定積分在數(shù)學計算中的若干方法

1、渭南師范學院本科畢業(yè)論文題 目： 定積分在數(shù)學計算中的若干方法 學 院： 數(shù)學與信息科學學院 專業(yè)班級： 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2009級2班 畢業(yè)年份： 2013年 姓 名： 范 鑫 學 號： 090741059 指導教師： 周煥芹 職 稱： 教 授 渭南師范學院教務處 制目 錄本科畢業(yè)論文任務書.1本科畢業(yè)論文開題報告.3本科畢業(yè)論文登記表.5本科畢業(yè)論文文稿.7渭南師范學院本科畢業(yè)論文（設計）任務書論文（設計）題目定積分在數(shù)學計算中的若干方法學生姓名范鑫院系、專業(yè)、班級數(shù)信學院數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學2009級2班畢業(yè)年份2013學 號090741059指導教師周煥芹職 稱教授一、文獻查閱指引1

2、、閱讀下列文獻：1同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學（上冊） M，北京：高等教育出版社，2002.2華東師范大學數(shù)學系 編 數(shù)學分析M，北京：高等教育出版社，2001.3四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學M，北京：高等教育出版社，1995.4錢吉林 編 數(shù)學分析題解精粹M，武漢：崇文書局，2003.5田文秋 宋振新 編 高等數(shù)學M，北京：經濟日報出版社，2003,6.6毛綱源 編 高等數(shù)學解題方法技巧歸納M，武漢：華中科技大學出版社，2001.7張?zhí)斓?韓振來 數(shù)學分析同步輔導及習題精解上冊M,天津：天津科學技術出版社,2009.8李慶揚 王能超 易大義 編 數(shù)值分析M,武漢：華中科技大學出版社

3、，1986.9中國科學技術大學高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學導論M，合肥：中國科學技術大學出版社，1995.10張筑生 編 數(shù)學分析新講第三冊M，北京：北京大學出版社，2004.2、通過學校圖書館、數(shù)信學院重點學科資料室查閱紙質文獻.3、通過下列網(wǎng)站查閱電子文獻，許多論文可以通過網(wǎng)址瀏覽、下載.二、內容要求1、查閱一些相關方面的書籍和文獻，了解定積分在數(shù)學中的應用以及價值2、通過歸納總結定積分在數(shù)學中的計算方法，以了解定積分在數(shù)學計算中的應用價值3、在論文中總結的定積分計算方法方法要做到解題簡便、思路清晰、結構嚴密、公式推導正確4、論文可以借鑒已有的研究成果，但不能抄襲三、進度安排1、動員：20

4、12年12月26日2、畢業(yè)論文撰寫起止時間（2012年12月26日2013年5月24日） （1）選題與完成開題報告（2013年3月17日前完成）（2）論文撰寫（3月17日4月30日）（3）論文定稿打?。?月3日）（4）論文評閱（5月9日前完成）（5）答辯資格審查（5月9日前完成）（6）論文答辯（5月11日5月12日） （7）論文成績評定及各種材料整理上交（5月13日5月24日）四、起止日期 2012年12月26日至2013年5月24日指導教師（簽名） 系 主 任（簽名） 主管院長（簽名） 年 月 日注：1. 任務書由指導教師填寫、經系主任及主管院長審批后，在第七學期末之前下達給學生。2. 文獻

5、查閱指引，應是對查閱內容和查閱方法的指引，即查閱什么和怎樣查閱。渭南師范學院本科畢業(yè)論文（設計）開題報告論文（設計）題目定積分在數(shù)學計算中的若干方法學生姓名范鑫院系、專業(yè)、班級 數(shù)信學院數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學2009級2班畢業(yè)年份2013學 號090741059指導教師周煥芹職 稱教授一、擬開展研究的價值、意義本文主要歸納總結了幾種函數(shù)積分方法，牛頓萊布尼茨公式法，換元積分法，分部積分法以及含參變量的積分方法等.牛頓萊布尼茨公式在積分中發(fā)揮了很大作用，但在使用時被積函數(shù)在被積區(qū)間必須聯(lián)系，而且要求出原函數(shù).在很多情況下被積函數(shù)不具備這樣的條件，原函數(shù)不能表示為初等函數(shù).這時可以考慮使用換元積分法

6、、分部積分法和含參變量積分方法.通過這些方法可以較快的計算所求問題，為我們在以后的計算當中減輕了計算量，方便了定積分的計算應用.二、研究步驟、方法及措施1、查找、收集關于定積分應用的資料，包含書籍、期刊論文等2、對收集到的關于定積分的應用進行分析和歸類，與指導老師及同學探討 相關的問題.3、擬定題目,在指導老師的指導下,對有關的問題進行深入研究.4、總結定積分習題的方法，提取有進一步研究價值的內容5、通過實例分析、總結、歸納等過程，總結出對于不同的類型用不同的方法進行應用6、制定提綱，撰寫論文，指導老師批閱給出修改意見.7、對文章做整體的把握、分析、修改，進一步完善內容.三、論文擬定提綱1.緒

