan4最后需要指出的是：上面所談兩類函數(shù)的積分方法是常規(guī)方法，雖然有效但往往非常麻煩，因此，在具體解題時(shí)，應(yīng)盡量采用其它簡(jiǎn)便方法，只有在用其它方法難以積分的情況下才采用上述方法.如下面的例題2例9求廠dx解：此題屬于有理函數(shù)積分，可采用上述常規(guī)方法做，但用下列方法計(jì)算較簡(jiǎn)便23x,1d(x1)31lnxdxx313x31例10求(xD2x.解：此題也屬于有理函數(shù)積分，用下列做法計(jì)算較簡(jiǎn)便(x 1)x Adx ? (x 1)八26dx1 dx 6 JdxTldx (x 1)1 1In x 1Cd(x j 6 e d(x 例11x 1 sin x 求 1 sin x % .解：此例屬于三角函數(shù)

13、有理式積分，用下面做法計(jì)算較為簡(jiǎn)便sin x ,dx1 sin xsin x(1 sinx), 2cos x d (cos x)dx形如2 cos x _L tan cosx12-cos xsin x , 2 dxcos x21 cos x ,2 dx cos xdx dxcsinx .cosx .d dx bcosx（a2b2。）的積分,一般可將被a sinx積函數(shù)的分子湊成分母與分母的導(dǎo)數(shù)的線形組合，即令csinxdcosxA(asinxbcosx)B(asinxbcosx)B.通過(guò)比較等式兩端sinx和cosx的系數(shù)，求出A和對(duì)形如sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx,cosmxcosnxdx的積,般是