定積分的應(yīng)用63062

1、第十章 定積分的應(yīng)用在上一章引入定積分概念時(shí)，曾把曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程表示為積分和的極限，即要用定積分來加以度量。事實(shí)上，在科學(xué)技術(shù)中采用“分割、作和、取極限”的方法去度量實(shí)際量得到了廣泛的應(yīng)用。本章意在建立度量實(shí)際量的積分表達(dá)式的一種常用方法微元法，然后用微元法去闡述定積分在某些幾何、物理問題中的應(yīng)用。§1平面圖形的面積教學(xué)目標(biāo)：掌握平面圖形面積的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：平面圖形面積的計(jì)算公式(1) 基本要求：掌握平面圖形面積的計(jì)算公式，包括參量方程及極坐標(biāo)方程所定義的平面圖形面積的計(jì)算公式(2) 較高要求：提出微元法的要領(lǐng)教學(xué)建議：(1) 本節(jié)的重點(diǎn)是平面圖形面積的計(jì)算公

2、式，要求學(xué)生必須熟記并在應(yīng)用中熟練掌握(2) 領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng)教學(xué)過程：1、微元法眾所周知，定積分是由積分區(qū)間及被積函數(shù)所決定的，而定積分對(duì)積分區(qū)間具有可加性，即如果把積分區(qū)間作為任意劃分記 把積分值看作是分布在上的總量，看作是在上的局部量，由積分性質(zhì)可見總量等于各個(gè)子區(qū)間上對(duì)應(yīng)的局部量之和。因此，凡是用定積分描述的量都應(yīng)具有這種基本特征對(duì)積分區(qū)間的可加性。另一方面，若，則積分上限函數(shù)關(guān)于積分上限的導(dǎo)數(shù)，于是用定積分度量的量        在上的任意標(biāo)準(zhǔn)子區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的局部量的近似值就是在點(diǎn)處的微分，即  

3、;                                                  

4、0;（10.1）且。所以，用定積分度量的量在上的局部量所需要的近似值應(yīng)是（10.1）表示的的線性函數(shù)，并且與之差為的高階無窮小。通常，把式（10.1）中的局部量的近似值稱為積分微元。此時(shí)總量                           這種建立總量的積分表達(dá)式的方法，通常稱為微元法。2、平面圖形的面積下面我們根據(jù)不同坐標(biāo)系下的曲線

5、方程來建立平面圖形面積公式。（1）直角坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積，首先考慮介于兩曲線，及直線，所圍成的平面圖形（圖6.1）的面積。由于面積是非均勻連續(xù)分布在區(qū)間上且對(duì)區(qū)間具有可加性的量，所以面積可以用定積分來計(jì)算。根據(jù)微元法，取上的標(biāo)準(zhǔn)子區(qū)間，在其上小曲邊梯形的高可近似看成不變的，它的面積可以用高為，寬為的小矩形的面積近似代替，即                 于是所求圖形的面積    

6、0;             （10.2）特別，如果，由連續(xù)函數(shù)、軸及二直線與所圍成的平面圖形（圖6.2）的面積                             （10.3）例1、求

7、由拋物線與所圍成的平面圖形（圖6.3）的面積。 【解】  解聯(lián)立方程                    求得交點(diǎn)與，由公式（6.1）知此圖形的面積                     

8、;               例2、求由拋物線與直線所圍成的平面圖形（圖6.4）的面積。解：解聯(lián)立方程                       求得交點(diǎn)和。此時(shí)，取為積分變量比較方便，相應(yīng)的積分區(qū)間為，于是  &#

9、160;               例3：求所圍圖形的面積。解：方程包括兩條雙曲線與和兩條直線與。它們所圍成的平面圖形如圖6.5所示。  解聯(lián)立方程                        

10、解得交點(diǎn)、，故所求面積    例4、設(shè)，求使                    最小的與。解：若使積分最小，此時(shí)直線應(yīng)與曲線相切，故，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為               從而   令 &#

11、160;               解得駐點(diǎn)，此時(shí)，所以當(dāng)，的值最小。（2）極坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積。設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是，求它與射線、所圍成的曲邊扇形（圖6.6）的面積。其中。取極角為積分變量，它的變化范圍為區(qū)間，則曲邊扇形的面積可看作是展布在上的量。根據(jù)微元法，取上的標(biāo)準(zhǔn)子區(qū)間，在其上的小曲邊扇形的面積可用半徑為、中心角為的圓扇形面積來近似代替，即        &#

