對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法

1、對(duì)流擴(kuò)散方程有限差分方法求解對(duì)流擴(kuò)散方程的差分格式有很多種，在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1 中心差分格式 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來(lái)逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式 （3） 若令 ，則（3）式可改寫(xiě)為 （4） 從上式我們看到，在新的時(shí)間層上只包含了一個(gè)未知量，它可以由時(shí)間層上的值，直接計(jì)算出來(lái)。因此，中心差分格式是求解對(duì)流擴(kuò)散方程的顯示格式。 假定是定解問(wèn)題的充分光滑的解，將，分別在處進(jìn)行Taylor展開(kāi)： 代入(4)式，有 顯然，當(dāng)，時(shí)，即中心差分格式與定解問(wèn)題是相容的。由以上

2、的討論也可得知，對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式的截?cái)嗾`差為。對(duì)于我們上面構(gòu)造的差分格式，是否可以直接用于實(shí)際計(jì)算呢？也就是說(shuō)，如果初始值有誤差，在計(jì)算過(guò)程中誤差會(huì)不會(huì)擴(kuò)大傳播呢？這就是接下來(lái)我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題。下面用Fourier方法來(lái)分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令，代入到（4）式整理得 所以該差分格式的增長(zhǎng)因子為： 其模的平方為 由于，所以（即差分格式穩(wěn)定）的充分條件為 上式可以改寫(xiě)為 注意到，所以上面不等式滿足的條件為 ， 。由此得到差分格式（3）的穩(wěn)定性限制為 ， 。故有結(jié)論：對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價(jià)定理，我們可以知道，對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式是

3、條件收斂的。3.2 Samarskii格式 設(shè)0，先對(duì)方程(1)作擾動(dòng)，得到另一個(gè)對(duì)流擴(kuò)散方程 （5）其中 ，當(dāng)時(shí)，（5）式化為（1）式對(duì)于（5）式，構(gòu)造迎風(fēng)格式 （6）差分格式（6）稱為逼近對(duì)流擴(kuò)散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)（6）的截?cái)嗾`差。設(shè)是對(duì)流擴(kuò)散方程（1）式的充分光滑的解令 用 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有 再令 用 Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)有 由于 所以 當(dāng)，時(shí)，所以Samarskii格式與定解問(wèn)題是相容的，并且其截?cái)嗾`差為。 現(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將（6）式兩邊同時(shí)加上，把（6）式化為 令 ，則上式即為：根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論，可以得到（6）式的穩(wěn)定性條

4、件為 ， 即 ， 穩(wěn)定性的第二個(gè)條件等價(jià)于 而 利用不等式 所以 利用穩(wěn)定性的第一個(gè)條件，有 ，從而可知穩(wěn)定性條件的第二個(gè)條件可由第一個(gè)條件推出，因此差分格式的穩(wěn)定性條件為 ，即 。 由Lax等價(jià)定理可知，Samarskii格式也是條件收斂的。3.3 Crank-Nicolson型隱式差分格式 前面討論了求解對(duì)流擴(kuò)散方程的兩種顯示格式，它們都是條件穩(wěn)定的，為了放松穩(wěn)定性條件，可以采用隱式格式進(jìn)行求解?，F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式 （7）令，則（7）式可化為 （8）把（8）式用矩陣的形式 = + （9）設(shè) ， ， ， 則有 下面討論Crank-Nicolson型格式的截?cái)嗾`

5、差和精度。該格式涉及到時(shí)間層和時(shí)間層上的，處六個(gè)點(diǎn)。設(shè)是定解問(wèn)題的充分光滑的解，把(7)式中各的值用代替，然后將， ，分別在點(diǎn)處進(jìn)行Taylor展開(kāi)： 這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是（7）式的截?cái)嗾`差 顯然，Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來(lái)看看該格式的穩(wěn)定性情況，我們還是用Fourier方法來(lái)分析。令，代入到（8）式 整理得 所以Crank-Nicolson型格式的增長(zhǎng)因子是 其模的平方 改寫(xiě)上式 由于 及上式的分母為正，故 即 ，從而得出Crank-Nicolson型格式是無(wú)條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax 等價(jià)定理，Crank-Nicolson型格式也是無(wú)條

6、件收斂的。4、數(shù)值例子 給出如下對(duì)流擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題： 所討論的對(duì)流擴(kuò)散方程的精確解為 4.1 三種差分格式的比較 在各種對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題中，有許多對(duì)流相對(duì)于擴(kuò)散來(lái)說(shuō)在問(wèn)題中起主導(dǎo)作用。對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此，對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的有效數(shù)值解法一直是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究?jī)?nèi)容。取，此時(shí)上面給出的就是一個(gè)對(duì)流占優(yōu)擴(kuò)散問(wèn)題。那么，本文討論的三種差分格式對(duì)對(duì)流占有擴(kuò)散問(wèn)題的求解效果是怎樣的呢？現(xiàn)在我們就來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題。首先，根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件，確定的取值范圍。（1）中心差分格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件 ，可知，要使中心差分格式穩(wěn)定，的取值必須滿足：（2）Samarskii格式：根據(jù)穩(wěn)定

