常微分方程輔導(dǎo)1

1、常微分方程輔導(dǎo)（填空題、選擇題和解答題-比例是2：3：5。）第一章 初等積分法一基本類型：曲線的切線。例1 曲線使其上每一點(diǎn)的切線斜率是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的m倍，且通過點(diǎn)。分析：（1）這是一個具有基本應(yīng)用型的一階方程，它通過已知斜率與坐標(biāo)之間的相關(guān)概念求解一階方程。（2）它考核的知識點(diǎn)是一階微分方程的概念、解的幾何形式，它的求解，這又是重點(diǎn)。解：（1）設(shè)所求曲線的任意點(diǎn)坐標(biāo)是，依題意，積分有，（2）該曲線過點(diǎn)，有從而有，故，所求曲線方程是+二基本類型的求解（一） 可分離變量方程、齊次方程、一階線性方程、全微分方程。（一階線性方程是重點(diǎn)）1（1）可分離變量方程分離變量有 （2）求解對稱式由，得從而例2

2、。求解方程。分析：1） 這是一個一階可分離變量方程，通過積分可求未知函數(shù)y(x)的通解；2） 它考核的是求解一階可分離變量方程這一知識點(diǎn)。解：方程的通積分為即：如arctany=arctanx+C1.解出y得到通解y=tan(arctanx+C1)。例3 求方程的通解.分析：1）這是一個一階可分離變量方程，通過積分可求未知函數(shù)y(x)的通解。2）它考核的是求解一階可分離變量方程這一知識點(diǎn)。解：分離變量，積分，。2。（1）齊次方程令：有，回代得，進(jìn)而積分有：其解是。例4：求解。分析：1）這是一個一階可化為齊次方程，通過變量代換，分離變量后積分可求未知函數(shù)y(x)的通解,且有常數(shù)解y=0；2）它考

3、核的是求解一階齊次方程這一知識點(diǎn)。解：將方程改寫為，令：y=ux,代入上式化簡有，u=0為一解，分離變量，積分有：，u換為y/x可得，且有常數(shù)解y=0。3。一階線性方程。若q(x)=0線性方程化為齊次方程，有利用常數(shù)變易法設(shè)： ，回代方程，得解：（p-q公式）例5.求方程的通解.分析：1）這是一個一階線性非齊次方程的模型，它可通過先求對應(yīng)的齊次方程的通解，再用常數(shù)變易法求非齊次方程的特解，最后由解的結(jié)構(gòu)得其通解；也可以用公式法（P-Q公式）之解求解未知函數(shù)y(x)。2）它考核的是求解一階線性非齊次方程、常數(shù)變易法或P-Q公式這些知識點(diǎn)。解：法1，先求齊次方程的通解，。用常數(shù)變易法，設(shè)，求導(dǎo)，回

4、代方程，積分，+（）*，法2，代公式：=注Bernowlli方程令：，有，方程為 ，則解為 (一般性掌握)。4。全微分方程 （1）觀察法（湊微分法）：xdx+ydy=0,有x2+y2=C， （2）公式法（重點(diǎn)掌握）：求解對稱式方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0判別它是否全微分方程？由充要條件則全微分方程由求解公式。 例6。求方程的解。分析：1）這是一個具有組合形式的一階方程，它可通過先判斷其是否為全微分方程，若是就采用求解公式直接積分；還可以用湊微分等方法求解。2）它考核的是求解全微分方程的知識點(diǎn)。解：（1）從而，原方程是全微分方程，（2）由在全平面上可積，?。?，有，從而。例7求解方程

5、.分析：1）這是具有對稱式的一階方程，通過觀察有積分因子(x2-1)-1(y2-1)-1,用起作用后再積分可求未知函數(shù)y(x)的通解,且有常數(shù)解x=±1,y=±1；也可視為一階可分離變量方程，通過初等變型再積分可求未知函數(shù)y(x)的通解，且有常數(shù)解x=±1,y=±1。2）它考核的是求解一階對稱式的方程這一知識點(diǎn)。解：易知，是方程的解。分離變量有,（二）可降階的高階方程F(x,y(k),y(k+1),y(n)=0,令:z= y(k)，F(xiàn)(x,z,z,z(n-k)=0,則：z=z(x,C1,C2,Cn-1),即，y(k)=z(x,C1,C2,Cn-1),積分

