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文檔簡介
1、第三章 導數(shù)與微分一、本章提要1. 基本概念瞬時速度,切線,導數(shù),變化率,加速度,高階導數(shù),線性主部,微分 2. 基本公式基本導數(shù)表,求導法則,微分公式,微分法則,微分近似公式 3. 基本方法 利用導數(shù)定義求導數(shù); 利用導數(shù)公式與求導法則求導數(shù); 利用復合函數(shù)求導法則求導數(shù); 隱含數(shù)微分法; 參數(shù)方程微分法; 對數(shù)求導法; 利用微分運算法則求微分或導數(shù) 二、要點解析問題1 從瞬時速度出發(fā)論述導數(shù)的實際意義,并列舉一些常見變化率. 解析 對于作變速直線運動的質點,若位移變量與時間變量之間的函數(shù)關系為,當從變化到時,在間隔內的平均速度為,此式只反映了在點附近速度變化的快慢程度,即為時刻速度的近似代
2、替量,欲使其過渡到精確值,必須使,即時刻瞬時速度為,也即瞬時速度反映函數(shù)在時刻函數(shù)的變化率(導數(shù)),所以導數(shù)的實際意義表示函數(shù)在此點變化的快慢程度 常見的變化率:曲線的切線斜率是縱坐標對橫坐標的變化率,這是導數(shù)的幾何意義;電流強度是電荷對時間的變化率;線密度是質量對長度的變化率;比熱容是熱量對溫度的變化率,以及人口出生率,經濟增長率,化學反應速度等等 問題2 討論函數(shù)的可導性及如何求函數(shù)的導數(shù)?解析 1. 我們知道,函數(shù)的連續(xù)性只是可導性的必要條件 函數(shù)在點處可導的充分必要條件是左導數(shù)與右導數(shù)存在并且相等,即 因此,要判定一個函數(shù)在某點是否可導,可先檢查函數(shù)在該點是否連續(xù),如果不連續(xù),就一定不
3、可導,如果連續(xù),再用下面兩種方法判定: 直接用定義;求左、右導數(shù)看其是否存在而且相等 當然,也可以不先檢查連續(xù)性而直接用兩種方法判定,但對于不連續(xù)函數(shù),先檢查連續(xù)性往往比較方便 2. 由于在科學技術和工程中所遇到的函數(shù)大多是初等函數(shù)因此,我們把求初等函數(shù)的導數(shù)作為求導的重點先是根據(jù)導數(shù)的定義,求出了幾個基本初等函數(shù)冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)然后再用定義推出了幾個主要的求導法則求導的四則運算法則、復合函數(shù)的求導法則與反函數(shù)的求導法則 借助于這些法則和上述的幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,求出了其余的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式在此基礎上解決了基本初等函數(shù)的求導問題下面是我們解決這
4、個問題的思路:還需指出的是關于分段函數(shù)在分界點的求導問題 例如,有一定義于的函數(shù) 其中與分別在區(qū)間與可導,為其分界點,求 時,由于,所以;時,由于,所以;在的左、右鄰域,由于要從兩個不同的表達式與去計值,所以求必須先用左、右導數(shù)的定義求與如果它們都存在而且相等,那么=在這里特別注意求左、右導數(shù)要按照定義 , 我們不要因為當時,而認為. 在時,是對的,這在上面已經說過但不能誤認為就是,有時可能不存在,如下例所示:證明函數(shù) 在處的導數(shù)不存在因為 , ,所以不存在 問題3 為什么說復合函數(shù)求導法是函數(shù)求導的核心?復合函數(shù)求導法的關鍵是什么?解析 復合函數(shù)求導法是函數(shù)求導的核心在于:利用復合函數(shù)求導法
5、可以解決復合函數(shù)的求導問題,而且還是隱含數(shù)求導法、對數(shù)求導法、參數(shù)方程求導法等的基礎 復合函數(shù)求導法的關鍵是:將一個比較復雜的函數(shù)分解成幾個比較簡單的函數(shù)的復合形式. 在分解過程中關鍵是正確的設置中間變量,就是由表及里一步步地設置中間變量,使分解后的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或易于求導的初等函數(shù),最后逐一求導 求導時要分清是對中間變量還是對自變量求導,對中間變量求導后,切記要乘以該中間變量對下一個中間變量(或自變量)的導數(shù)當熟練掌握該方法后,函數(shù)分解過程可不必寫出例1 設,求. 解 令,由復合函數(shù)求導法則有 ,如果不寫中間變量,可簡寫成 ,在相當熟練之后,可進一步簡寫成 問題4 微分概念在實際應用中
6、有何實際意義?微分與導數(shù)有何區(qū)別?解析 微分概念的產生是解決實際問題的需要計算函數(shù)的增量是科學技術和工程中經常遇到的問題,有時由于函數(shù)比較復雜,計算增量往往感到困難,希望有一個比較簡單的方法對可導函數(shù)類我們有一個近似計算方法,那就是用微分去近似代替,根據(jù)函數(shù)的微分定義知 是函數(shù)增量的線性主部,它有兩個性質:(1)是的線性函數(shù);(2)與之差是的高階無窮?。ó敚┱怯捎谛再|(1),計算的近似值是比較方便的,同時由于性質(2),當很小時,近似程度也是較好的因此,一些科學工作者、工程師以及在實際工作中必須同函數(shù)的增量或導數(shù)打交道的人,在自己所要求的精確范圍內,往往就用微分去代替增量,用差商代替導數(shù) 微