7、性條件 可知，的取值必須滿足： （3）Crank-Nicolson格式：該差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的，所以可以取任意值。 要使三種差分格式都是穩(wěn)定的，不妨取。 首先，我們通過(guò)表格看看三種差分格式的數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對(duì)誤差。 表4.1 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.219201.219201.219201.21920.11.1009-0.00231.10760.00441.10340.00021.10320.20.9950-0.00321.00510.00690.99850.00030.998

8、20.30.8999-0.00330.91100.00780.90350.00030.90320.40.8142-0.00310.82500.00770.81750.00020.81730.50.7367-0.00280.74670.00720.73970.00020.73950.60.6666-0.00250.67570.00660.66930.00020.66910.70.6031-0.00230.61140.0060.60560.00020.60540.80.5459-0.00190.55320.00540.54800.00020.54780.90.4931-0.00260.50060.

9、00490.49590.00020.49571.00.448500.448500.448500.4485表4.2 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.489401.489401.489401.48940.11.3450-0.00271.35370.0061.34790.00021.34770.21.2144-0.00501.23010.01071.21990.00051.21940.31.0969-0.00651.11710.01371.10400.00061.10340.40.9915-0.00

10、691.01370.01530.99900.00060.99840.50.8966-0.00680.91910.01570.90400.00060.90340.60.8115-0.00590.83270.01530.81790.00050.81740.70.7333-0.00630.75390.01430.74020.00060.73960.80.6656-0.00360.68240.01320.66960.00040.66920.90.5982-0.00740.61760.0120.60620.00060.60561.00.547900.547900.547900.5479表4.3 時(shí)三種差

11、分格式的結(jié)果比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.819601.819601.819601.81960.11.6433-0.00311.65380.00741.64670.00031.64640.21.4839-0.00581.50320.01351.49020.00051.48970.31.3397-0.00831.36600.0181.34870.00071.34800.41.2100-0.00971.24100.02131.22050.00081.21970.51.0923-0.01131.12690.02331

12、.10460.0011.10360.60.9892-0.00941.02260.02400.99940.00080.99860.70.8911-0.01250.92740.02380.90470.00110.90360.80.8121-0.00550.84040.02280.81810.00050.81760.90.7257-0.01410.76120.02140.74100.00120.73981.00.669400.669400.669400.6694表4.4 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差0

13、2.222902.222902.222902.22290.12.0073-0.0042.02040.00912.01170.00042.01130.21.8132-0.00671.83640.01651.82050.00061.81990.31.6366-0.01011.66910.02241.64760.00091.64670.41.4794-0.01061.51690.02691.49090.00091.49000.51.3325-0.01571.37840.03021.34960.00141.34820.61.2087-0.01121.25210.03221.22090.0011.219

14、90.71.0839-0.01991.13700.03321.10560.00181.10380.80.9915-0.00731.03180.0330.99940.00060.99880.90.8809-0.02290.93580.0320.90570.00190.90381.00.817700.817700.817700.8177接下來(lái)，我們看看這三種差分格式在不同時(shí)間的圖形。圖4.1 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.2 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.3 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.4 時(shí)三種差分格式結(jié)果的比較4.2 結(jié)果分析由表格中的數(shù)據(jù)以及圖示可以看出，對(duì)于對(duì)流擴(kuò)散方程的數(shù)值求解，

15、三種差分格式的穩(wěn)定性都比較好，其中以Crank-Nicolson格式的效果最好。5.小結(jié)對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的數(shù)值求解一直是許多計(jì)算工作者比較重視的一類問(wèn)題。本文分析了對(duì)流擴(kuò)散方程的中心差分格式、Samarskii格式以及Crank-Nicolson格式。中心差分格式和Samarskii格式是顯式格式，所以很適合于并行計(jì)算，但由于穩(wěn)定性條件的限制，必須采用非常小的時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)計(jì)算。Crank-Nicolson格式是隱式格式，它是無(wú)條件穩(wěn)定的，但在每一時(shí)間層上要求解線性方程組，實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算有一定困難。中心差分格式的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易算，但由于截?cái)嗾`差為，又僅當(dāng)，時(shí)才穩(wěn)定和收斂，所以想要算得略為精確一點(diǎn)，就要縮小。并且注意到最大為，若縮