6、k次可得其解.例8。求解方程分析：1）這是一個具有5階形式的微分方程，它可通過先變量代換降階化為一解方程，再通過求解可分離變量方程得原方程的通解。2）它考核的知識點(diǎn)是利用降階法求解高階微分方程。解：它是一個5階方程，令：，有：，通解為：z=Cx,從而y(4)=Cx,積分4次：。第二章基本定理一、初值問題解的存在唯一性。二、定理1（解的存在唯一性）：若方程的右端在區(qū)域滿足條件1）在R上連續(xù)；2）在R上關(guān)于y滿足Lip-條件，方程初值問題在區(qū)間上存在唯一解y=g(x), g(x0)=y0, .（一般了解）定理2（解的延拓性）。定理3（解得可微性）。重點(diǎn)、難點(diǎn)：解的存在唯一性定理，畢卡爾-逐次逼近法

7、例1 方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是什么？分析：1）這是一個一階微分方程，它的右邊函數(shù)f(x,y)=(3/2)y1/3，通過對該函數(shù)求偏導(dǎo)來代替Lip-條件，可找到解的存在唯一的區(qū)域。2）它考核的知識點(diǎn)是用更強(qiáng)的條件來代替Lip-條件，得到解的存在唯一的區(qū)域。解：由f(x,y)=(3/2)y1/3知它是連續(xù)函數(shù),則，只要y0它為連續(xù)的，即滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是上半平面或下半平面（不含x軸）.例2 關(guān)于初值問題的畢卡爾逐次逼近法的迭代式是什么？分析：1）這是關(guān)于初值問題的解在理論上保證解的存在重要問題，而它的主要方法是微分方程化為積分方程，通過畢卡爾逐次逼近法，構(gòu)造序列使其收

8、斂，最終得到其解。2）它考核的知識點(diǎn)是微分方程化為積分方程，畢卡爾逐次逼近法。解：設(shè)，則關(guān)于初值問題的逐次逼近法的迭代式是=+。練習(xí)：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上滿足李譜茜斯條件，則存在常數(shù)b>0，對R上的點(diǎn),有 參考答案 一、第三章 高階方程的求解初值問題 而稱 -非齊次方程-齊次方程它們必有解（由方程解的存在唯一性可知）。解的性質(zhì)-解有疊加性、線性相關(guān)（無關(guān)）性、基本解組、其判別方法等。方程的通解的結(jié)構(gòu)是：非齊次方程的通解=齊次方程的通解+非齊次方程的特解。常系數(shù)齊次方程解的具體形式（常數(shù)變易法）設(shè): (特征方程)而r是其特征根。有三種情形：（1）r是相異的實(shí)根；（2）r是m重的實(shí)根；（3）r是

9、m重的復(fù)根。求變系數(shù)齊次方程的特解和通解（已知一個特解）-劉維爾公式應(yīng)用。常系數(shù)非齊次方程的特解的具體設(shè)置 若時，通過常數(shù)變易法解的情形是：設(shè)= 若時，不妨設(shè)，設(shè)重點(diǎn)：方程解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu)，高階方程的特征根解法，非線性齊次微分方程的解法。難點(diǎn)：非線性齊次微分方程的特解的求法例1 求方程y”-5y+6y=0的通解和滿足條件y(0)=1,y(0)=2的特解.分析：1）這是關(guān)于求二階齊次方程通解的問題，它通過微分方程化為代數(shù)特征方程，且求其特征根，來解原方程的通階，并在初值問題的條件y(0)=1,y(0)=2下求其特解。2）它考核的知識點(diǎn)是微分方程化為特征方程，求特征根，二階齊次方程通解。解：1）

10、通解 設(shè)：y=erx ，特征方程r2-5r+5=0，特征根r1=2,r2=3，基本解組e2x,e3x ，通解是y=C1e2x+C2e3x2)特解1= C1+C2，2=2C1+3C2。所以， C1=1，C2=0 ， 故特解為y=e2x。例2 求方程y”-3y=e5x的通解。分析：1） 這是關(guān)于求二階非齊次方程通解的問題，它通過先微分齊次方程的特征方程，且求特征根，來解齊次方程的通解，而后再求非齊次方程的特解，根據(jù)原方程右邊的函數(shù)的具體形式f(x) =e5x，設(shè)出特解形式，回代原方程，通過比較系數(shù)方法，可得齊次方程特解，進(jìn)一步由方程解的結(jié)構(gòu)可寫出通解。2） 它考核的知識點(diǎn)是非齊次方程右邊的函數(shù)的具

11、有f(x) = Ae5x形式的特解、非齊次方程通解。解：1)齊次通解特征方程r2-3r=0，特征根r1=0,r2=3 ，基本解組1,e3x ， 通解是y=C1+C2e3x2）非齊次通解在f(x)= e5x中，a=5不是特征方程的根，不妨設(shè)：y1=Ae5x,求導(dǎo)回代方程有：A=10-1，所以y1=10-1e5x，非齊次通解為y=C1+C2e3x+10-1e5x。例3 求方程y”+y=2sinx的解。分析：1） 這也是關(guān)于求二階非齊次方程通解的問題，它通過先微分齊次方程的特征方程，且求特征根，來解齊次方程的通解，而后再求非齊次方程的特解，根據(jù)原方程右邊的函數(shù)的具體形式f(x) =2sinx，設(shè)出特

