姚老師最愛的兩招表格法與微分算子法

1、姚老師最愛的兩招：表格法與微分算子法，因為效率高，所以喜歡，僅此而已！錄入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！一、 分部積分的表格法分部積分主要針對被積函數(shù)為兩類函數(shù)乘積的類型，主要可以歸納為反冪、對冪、冪三、冪指和三指五種，冪可以擴(kuò)展為多項式函數(shù)，三主要指正弦和余弦兩類三角函數(shù)，基本原則是把其中一類函數(shù)拿去湊微分，遵循“反對冪三指”、越往后越先湊微分的原則，前四種稱為“終止模式”，最后一種稱為“循環(huán)模式”。當(dāng)涉及到冪函數(shù)（多項式函數(shù)）次數(shù)較高時，需多次用到分部積分，計算較繁且易出錯，因此介紹一個推廣公式：定理：設(shè)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。（此定理及證明可略，僅告訴大家，我不是瞎編亂造，而是有理論依據(jù)的?。?/p>

2、【證：用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)時，。設(shè)時， （*）則當(dāng)時，將上式的（*）式中的，則有，從而，得證?！可鲜鍪阶硬⒉缓糜洠囊粋€直觀表達(dá)就是表格法，如下表。的各階導(dǎo)數(shù)的各階原函數(shù)下面通過例子給予演示：（1）“冪三”型例1.1 解：120x1200所以原式=（2）“冪指”型例1.2 解：240所以原式=（3）“反冪”型（尤其是反三角函數(shù)次數(shù)高于1時）例1.3 解：令，則，所以原式=20從而原式=。（4）“對冪”型（尤其是對數(shù)函數(shù)次數(shù)高于1時）例1.4 解：令，則，故原式= （這是冪指類型了，用表格法自己解解看吧！）= 。（5）“三指”型（此為循環(huán)模式，想想與前面的有何不同？）例1.5 解：所以有，求解得。

3、二、 求n階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的微分算子法n階常系數(shù)非齊次線性微分方程為： （*）求解非齊次方程（*）的特解常有三種方法：待定系數(shù)法、常數(shù)變易法和微分算子法。常數(shù)變易法在教材中一階非齊次線性微分方程中已有介紹，待定系數(shù)法在二階非齊次微分方程中著重講解，因此，在此，主要講微分算子法。首先引進(jìn)記號：，于是，（*）式變?yōu)?。記，于是，從而得特解。下面關(guān)鍵是要弄清楚這個算子是如何進(jìn)行作用的呢？通常為冪、三、指、冪三、冪指、三指和冪三指幾種類型，下面分別討論（主要采用書上的例子）。（1）冪：為多項式函數(shù)，采用多項式除法進(jìn)行計算，什么是多項式除法呢？例2.1 解：原方程的一個特解為。（后面可以繼續(xù)

4、寫下去，但是想想，函數(shù)，還有必要嗎？）從而。（2）指：，當(dāng)不是特征方程的根時，將直接代入分母的D；當(dāng)是特征方程的單根時，將分子乘以一個，分母對D求導(dǎo)數(shù)，然后將代入分母；當(dāng)是特征方程的二重根時，將分子乘以一個，分母對D求兩階導(dǎo)數(shù)，然后將代入分母。例 解：（因為不是特征方程的根。）例 解：（因為是特征方程的單根。）例 解：（因為是特征方程的二重根。）（3）三：為正弦函數(shù)或余弦函數(shù)時，由于歐拉公式連接了正、余弦函數(shù)，所以正、余弦函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)來求解，一般采用定理3.5進(jìn)行求解。例2.3 解：（實部）所以先求解方程，此時，故原方程的一個特解。（4）冪三、冪指、三指或冪三指，基本原則：三角函數(shù)看成復(fù)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的實部或虛部，從而轉(zhuǎn)化成冪指類型，將指數(shù)函數(shù)提前，后面的算子中D換成。例 （冪指）解：（注：表示兩次不定積分）由于取的是一個特解，所以可以隨便取，不妨取為0吧，從而得一個特解。例 （三指）解：，所以先求解，解得所以原方程的一個特解為。例 （冪三）解：，所以先求解，解得(這里用了多