12、160;      于是所求曲邊扇形的面積為                           （10.4）特別如圖6.7所示的平面區(qū)域的面積           &#

13、160;   （6.4）同理，設(shè)圖形是由極坐標(biāo)方程、確定的二曲線與射線、所圍成（圖6.8），其面積        （10.5）例5、求四葉玫瑰線所圍成的平面圖形的面積（圖6.9）。解：由圖形的對(duì)稱性，所求面積等于第一象限中陰影部分面積的8倍。在曲線的這一段上，對(duì)應(yīng)的從變到，于是由公式（10.4），有                  &#

14、160; 例6、求笛卡爾葉形線所圍成的平面圖形的面積（圖6.10）。解：因?yàn)檫@條曲線無法從所給方程中解出或，表成顯函數(shù)的形式，所以不能按照公式（10.3）來計(jì)算面積。這就從一個(gè)側(cè)面說明了掌握在極坐標(biāo)下計(jì)算平面圖形面積的必要性。將曲線方程化為極坐標(biāo)方程，令，代入函數(shù)方程，經(jīng)整理得                于是根據(jù)公式（10.4），有         &#

15、160;                         例7、求由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積（圖6.11）。解：在直角坐標(biāo)系下，令                   &#

16、160;  ，則所給的兩條曲線分別為拋物線和直線，它們的交點(diǎn)是和。因此在直角坐標(biāo)系下圖形的面積                  如果仍在極坐標(biāo)系下計(jì)算，此時(shí)面積微元                因?yàn)閮汕€交點(diǎn)為和，于是所求面積可表作   這個(gè)積分

17、計(jì)算起來就復(fù)雜多了?？梢娪?jì)算平面圖形的面積一般要先畫出草圖，選擇在直角坐標(biāo)系，還是在極坐標(biāo)系下的方程來表達(dá)邊界曲線，目的應(yīng)該使所得曲線方程簡單易于積分運(yùn)算。（3）用參數(shù)方程表示的曲線所圍成的平面圖形面積的計(jì)算。如果所給曲線方程為參數(shù)形式                     （10.6）其中單調(diào)增加，且，；，則由曲線（6.6）、軸及直線所圍成的平面圖形面積（圖6.2）  &#

18、160;          （10.7）事實(shí)上，由條件知，存在反函數(shù)，因而曲線方程為                    所以由公式（10.2）知，該平面圖形的面積為       （10.8）上述公式當(dāng)單調(diào)減少時(shí)仍成立，這時(shí)，同時(shí)。例8、求旋輪線與軸所圍成圖

19、形的面積。解：由公式（10.8），有                     §2 由平行截面面積求體積教學(xué)目標(biāo)：掌握由平行截面面積求體積的計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：由平行截面面積求體積的計(jì)算公式 基本要求：掌握由平行截面面積求體積的計(jì)算公式教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須熟記由平行截面面積求體積的計(jì)算公式并在應(yīng)用中熟練掌握(2) 進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)微元法的要領(lǐng)教學(xué)過程：設(shè)為三維空間中的一立體，它夾在垂直于x軸的兩

20、平面之間若在任意一點(diǎn)處作垂直于x軸的平面，則它截得的截面面積顯然是的函數(shù)，記為，并稱之為的截面面積函數(shù)。下面將導(dǎo)出由截面面積函數(shù)求立體體積的計(jì)算公式和旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算公式。一、立體體積設(shè)截面面積函數(shù)是上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。對(duì)作分割 過這些分點(diǎn)作垂直于x軸的平面它們把分成n個(gè)薄片（）。分別表示在上的最大值和最小值，則有 于是，的體積滿足： 由在上連續(xù)知，它在上可積。所以對(duì)任意當(dāng)分割的細(xì)度足夠小時(shí)，就有 所以有 例1、求兩 個(gè)柱面與所圍立體的體積。解： 由對(duì)稱性知，只須計(jì)算第一卦限的體積再乘以8即可。對(duì)任一平面與這部分立體的截面是一個(gè)邊長為的正方形，所以由公式得 例2、求由橢球面所圍立體的體積。 解： 以