7、論（簡單介紹定積分函數(shù)的基本性質及計算方法）.2.詳細介紹定積分函數(shù)的定義及基本性質.3.詳細介紹定積分的各種計算方法.4.針對每一種方法舉出實例并詳細分析、解答.5.得出結論，進行總結.6.結束語.四、主要參考文獻1同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學（上冊） M，北京：高等教育出版社，2002.2華東師范大學數(shù)學系 編 數(shù)學分析M，北京：高等教育出版社，2001.3四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學M，北京：高等教育出版社，1995.4錢吉林 編 數(shù)學分析題解精粹M，武漢：崇文書局，2003.5田文秋 宋振新 編 高等數(shù)學M，北京：經濟日報出版社，2003,6.6毛綱源 編 高等數(shù)學解題方法技

8、巧歸納M，武漢：華中科技大學出版社，2001.7張?zhí)斓?韓振來 數(shù)學分析同步輔導及習題精解上冊M,天津：天津科學技術出版社,2009.8李慶揚 王能超 易大義 編 數(shù)值分析M,武漢：華中科技大學出版社，1986.9中國科學技術大學高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學導論M，合肥：中國科學技術大學出版社，1995.10張筑生 編 數(shù)學分析新講第三冊M，北京：北京大學出版社，2004.指導教師意見： 指導教師簽字： 年 月 日主管院長意見： 主管院長簽字： 年 月 日注：開題報告是在導師的指導下，由學生填寫。渭南師范學院本科畢業(yè)論文（設計）登記表論文（設計）題目定積分在數(shù)學計算中的若干方法學生姓名范鑫院系

9、、專業(yè)、班級 數(shù)信學院數(shù)學系數(shù)學與應用數(shù)學2009級2班畢業(yè)年份2013學 號090741059指導教師周煥芹職 稱教授一、論文摘要（中文）在計算中靈活選出適當?shù)姆椒ê凸揭院喕嬎氵^程. 定積分是高等數(shù)學微積分的重要組成部分，是一種實用性很強的數(shù)學計算方法.歸納總結定積分在數(shù)學計算中若干方法，包括用定義的方法,根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性、對稱性以及具有某些函數(shù)特征的性質來運用定積分的換元積分法、分部積分法對一些常用的定積分計算方法進行歸納總結，從而使在以后的計算中靈活選出適當?shù)姆椒ê凸揭院喕嬎氵^程.二、論文摘要（英文） choose the appropriate flexible metho

10、d and formula in computing in order to simplify the calculation of definite integral is higher mathematics.The important part is the calculation, a practical mathematical method. Summarized the definite integral in the calculation ofMethod, including the definition of the method according to the int

11、egrand parity, symmetry and has certain function characteristic properties to use Integration by substitution, integral subsection integral method of some commonly used the definite integral is summarized, so in order to after the calculation method and formula of flexible selected appropriate to si

12、mplify the calculation process.三、成績評定指導教師評語：本文歸納總結了定積分在數(shù)學計算中的幾種方法，使定積分在計算當中不再純粹依賴于定義、一般公式去解，而是會有更多簡潔方法可以使用，減輕了定積分的運算步驟，從而使定積分在數(shù)學計算中能夠更快速被人掌握與應用該論文符合規(guī)范，結構合理，達到了本科論文規(guī)范要求 指導教師簽字： 年 月 日評閱人評語：選題雖然較為簡單，但是符合專業(yè)要求，該生查閱文獻能力較好，寫作過程中綜合運用所學知識，全面闡述所寫問題文章篇幅符合學院本科生論文要求，內容完整，結構合理，邏輯清晰，但缺少個人見解，參考文獻較為豐富，本文對于初學定積分者熟練掌握

13、定積分的求解方法有一定的幫助與促進評閱人簽字： 年 月 日答辯小組評語：范鑫同學的論文主要歸納總結了定積分在數(shù)學計算中的若干方法，在論文答辯過程中闡述了定積分的各種不同解法，從而使初學者較容易掌握定積分方面的簡單計算與運用。對答辯小組提出的運用分部積分法時需要注意的事項及條件回答的比較完整，答辯情況尚可成 績(分數(shù))答辯小組組長簽字： 年 月 日答辯委員會審核意見：答辯委員會主席簽字： 年 月 日定積分在數(shù)學計算中的若干方法范鑫（渭南師范學院 數(shù)學與信息科學學院數(shù)學系 09級2班）摘 要 ：在計算中靈活選出適當?shù)姆椒ê凸揭院喕嬎氵^程. 定積分是高等數(shù)學微積分的重要組成部分，是一種實用性很強

