多元函數(shù)極值的判定

1、目 錄摘 要.1關(guān)鍵詞.1Abstract.1Keywords.1引 言.11定理中用到的定義.22函數(shù)極值的判定定理. .53多元函數(shù)極值判定定理的應(yīng)用.7參考文獻.8多元函數(shù)極值的判定摘要：通過引入多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，給出了多種方法來判定多元函數(shù)的極值.關(guān)鍵詞：極值；條件極值；偏導(dǎo)數(shù)；判定The judgement of the extremum of the function of many variablesAbstract：This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, an

2、d give several methods to judge the extremum of the function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables.Keywords: extremum; conditional ;partial derivative引言 在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材中，關(guān)于多元函數(shù)的極值判定，一般只講到二元函數(shù)的極值判定，在參考文獻1和3中有關(guān)多元函數(shù)極值的判定是都是在實際情況中一定有極值的問題，本文將引入多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)把二元函數(shù)的極值判定推廣到多

3、元函數(shù)極值問題中去.1 定理中用到的定義定義1.1 函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義.若對于任何點，成立不等式（或），則稱函數(shù)在點取得極大值（或極小值），點稱為的極大值（或極小值）點.定義1.2 設(shè)函數(shù)， .若,且在的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，則當極限存在時，稱這個極限為函數(shù)在點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作.定義1.3 設(shè)為開集， ，若在某個矩陣，使當時，有,則稱元函數(shù)在點可導(dǎo).稱為在點處的導(dǎo)數(shù)，記為.注1：為維列向量.注2：.注3：在導(dǎo)數(shù)存在的條件下，可求得：,它是一個維向量函數(shù).定義1.4 （二階導(dǎo)數(shù)）若元函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在（或內(nèi)某一點）上可微，則稱在（或內(nèi)某一點）上二階可微，并定義維向量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)，記作

4、，并可求得此矩陣為在點的Hesse矩陣.在二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下，它是一個對稱矩陣. 元函數(shù)在點的二階Taylor公式可簡單地寫成：.2 函數(shù)極值的判定定理對于二元函數(shù)的無條件極值的判定，先給出數(shù)學(xué)分析教材中有的相應(yīng)的判定定理.定理2.1 （必要條件）若函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在，切點是是其極值點，則.定理2.2 （充分條件）設(shè)點是函數(shù)的駐點，且在點的某領(lǐng)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在.記則1）當時，點不是函數(shù)的極值點;2）當是，若,則點是函數(shù)的極小值點，若,則點是函數(shù)的極大指點；3)當時，該方法不能判斷其是不是極值點.注3：對于二階導(dǎo)數(shù)存在的二元函數(shù)的極值，這兩個定理能解決絕大多數(shù)的我們碰到

5、的問題（除了的情形）.利用定義1.3和定義1.4，我們可以將這定理2.1和定理2.2推廣到二元以上的函數(shù)中去.定理2.3 （必要條件）設(shè)為開集，n元實值函數(shù)在點可微，且在該點取得極值，則（此0表示n維向量）.證明 由費馬定理知當在點取得極值時，.定理2.4（充分條件）設(shè)為開集，n元實函數(shù)在上存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則當為正定或半正定時，在點取得極小值，當為負定或半負定時，在點取得極大值.證明 ，點坐標分別滿足與，且,，當時，由Taylor公式，有當充分小時,只要，則該式子的符號由確定.當為正定時，二次型，當為半正定時，二次型.故當為正定或半正定時，所以，故點是的極小值點.同理可證，當為負定或半

6、負定時，點是的極大值點.定理2.5 設(shè)在條件的限制下，求函數(shù)的極值問題，其中與在區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).若的內(nèi)點是上述問題的極值點，且雅可比矩陣的秩為，則存在個常數(shù)，使得為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，即為下述個方程：的解.此定理的證明可參閱文獻1第二十三章的定理23.19的證明.由定理5可見條件極值的問題都可以通過拉格朗日數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為無條件極值的形式來求解，即上述判定無條件極值的定理都可以用來判定條件極值.除此之外，我們用二階全微分的符號來判定其是極大值還是極小值.定理2.6 設(shè)為開集，元實值函數(shù)在存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且,則當時，在點取得極小值；時，在點取得極大值.證明 ，.又因為，固由定理4知當

7、正定，即時，為的極小值點，當負定，即時，為的極小值點 .3 多元函數(shù)極值判定定理的應(yīng)用由于函數(shù)的條件極值都可以通過定理5轉(zhuǎn)化成無條件極值，也就是說在條件極值的判定中能充分體現(xiàn)無條件極值的判定. 例3.1 求三元函數(shù)在受約束條件限制下的極值.解 設(shè)，由有：當時，當時，現(xiàn)判斷是極大值還是極小值 .方法1：對函數(shù)用定理2，其中視為的函數(shù)，即，它由決定?？汕蟮?，然后，可求得：當時，故是極大值點.同理可知，當時，其是極小植點所以：注4：利用約束條件把其中的某些變量視為另一些變量的函數(shù)，對目標函數(shù)直接用極值的必要條件來判定.方法2：用二階微分的符號來判定，此時應(yīng)視為常數(shù)，即把前面所求的的值代入，當時，該點

8、是極大值點，當時，該點是極小值點，注5：利用拉格朗日函數(shù)的二階全微分的符號來判定（其中應(yīng)視為常數(shù)）.方法3：利用Hesse的正定或負定性來判定.可求得：，當時，是負定陣，是極大值點；當時，是正定陣，是極小值點.注6：利用本文所引入的多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的定義，由拉格朗日函數(shù)的Hesse陣的定性來判定（其中應(yīng)視為常數(shù)）.例3.2 求函數(shù)的極值，若.解 設(shè),由，可求得： , ,又由，有，代入中，有, ,所以該點是極大值點，且.注7：直接從約束條件中解出某些變量來，再代入函數(shù)中去，一般有個約束條件，就可以解出個變量來，這樣，可是目標函數(shù)減少個自變量，達到減員的目的.除了這幾種方法外，還可以利用極值的定義來直接判定，某些實際問題利用實際意義來判定極值.這些方法在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析或高等數(shù)學(xué)教材中均有涉及，就不在此贅述.參考文獻：1華東師.范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)