21、平面截橢球面。得橢圓 所以截面面積函數(shù)為于是橢球體積為 注：當(dāng)時(shí)，球的體積為二、旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是由平面圖形 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體。則截面面積函數(shù)為 因此旋轉(zhuǎn)體的體積公式為例3、求圓錐體的體積公式。解： 設(shè)正圓錐的高為，底圓半徑為這圓錐體可由平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而得。其體積為 例4、 求由圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得環(huán)狀立體的體積。 解： 圓的上、下半圓分別為 其中故圓環(huán)體的截面面積函數(shù)是 圓環(huán)體的體積為 作業(yè)：P246 : 1;2;3.§3 平面曲線的弧長與曲率教學(xué)目標(biāo)：掌握平面曲線的弧長與曲率教學(xué)內(nèi)容：平面曲線的弧長與曲率的計(jì)算公式(1) 基本要求：掌握平面曲線的弧

22、長計(jì)算公式(2) 較高要求：掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式教學(xué)建議：(1) 要求學(xué)生必須熟記平面曲線的弧長計(jì)算公式(2) 對(duì)較好學(xué)生可要求他們掌握平面曲線的曲率計(jì)算公式教學(xué)過程：一、曲線弧長的概念設(shè)平面曲線，在其上從到依次取分點(diǎn)得曲線的一個(gè)分割： 用線段聯(lián)結(jié)相鄰的點(diǎn)得：。記 分別表示最長弦的長度和折線的總長度。 定義1 對(duì)于平面曲線的無論怎樣的分割，若極限 存在，則稱曲線是可求長的，并稱為曲線的弧長。二、參數(shù)形曲線的弧長的計(jì)算公式定義2 設(shè)平面曲線若與在上連續(xù)可微，且與不同時(shí)為零，則稱為一條光滑曲線。定理1 設(shè)平面曲線為一光滑曲線，則是可求長的，且弧長為 證： 對(duì)作任意分割： ，并設(shè)分別對(duì)應(yīng)與，且

23、于是與對(duì)應(yīng)地得到區(qū)間的一個(gè)分割在上應(yīng)用微分中值定理得 從而有 由為一光滑曲線知，與是等價(jià)的。又由在上連續(xù)從而可積，因此由定義1，只需證明 （*）記則有 由三角不等式易證 又因在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，只要，就有 于是有 由此及（*）式知，所證公式成立。例1、求擺線一拱的弧長。解： 由公式 得 =三、直角坐標(biāo)形曲線的弧長的計(jì)算公式若曲線：，則當(dāng)在上連續(xù)可微時(shí)，此曲線為一光滑曲線，它的弧長公式為 例2、求懸鏈線從到一段的弧長。解： 由公式得 四、極坐標(biāo)形曲線的弧長的計(jì)算公式設(shè)曲線：將其化為參數(shù)形： 當(dāng)在上連續(xù)，且與不同時(shí)為零時(shí)，此極坐標(biāo)曲線是一光滑曲線，其弧長的計(jì)算公式為 例3、求心形線的周

24、長。解： 由公式得 注意：若定理1中公式的上限改為變量，則有 由于被積函數(shù) 連續(xù)，所以有 =后式稱為弧微分。作業(yè)：P246 : 1.§4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積教學(xué)目標(biāo)：掌握旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式教學(xué)內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)曲面的面積計(jì)算公式 基本要求：掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積的計(jì)算公式，包括求由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積；掌握平面曲線的曲率的計(jì)算公式教學(xué)建議： 要求學(xué)生必須熟記旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算公式，掌握由參數(shù)方程定義的旋轉(zhuǎn)曲面的面積教學(xué)過程： 一、微元法 對(duì)任意小區(qū)間，若能把函數(shù)的微小增近似地表示為的線性形式：，其中為某一連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，即，則得 此法稱為微元法。注：采用微元法需注意： 1、所求量關(guān)于分布區(qū)間是代數(shù)可加的； 2、關(guān)鍵是給出，但一般要檢驗(yàn)二、旋轉(zhuǎn)曲面的面積 設(shè)平面光滑曲線，不妨設(shè)。下面求這段曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積。 在點(diǎn)分別作垂直于x軸的平面，它們?cè)谛D(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶。當(dāng)很小時(shí)，此狹帶的面積近似于一圓臺(tái)的側(cè)面積，即 其中由于 因此由的連續(xù)性有 所以得到