12、解形式，回代原方程，通過比較系數(shù)方法，可得齊特解，進(jìn)一步由方程解的結(jié)構(gòu)可寫出通解。2） 它考核的知識點(diǎn)是：非齊次方程右邊的函數(shù)的具有f(x) =Acosx+Bsinx形式的特解、非齊次方程通解。解：1)齊次通解特征方程r2+1=0特征根r1=i,r2=-i基本解組cosx,sinx通解是y=C1 cosx+C2sinx.2）非齊次通解在f(x)=2sinx中，=0±i是特征方程的根，不妨設(shè)：y1=x(Acosx+Bsinx),求導(dǎo)回代方程有：A=-1,B=0,所以y1=-x*cosx，非齊次通解為 y=C1 cosx+C2sinx-x*cosx.拉普拉斯變換1）定義，2）性質(zhì)。例4

13、求函數(shù)f(t)=t的拉普拉斯變換.分析：1） 是關(guān)于求解積分變換的問題，可直接利用拉普拉斯變換定義和性質(zhì)，計(jì)算它的函數(shù)值。2） 它考核的知識點(diǎn)是拉普拉斯變換定義和性質(zhì)。解：Lt= = = =練習(xí)：一、填空題1設(shè)函數(shù)組是則它的朗斯基行列式為 。2、 函數(shù)，則與是 。3、若二階微分方程是，且設(shè)，則特征方程是 -，特征根是 ，二階微分方程的解是 。4、若函數(shù)是2階線性齊次方程的2個線性無關(guān)的解，則它的朗斯基行列式是 。5、若函數(shù)的拉普拉斯變換是，則。 ， 。二、選擇題1、二階常系數(shù)齊次微分方程的通解是（ ）。（A）（B）（C）（D）。2、三階微分方程的特征方程其根是，它的基本解組是，則該方程的通解是

14、（ ）。（A） （B）（C） （D）3、二階微分方程所對應(yīng)齊次方程的特征根是，而右端函數(shù)中是其特征根，則設(shè)二階微分方程的特解是（ ）。（A）（B）（C）（D）。參考答案一、填空題：1、2、線性相關(guān)。3、，4、 5、。二、選擇題：1、（A）2、(C) 3 、(B) 。第四章 線性方程組（一）齊次方程組dY/dx=A(x)Y+F(x),（二）齊次方程組dY/dx=A(x)Y考慮常系數(shù)齊次方程組dY/dx=AY，可通過非齊異的線性變換Y=TZ使其為dZ/dx=(T-1AT)Z,由代數(shù)知識，存在Ti使ATi=rTi,從而（A-rE）Ti=0,det（A-rE）=0（1）若A有不同的單根，得T-1AT=

15、(ri)n*n（對角形）Yi=erx*Ti(i=1,2,n)為基本解組；（2）若A有不同的重根，得Yi= erx*Ti (i=1,2,n)為基本解組；重點(diǎn)：方程組矩陣表示，常系數(shù)線性方程組解法。難點(diǎn)：常數(shù)變易公式、基本解矩陣、常系數(shù)線性方程組解法。例1：求方程組的通解。分析：1） 是關(guān)于求一階線性齊次方程組的通解的問題，它通過先求齊次方程組的特征方程，且求特征根，利用代數(shù)知識來解齊次方程組的通解。2） 考核的知識點(diǎn)是：求齊次方程組通解。解：1）特征值由系數(shù)矩陣A=,從而=0，有：=0，即，r1=-1,r2=5.2)通解,設(shè)所求解為滿足=0，即：=0，a+b=0,令：a=1,b=-1,有；同理，

16、所求方程的通解為 例2：求方程組的通解。分析：1） 本題是關(guān)于求一階線性非齊次方程組通解的問題，它通過先求對應(yīng)齊次方程組的特征方程，且求其特征根，利用代數(shù)知識來解齊次方程組的通解，在利用常數(shù)變易法，可求出非齊次方程組的特解，最后由方程組解結(jié)構(gòu)得出非齊次方程組的通解；也可用教材上的公式直接求解。2） 考核的知識點(diǎn)是：求非齊次方程組通解。解：?。R次通解 ，2) 齊次通解由常數(shù)變易法有：=，現(xiàn)求導(dǎo)回代原方程有=，從而解之得=，=，所以特解為=，非齊次通解 =+.練習(xí)：一、選擇題：將方程式化為一階方程組是（ ）。（A） （B）（C） （D）。二、解答題：1、求解方程組 2、求解方程組參考答案一、（B