7、分還有一個重要性質,就是微分形式不變性,即不論是一個自變量還是一個變量的函數(shù),的微分這一形式不變需要說明一點是:當為自變量時,作為定義,;當是另一個變量的函數(shù)時,微分與導數(shù)是兩個不同的概念微分是由于函數(shù)的自變量發(fā)生變化而引起的函數(shù)變化量的近似值,而導數(shù)則是函數(shù)在一點處的變化率. 對于一個給定的函數(shù)來說,它的微分跟與都有關,而導數(shù)只與有關. 因為微分具有形式不變性,所以提到微分可以不說明是關于哪個變量的微分,但提到導數(shù)必須說清是對哪個變量的導數(shù)三、例題精解例2 若在點處可導,求 解 因為在點處可導,所以 因此 例3 設當為何值時,在處連續(xù)且可導. 解 因為,所以欲使在處連續(xù),須有 ,由此解得,又
8、 , ,要使存在,則故當時,在處連續(xù)且可導例4 設函數(shù)可微,求函數(shù)的微分解一 因為,所以解二 由一階微分形式不變性得 例5 設,求. 解一 利用乘積求導法則 . 繼續(xù)用乘積求導法則求導得 ,所以 解二 對函數(shù)先用和差化積公式得 , , ,所以 解三 利用“可導的奇(偶)函數(shù)的導數(shù)為偶(奇)函數(shù)”. 由為奇函數(shù)知為偶函數(shù),為奇函數(shù),又因為奇函數(shù)在處函數(shù)值為零,知. 比較上述方法知解三較優(yōu). 例6已知擺線的參數(shù)方程求解一 利用參數(shù)方程求導法求導 , 解二 利用導數(shù)為微分之商求得 , 例7 求由確定的在處的切線方程. 解 方程兩邊取對數(shù),得 ,即,方程兩邊對求導得 ,于是,所以,切線方程為,即例8
9、設有一深為18cm,頂部直徑為12cm的正圓錐形漏斗裝滿水,下面接一直徑為10cm的圓柱形水桶(如圖所示),水由漏斗流入桶內,當漏斗中水深為12cm,水面下降速度為1cm/s時,求桶中水面上升的速度. 解 設在時刻漏斗中水面的高度,漏斗在高為處的截面半徑為,桶中水面高度. 建立變量與的關系,由于在任意時刻,漏斗中的水與水桶中的水量之和應等于開始時裝滿漏斗的總水量,則 ,又因,所以,代入上式得 2 與之間的關系將上式兩邊對求導得 , 所以 ,由已知,當時,代入上式得 ,因此,當漏斗中水深為,水面下降速度為時, 桶中水面上升速度為. 四、練習題1.判斷正誤 若函數(shù)在點處可導,則在點處一定可導; (
10、 × )解析 函數(shù)在一點可導的充要條件是函數(shù)在該點的左右導數(shù)存在并且相等如函數(shù)在處可導,而 在處左右導數(shù)存在但不相等,所以在處不可導 若在點處可導,則在點處一定可導; ( × )解析在一點可導,在該點不一定可導如函數(shù)在處可導,但在處卻不可導 初等函數(shù)在其定義域內一定可導; ( × )解析 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內連續(xù),但連續(xù)不一定可導如函數(shù)是初等函數(shù),其定義區(qū)間為,但 在點處卻不可導 若在可導且為奇(偶)函數(shù),則在該區(qū)間內,為偶(奇)函數(shù); ( )解析 若為奇函數(shù),即,則由導數(shù)定義,所以為偶函數(shù) 若為偶函數(shù),即,則由導數(shù)定義 ,所以為奇函數(shù) 若在點處可微,則在點處也
11、一定可導. ( )解析 因為函數(shù)在一點處可微和可導是等價的,所以命題正確.2.選擇題在處( A );(A)連續(xù); (B)不連續(xù); (C)可導; (D)可微 解析 ,所以,且,則,所以函數(shù)在處連續(xù);另一方面, , ,左右導數(shù)存在但不相等,所以函數(shù)在處不可導,也不可微的導數(shù)為( D );(A); (B); (C);(D) 解析 ,由復合函數(shù)求導法下列函數(shù)中( A )的導數(shù)等于;(A);(B);(C);(D) 解析 (A), (B),(C), (D)若可導,且,則有( B );(A); (B);(C); (D)解析 可以看作由和復合而成的復合函數(shù)由復合函數(shù)求導法 ,所以 已知,則( C )(A);
12、(B); (C); (D) 解一 ,則,依次類推,可知,所以解二 ,所以3. 填空題1 曲線上點處的切線方程為;解 曲線在點的切線斜率為 ,所以曲線在點處的切線方程為 作變速直線運動物體的運動方程為,則其運動速度為 ,加速度為;解 已知變速直線運動的速度是位移的變化率,加速度是速度的變化率,則有運動速度為 ,加速度為 已知,則;解 (由導數(shù)定義);解 若可導,則的導數(shù)為解 由,復合而成,由復合函數(shù)求導法,有 4. 解答題 設,求;解 , 所以 2 已知求;解 時,時,所以 3 求曲線的切線,使該切線平行于直線;解 由隱函數(shù)求導法有 ,所以曲線切線的斜率為 ,設切點坐標為,則 ,又知所求切線平行于直線,所以 ,聯(lián)立、,解得切點坐標為和,因此,所求切線方程為 和,即 和 設在點處連續(xù),且(為常數(shù)),證明在點處可導;證 ,則 ,又因為在點處連續(xù),所以,則 ,于是 ,所以在點處可導,且 有一圓錐形容器,高為10cm,底半徑為4cm,現(xiàn)以5cm3/s的速度把水注入該容器,求
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