14、的數(shù)學計算方法.歸納總結定積分在數(shù)學計算中若干方法，包括用定義的方法,根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性、對稱性以及具有某些函數(shù)特征的性質來運用定積分的換元積分法、分部積分法對一些常用的定積分計算方法進行歸納總結，從而使在以后的計算中靈活選出適當?shù)姆椒ê凸揭院喕嬎氵^程.關鍵詞 ：定積分；被積函數(shù)；換元積分法；分部積分法定積分的計算在微分學中占有相當重要的位置，也是學好微分學的關鍵和基礎，但在定積分的計算中往往會使很多人感到比較困難.在初接觸定積分時，大多是按定積分的定義來計算的，運算量大而繁雜，因而很多人都對學習定積分感覺比較困難，其實在定積分的計算中是有簡單辦法可以運用的，通過被積函數(shù)的特點性質以及對

15、定積分計算方法的歸納總結，從而可以找出一些簡單的解題思路與方法.這里簡單介紹幾種根據(jù)定積分定義、基本性質、被積函數(shù)的特點總結歸納出來的具有一般性的計算方法和公式1 按照定義計算定積分定積分的定義法計算是運用極限的思想,簡單的來說就是分割求和取極限.以為例：任意分割,任意選取作積分和再取極限.任意分割任意取所計算出的I值如果全部相同的話，則定積分存在.如果在某種分法或者某種的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在.如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取.但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函

16、數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作的特殊分法，選取特殊的，計算出定積分.第一步：分割.將區(qū)間分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式.，那么分割點的坐標為，.，在上任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的，即左端點，右端點或者中點.經過分割將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形.我們近似的看作是n個小長方形.第二步：求和.計算n個小長方形的面積之和，也就是.第三步：取極限.，即，也就是說分的越細，那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當n趨于無窮之時，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值.例1 用定義法求定積分.解 因為在連續(xù)所以在可積 令將等分成

17、n個小區(qū)間，分點的坐標依次為取是小區(qū)間的右端點，即于是= 所以，.2 用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分引理1 若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù)即=，則在上可積，且=-，這稱為牛頓萊布尼茨公式，它也常寫成=.有了牛頓萊布尼茨公示后，計算定積分關鍵就是找的一個原函數(shù).這就轉化為不定積分的問題了.例2 求.解 已知=+ =-=.3 換元積分法定理1 設1) 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；2) 函數(shù)在區(qū)間上單調,且有連續(xù)導數(shù)；3) 時,且,則=該公式稱為定積分的換元積分公式運用換元積分法需注意兩點：第一,引入的新函數(shù)必須單調,使在區(qū)間上變化時,在區(qū)間上變化,且,第二,改變積分變量時必須改變積分上、下限,簡稱為換元必換限

18、例3 求 解 應用兩種方法.(1) 應用牛頓萊布尼茨公式,首先求不定積分（原函數(shù)）. 設=,有=.= = =+ =+所以+是的一個原函數(shù),由牛頓萊布尼茨公式, =+=.(2) 應用定積分換元積分公式.設 ,有 當時,；當時,.于是= = = =.顯然上述兩種計算方法,后者使用定積分換元積分公式比較簡便.說明計算定積分有時可避免某些復雜的計算.利用三角函數(shù)進行換元,這類換元多為下面三種情況：(1)被積函數(shù)含有因子,設或進行換元；(2)被積函數(shù)含有因子,設或進行換元；(3)被積函數(shù)含有因子,設或進行換元；根據(jù)被積函數(shù)因子的不同形式,通過適當?shù)膿Q元,可以簡化定積分的計算.例4 求解定積分.解 設,有

19、.當時,；當時,.= = = = =.4 分部積分法定理2 設函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)，則有.在這等式的兩邊各取由的定積分， ， 即 ， 或 .這公式叫做定積分的分部積分公式.運用分部積分法時需要注意兩點：第一，被積函數(shù)是兩類不同性質函數(shù)的乘積；第二，選擇的經驗順序為“反、對、冪、指、三”，即依次表示為反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)（多項式函數(shù)）、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，即被積函數(shù)中出現(xiàn)上述五類函數(shù)乘積時，次序在前的通常設為，次序在后的與結合在一起設為.只有合理的選擇，積分才能較好進行.例5 計算.解 設，則，即 當時，；當時，故有 =2() =2() =2 =2所以=2.例6 計算.解 = = =

