導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用

1、第二講 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、 導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的定義對(duì)于一元函數(shù) 對(duì)于多元函數(shù) 對(duì)于函數(shù)微分 注：注意左、右導(dǎo)數(shù)的定義和記號(hào)。二、 導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的計(jì)算：1）能熟練運(yùn)用求導(dǎo)公式、運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分；2）隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)3）高階導(dǎo)數(shù)：特別要注意萊布尼茨公式的運(yùn)用。例1：求函數(shù)在處的階導(dǎo)數(shù)。解：，所以有 （1）利用萊布尼茨公式對(duì)（1）兩邊求階導(dǎo)數(shù)得 當(dāng)時(shí)， 由此可得 例2：求的階導(dǎo)數(shù)。解： 設(shè)其中，則有注：計(jì)算時(shí)注意一階微分不變性的應(yīng)用。4）方向?qū)?shù)與梯度三、 導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及微分的應(yīng)用1）達(dá)布定理：設(shè)在上可導(dǎo)，若則對(duì)介于的一切值，必有，使得。證明：在上可導(dǎo)，則在上一定有最

2、大值和最小值。 1、如果異號(hào)，無妨設(shè)， 由于，由極 限的保號(hào)性，當(dāng)充分接近時(shí)有；當(dāng)充分接近時(shí)有 ，這就說明不可能是在上的最大值， 所以一定存在，使得是在上的最大值，由費(fèi)馬 定理可得。 2、對(duì)于一般的的情形，設(shè)是介于的值，考慮函 數(shù)，則有異號(hào)，由前 面的證明可得，存在有，即。2）羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理 其中，這里在與之間的某個(gè)值。3）一元函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值4）一元函數(shù)的凹凸性：在區(qū)間上凹：和，若，則；在區(qū)間上凸：和，若，則；性質(zhì)：1、如果在區(qū)間上是凹的，則和，若，一定有 ；2、如果在區(qū)間上是凸的，則和，若，一定有 證明：因?yàn)槠渲校杂脭?shù)學(xué)歸納法可證明以

3、上結(jié)論。例3：證明：若，則有 證明：考慮函數(shù)，因?yàn)?所以時(shí)，是凹函數(shù)。因此對(duì)于由性質(zhì)有 5）多元函數(shù)幾何應(yīng)用6）多元函數(shù)的極值：拉格朗日乘數(shù)法。例4：設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，。又在上連續(xù)，證明：至少存在一點(diǎn)使得。證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上存在原函數(shù)，即有?？紤]函數(shù)，則有，由羅爾中值定理可得至少存在一點(diǎn)使得 因此至少存在一點(diǎn)使得。例5：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)， （1）如果，證明：至少存在一點(diǎn)，使得。 （2）如果，且對(duì)一切有，證明：至少存在一點(diǎn) ，使得。證明：（1）如果函數(shù)在上是常數(shù)，則對(duì)于任意的都有。下面設(shè)不是常數(shù)，此種情形下存在使得，無妨設(shè)，取，因?yàn)椋源嬖?，?dāng)時(shí)有 因此我們有，由此我們可

4、得在上的最大值不在端點(diǎn)取得，由最大值和最小值定理和費(fèi)馬定理至少存在一點(diǎn)使得 (2)因?yàn)椋蓨A逼準(zhǔn)則得 考慮函數(shù)，則有在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，并且，由（1）的結(jié)論可得至少存在一點(diǎn)，使得 。例6：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可微，是個(gè)正數(shù)，且，證明：存在使得 證明：利用介值定理，存在使得，無妨我們?cè)O(shè)，對(duì)函數(shù)分別在以為端點(diǎn)區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之間使得因此我們有 例7：設(shè)在上可導(dǎo)，證明：。證明：1）設(shè)在內(nèi)的最大值為，則有 這就得到在上有，特別是； 2）設(shè)在上有，設(shè)設(shè)在內(nèi)的 最大值為，則有 這就得到在上有， 由數(shù)學(xué)歸納法可得在上有。同理可得在上有 。例8：設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在，使得 證明：設(shè)，將在點(diǎn)處展成三階泰勒公式當(dāng)時(shí)，（1）當(dāng)時(shí)，(2)得因?yàn)樵诳蓪?dǎo)，且在之間，由達(dá)布定理可得，存在使得，此時(shí)即有 例9：設(shè)在上二階可導(dǎo)，證明：對(duì)于，存在使得 證明：構(gòu)造函數(shù)，則有，利用羅爾中值定理，存在有，再利用一次羅爾中值定，存在使得，又因?yàn)橛纱丝傻?即有 例10：設(shè)函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可微，且。證明：（1）存在使得； （2）存在使得。證明：（1）考慮函數(shù)，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)定理，存在使得；（2）考慮函數(shù)，因?yàn)?，由羅爾中值定理，存在使得，即有 。例11：設(shè)在上無窮次可微，并且滿足：存在，使得，；且，求證：在上。四、 練習(xí)題1）求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。2）設(shè)在上有階導(dǎo)數(shù)，且