常微分方程第四章

1、3.4 階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法 對于齊次方程（3.4）而言，只要能得到該方程的一個基本解組，即，個線性無關(guān)的解我們就能得到方程（3.4）的通解.但是，對于一般的階線性齊次微分方程，它的基本解組很難找到.可是，當(dāng)齊次方程（3.4）的系數(shù)都是實常數(shù)時，求它的基本解組的問題卻可以轉(zhuǎn)化為求一個一元次多項式方程根的問題.如果能夠求得這個一元次多項式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解組，從而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如的方程（其中均為實常數(shù)），稱為階常系數(shù)線性微分方程.如果，即稱為階常系數(shù)線性齊次微分方程.如果，稱為階常系數(shù)線性非齊次微分方程.本節(jié)主要介紹階常系數(shù)線性齊次微分

2、方程的解法，先研究一階常系數(shù)線性齊次微分方程這是一個變量可分離的方程，采用初等積分法，可求得該方程的一個非零解.因為方程是一階的，所以基本解組中只含有一個解，即. 對于階常系數(shù)線性齊次微分方程而言，我們猜想該方程也有形如的解，其中是待定常數(shù).為了確定，可以將代入方程.這時，需要計算的各階導(dǎo)數(shù)代入方程得：因為，所以有該一元次方程稱為常系數(shù)線性微分方程的特征方程.該方程的根，稱為線性微分方程的特征根. 是階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，當(dāng)且僅當(dāng)是線性微分方程的特征根.這樣，求階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，就轉(zhuǎn)化為求特征方程的特征根的問題了. 下面根據(jù)特征根的情況來討論常系數(shù)線性齊次微分方程的解. 1

3、、特征根互異 首先，假設(shè)特征方程有個互異的實根.這時，就可以得到相對應(yīng)的個解 因為兩兩互異，所以是個線性無關(guān)的解，即，它們就是齊次微分方程的基本解組，所以齊次微分方程的通解為.其中是任意常數(shù). 例1 求方程的通解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解組為因此方程的通解為其中是任意常數(shù). 例2 求方程的通解及滿足初始條件：的特解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解組為因此方程的通解為其中是任意常數(shù). 下面來求滿足初始條件的特解，將初始條件代入得所以，因此所求的特解為. 其次，互異的特征根中含有復(fù)根，即中有復(fù)數(shù)，不妨設(shè)（為實數(shù)）.這時，所對應(yīng)的解為.由于為復(fù)數(shù)，應(yīng)該如何定義呢？定義之后的求導(dǎo)

4、與為實數(shù)時的求導(dǎo)計算是否相同呢？下面我們來解決這些問題. 給出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式后，我們可以轉(zhuǎn)化為三角形式，例如其中.同時，復(fù)數(shù)也可以寫成指數(shù)形式，即所以有于是有. 有了定義之后，我們來研究為復(fù)數(shù)與為實數(shù)時的求導(dǎo)計算是否相同. 性質(zhì)1.無論是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，總有. 證明 當(dāng)為實數(shù)時，上述結(jié)論是已知的.那么我們證明為復(fù)數(shù)的情形，設(shè)，為實數(shù).因為所以. 由性質(zhì)1，可得：無論是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，總有. 性質(zhì)2.無論是實數(shù)還是復(fù)數(shù)，對任意實數(shù)，總有. 證明 當(dāng)為實數(shù)時，上述結(jié)論是已知的.那么我們證明為復(fù)數(shù)的情形，設(shè)，為實數(shù).這時所以. 有了上述定義和性質(zhì)，所對應(yīng)的解為是滿足常系數(shù)線性齊次微分方程的.但是，這個解

5、是復(fù)數(shù)形式的解，下面給出復(fù)解的概念，并把復(fù)解實數(shù)化. 定義3.4 函數(shù)都是實數(shù)函數(shù)，設(shè)復(fù)值函數(shù)是常系數(shù)線性齊次微分方程的解，則稱復(fù)值函數(shù)為方程的復(fù)解. 定理3.11設(shè)復(fù)值函數(shù)是常系數(shù)線性齊次微分方程的解，則復(fù)值函數(shù)的實部和虛部都是方程的解. 證明 因為復(fù)值函數(shù)是常系數(shù)線性齊次微分方程的解，所以有即即所以即，實部和虛部都是方程的解. 我們繼續(xù)討論互異特征根中含有復(fù)數(shù)的情形，如果互異特征根中含有一個復(fù)數(shù)，則該復(fù)數(shù)根對應(yīng)一個復(fù)解而該復(fù)解的實部函數(shù)和虛部函數(shù)都是齊次方程的解，即，該復(fù)根對應(yīng)齊次方程的兩個解.下面有兩個問題需要解決：（1）一個復(fù)特征根對應(yīng)兩個解，則解的個數(shù)會多于個，怎么處理？（2）將復(fù)解