20、 = =.5 含參變量的積分引理2 （連續(xù)性） 若二元函數(shù)在矩形區(qū)域=上連續(xù)，則函數(shù) =在上連續(xù).引理3（可微性） 若函數(shù)與其偏導數(shù)都在矩形區(qū)域=上連續(xù)，則 =在上可微，且=.引理4（可微性） 設，在=上連續(xù)，為定義在上其值含于內的可微函數(shù)，則函數(shù) =在上可微，且 =+-.例7 計算積分.解 考慮含參量積分，顯然，又，因，所以 = =， 因此 = =，另一方面，所以.6 具有奇偶性函數(shù)的定積分結論1 若函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上連續(xù)，則=例8 設是上的連續(xù)函數(shù)，計算 .解 =. 因為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，又因為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，故為奇函數(shù)，從而.7 周期函數(shù)的定積分結論2 設是周期為T

21、（>0）的連續(xù)周期函數(shù)，為常數(shù)，則 （1） （2），為自然數(shù). 可以利用上面兩式簡化周期函數(shù)定積分的計算. 利用下述各式簡化正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的計算 =0 （在一周期區(qū)間上正弦函數(shù)的定積分等于零）， （在一周期區(qū)間上余弦函數(shù)的定積分等于零）， （余弦函數(shù)在半周期區(qū)間上的積分等于零）.例9 計算.解 因為和都是以為周期的周期函數(shù)，故也是以為周期的函數(shù)，因而原式可以寫成 =.8 分段函數(shù)定積分的計算對于分段函數(shù)的積分首先要弄清積分上下限是常數(shù)還是變量，如是常數(shù)，就要找分段函數(shù)的分段點，然后依據(jù)分段函數(shù)的分段點將積分區(qū)間分為許多個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上求定積分的和；如果是變量，就將變量分情況討

22、論；當被積函數(shù)是給定函數(shù)與某一簡單函數(shù)復合而成的函數(shù)時，要通過變量代換將其化為給定函數(shù)的形式.例10 設 求.解 令則有： =+ =+ =+ =+ =.9 定積分在初等數(shù)學不等式中的應用運用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質：設與都在上可積且；則特別的當時，有.例11 證明貝努利不等式：已知>且，且.求證：.證明 若或且時， .因此 即為.若或且時因此 由此可得.綜合以上可得：當時，且 且 時有由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時，結論仍然成立所以，我們可以得到一個一般的結論設 則若時，有若或時，有當且僅當時，兩式中的等號成立.例12 已知是實數(shù)，并且，其中是自然對數(shù)的底，證明

23、.證明 當時，要證明，只要證明 既要證明 時，因為 從而-=<所以當時， 于是得到.求和：根據(jù)微分與積分互為逆運算的關系,先對和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導即可.本文主要介紹了以下幾種函數(shù)積分方法，牛頓萊布尼茨公式法，換元積分法，分部積分法以及含參變量的積分方法等.牛頓萊布尼茨公式在積分中發(fā)揮了很大作用，但在使用時被積函數(shù)在被積區(qū)間必須聯(lián)系，而且要求出原函數(shù).在很多情況下被積函數(shù)不具備這樣的條件，原函數(shù)不能表示為初等函數(shù).這時可以考慮使用換元積分法、分部積分法和含參變量積分方法，而在實際問題解決中會有很多變數(shù)，因而有時采用某一種方法可能不能解決某些問題，這就需要我們靈活應

24、用所學方法去解決那些問題. （指導老師：周煥芹）參考文獻1同濟大學數(shù)學系，高等數(shù)學（上冊） M，北京：高等教育出版社，2002.2華東師范大學數(shù)學系 編 數(shù)學分析M，北京：高等教育出版社，2001.3四川大學數(shù)學系高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學M，北京：高等教育出版社，1995.4錢吉林 編 數(shù)學分析題解精粹M，武漢：崇文書局，2003.5田文秋 宋振新 編 高等數(shù)學M，北京：經濟日報出版社，2003,6.6毛綱源 編 高等數(shù)學解題方法技巧歸納M，武漢：華中科技大學出版社，2001.7張?zhí)斓?韓振來 數(shù)學分析同步輔導及習題精解上冊M,天津：天津科學技術出版社,2009.8李慶揚 王能超 易大義 編 數(shù)值分析M,武漢：華中科技大學出版社，1986.9中國科學技術大學高等數(shù)學教研室 編 高等數(shù)學導論M，合肥：中國科學技術大學出版社，1995.10張筑生 編 數(shù)學分析新講第三冊M，北京：北京大學出版社，2004.Fixed several method of integral in mathematical calculation ofFAN Xin(Class 2 Grade 2009 Departme