17、）.二、1。提示：直接用公式求解，也可單個方程求解。2。提示：直接用公式求解，也可單個方程求解；若用單個方程求解，先對第二個方程求解，回代第一個方程再求解。第五章 定性與穩(wěn)定性的概念一、相圖，軌線、奇點(diǎn)。二、初等奇點(diǎn)的分類，奇點(diǎn)附近的軌線分布x=a11x+a12y,y=a21x+a22y其中矩陣A=(aij)2*2 ，而特征方程det(A-rE)=0,由它們根的不同情況進(jìn)行拓?fù)浞诸?，奇點(diǎn)分為：結(jié)點(diǎn)，鞍點(diǎn)，焦點(diǎn)，中心等。三、極限環(huán)與周期解（介紹）。四、系統(tǒng)解的穩(wěn)定性概念。（1）解的穩(wěn)定性、解的漸近穩(wěn)定性概念；（2）李雅譜諾夫方法-正定V(x)函數(shù)及其應(yīng)用。重點(diǎn)：李雅譜諾夫方法-正定V(x)函數(shù)及

18、其應(yīng)用，運(yùn)動穩(wěn)定性概念及判定。難點(diǎn)：二維常系數(shù)方程孤立奇點(diǎn)分類，運(yùn)動穩(wěn)定性，周期解與極限環(huán)。（一般了解）例1：單擺的運(yùn)動穩(wěn)定性。分析：1)本題是研究單擺部分運(yùn)動規(guī)律的問題，它通過先把二階方程化為一階方程組，再用在整個區(qū)域上取正定V(x)函數(shù)，通過求全導(dǎo)數(shù)，利用穩(wěn)定性判別定理，可得系統(tǒng)的運(yùn)動穩(wěn)定性。2）考核的知識點(diǎn)是：系統(tǒng)解的穩(wěn)定性概念。解：1）由數(shù)學(xué)建模（牛頓第二定律），列方程有: ,它可化為系統(tǒng)由此知：它的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）是，對應(yīng)的擺錘處于最低點(diǎn)的位置；2）利用李雅譜諾夫方法作正定V(x)函數(shù)有：，求全導(dǎo)數(shù)得，由于它是負(fù)定函數(shù)，由穩(wěn)定性判別定理知，在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)）是穩(wěn)定的。例2 考慮一般

19、的較抽象系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性。分析：1)本題是研究一般的較抽象系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性問題，它通過在整個區(qū)域上取正定V(x)函數(shù)，通過求全導(dǎo)數(shù)，利用階的漸近穩(wěn)定性判別定理，可得系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定性。2）考核的知識點(diǎn)是：系統(tǒng)解的漸近穩(wěn)定性概念。解：作正定的函數(shù)=，它在（x1,x2）上是正定的，它關(guān)于系統(tǒng)的對的全導(dǎo)數(shù)是 =負(fù)定的，由漸近穩(wěn)定性判別定理知，系統(tǒng)在零解（平衡點(diǎn)即奇點(diǎn)）是漸近穩(wěn)定的。練習(xí)：1、 函數(shù)，則它在平面上是（ B ）函數(shù)。（A）正定 （B）負(fù)定 （C）變號 （D）不確定。2、 求方程組的平衡點(diǎn)。3、 研究二階方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。參考答案1（ B ） 2（0，0），（1，0） 3平衡點(diǎn)x=y=

20、0是穩(wěn)定性的。提示：在2、中，令方程組右邊為零。在3、中，令：正定函數(shù)為，求導(dǎo)、由穩(wěn)定性判定定理可得。模擬試題一. 填空題。20分（每小題2分）1 設(shè)方程是,則.2 設(shè)方程是,則.3 若一階線性非齊次方程是,則它的通解.4 若函數(shù)組是(),則它的朗斯基行列式是 與對每5 函數(shù)是的兩個解，則與是線性-關(guān)，且它們構(gòu)成該方程的-解組。6 設(shè)二階方程的特征方程是其特征根是-,-.7 若是n階線性齊次方程n個線性無關(guān)的解，則它的朗斯基行列式W(x)-,.8 若是n階線性齊次方程n個線性無關(guān)的解，是非齊次線性方程的特解，則齊次方程的通解是-， 非齊次線性方程的通解是-。9 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上滿足李普希茲條件，則存在常數(shù)L，對R上點(diǎn)有-.10.函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換是,則:L1=-.二。選擇題30分，(每小題4分最后一小題2分)1.設(shè)函數(shù)連續(xù)可微,則方程是全微分方程的充分必要條件-.(A). (B) . (C) . (D) .2.設(shè)一階方程，則它是-。（A）線性非齊次方程 （B）伯努利方程（C）