6、實數(shù)化后得到的解，與實特征根所對應(yīng)的解組成的函數(shù)組是不是基本解組呢？ 因為方程的系數(shù)全為實數(shù)，所以特征方程就是實系數(shù)的，因此，特征根出現(xiàn)復(fù)根時，必是共軛出現(xiàn)的.即，是特征根，則也是特征根.這樣，復(fù)解是成對出現(xiàn)的，所對應(yīng)的復(fù)解為這時，它的實部函數(shù)和虛部函數(shù)同的所對應(yīng)的復(fù)解的實部函數(shù)和虛部函數(shù)等價，因此，這一對共軛的特征根對應(yīng)兩個解.故解的個數(shù)不會增加，仍然是個.而且，實部函數(shù)和虛部函數(shù)可以由所對應(yīng)的兩個復(fù)解和來表示，即 下面來解決第二個問題，將復(fù)解實數(shù)化后與實特征根所對應(yīng)的解組成的函數(shù)組仍然是線性無關(guān)，從而仍然為齊次方程的基本解組. 定理3.12 如果是在區(qū)間上的個線性無關(guān)的函數(shù)，是兩個非零常數(shù)

7、，則函數(shù)組在區(qū)間上仍是線性無關(guān)的. 證明 設(shè)函數(shù)組的線性組合等于零.即即因為函數(shù)組是線性無關(guān)的，所以因為不為零，由可得：所以因此，函數(shù)組在區(qū)間上仍是線性無關(guān)的. 解決了上述問題后，互異特征根出現(xiàn)一個復(fù)根時，則與它共軛的復(fù)數(shù)也是特征根，這一對特征根對應(yīng)一對實數(shù)解，而且得到的新函數(shù)組仍然為基本解組.如果出現(xiàn)兩對共軛的特征根，則會對應(yīng)兩對實數(shù)解，而且得到的新函數(shù)組仍然為基本解組，依次類推，遇到復(fù)數(shù)特征根都可以將它所對應(yīng)的復(fù)解實數(shù)化. 例3 求方程的通解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解組為因此方程的通解為其中是任意常數(shù). 例4求方程的通解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解組為因此方程的通

8、解為其中是任意常數(shù). 2、特征根有重根 設(shè)是重特征根（為實數(shù)或復(fù)數(shù)），則對應(yīng)著齊次方程的一個解.但是，是重特征根，相當(dāng)于個特征根，只得到了一個解.這時得到的線性無關(guān)解的個數(shù)會少于個，構(gòu)不成基本解組.所以重特征根應(yīng)該對應(yīng)個線性無關(guān)的解，那除了外還應(yīng)補(bǔ)上個解，應(yīng)該補(bǔ)上哪些解呢？我們先研究二階常系數(shù)線性齊次微分方程有重根的情形. 設(shè)二階齊次方程為其中. 特征方程為特征根為則得到二階齊次方程的一個非零解. 利用劉維爾公式可求得與線性無關(guān)的另一個解，即，當(dāng)是二重特征根時，除了對應(yīng)解之外，還對應(yīng)另外一個與線性無關(guān)的解. 與二階方程類似，我們猜想，當(dāng)是重特征根時，對應(yīng)的個線性無關(guān)的解為下面來證明這個猜想，即

9、證明是階常系數(shù)線性齊次方程的解. 首先，特征方程為記，因為是重特征根，所以且下面求的各階導(dǎo)數(shù)，由牛頓萊布尼茲公式得：代入得因為，所以因此故是階常系數(shù)線性齊次方程的解. 以上只討論了是重根的情形，對于一般的情形，我們有如下的定理. 定理3.13 如果方程有兩兩互異的特征根，它們的重數(shù)分別為，且，則齊次方程的基本解組為. 證明 由上述論證，函數(shù)組中的每一個函數(shù)都是齊次方程的解.現(xiàn)在只需要證明它們是線性無關(guān)的函數(shù)組. 設(shè)函數(shù)組的線性組合等于零，即.整理可得：.即.假設(shè)至少有一個不為零，則中至少有一個不是零多項式，不妨假定不恒為零.而至多為次多項式，在.兩邊同時乘以得.對上式關(guān)于求次導(dǎo)數(shù)，這時有（其中

10、是與同次數(shù)的多項式）所以，上式化為再在兩邊同時乘以得對上式關(guān)于求次導(dǎo)數(shù)，這時有所以上式化為序行此法，最后可得而，所以，故，這與不恒為零矛盾.因此假設(shè)不成立，即全為零.所以，函數(shù)組是線性無關(guān)的，從而是基本解組. 由定理3.13，我們得到了方程的基本解組，從而可以寫出齊次方程的通解為. 如果在上述基本解組中，出現(xiàn)了復(fù)解，那么同單根的情形一樣，可以取其實部函數(shù)和虛部函數(shù)，將復(fù)解實數(shù)化.例如是重的特征根，則與其共軛的復(fù)數(shù)也是重的特征根，這一對共軛的特征根會對應(yīng)個復(fù)解將這個復(fù)解實數(shù)化，得到個實解由定理3.12知，替換后的函數(shù)組仍是基本解組.對于其它復(fù)數(shù)根，也可以采用同樣的處理方法，最后就可以得到方程的個線性無關(guān)的實解. 例5 求方程的通解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解組為因此方程的通解為其中是任意常數(shù). 例6 求方程的通解. 解 特征方程為即從而，特征根為基本解