導數與微分87444

1、第三章 導數與微分一、本章提要1. 基本概念瞬時速度，切線，導數，變化率，加速度，高階導數，線性主部，微分 2. 基本公式基本導數表，求導法則，微分公式，微分法則，微分近似公式 3. 基本方法 利用導數定義求導數； 利用導數公式與求導法則求導數； 利用復合函數求導法則求導數； 隱含數微分法； 參數方程微分法； 對數求導法； 利用微分運算法則求微分或導數 二、要點解析問題1 從瞬時速度出發(fā)論述導數的實際意義，并列舉一些常見變化率. 解析 對于作變速直線運動的質點，若位移變量與時間變量之間的函數關系為，當從變化到時，在間隔內的平均速度為，此式只反映了在點附近速度變化的快慢程度，即為時刻速度的近似代

2、替量，欲使其過渡到精確值，必須使，即時刻瞬時速度為，也即瞬時速度反映函數在時刻函數的變化率（導數），所以導數的實際意義表示函數在此點變化的快慢程度 常見的變化率：曲線的切線斜率是縱坐標對橫坐標的變化率，這是導數的幾何意義；電流強度是電荷對時間的變化率；線密度是質量對長度的變化率；比熱容是熱量對溫度的變化率，以及人口出生率，經濟增長率，化學反應速度等等 問題2 討論函數的可導性及如何求函數的導數？解析 1. 我們知道，函數的連續(xù)性只是可導性的必要條件 函數在點處可導的充分必要條件是左導數與右導數存在并且相等，即 因此，要判定一個函數在某點是否可導，可先檢查函數在該點是否連續(xù)，如果不連續(xù)，就一定不

3、可導，如果連續(xù)，再用下面兩種方法判定： 直接用定義；求左、右導數看其是否存在而且相等 當然，也可以不先檢查連續(xù)性而直接用兩種方法判定，但對于不連續(xù)函數，先檢查連續(xù)性往往比較方便 2. 由于在科學技術和工程中所遇到的函數大多是初等函數因此，我們把求初等函數的導數作為求導的重點先是根據導數的定義，求出了幾個基本初等函數冪函數、正弦函數、余弦函數、對數函數與指數函數的導數然后再用定義推出了幾個主要的求導法則求導的四則運算法則、復合函數的求導法則與反函數的求導法則 借助于這些法則和上述的幾個基本初等函數的導數公式，求出了其余的基本初等函數的導數公式在此基礎上解決了基本初等函數的求導問題下面是我們解決這

4、個問題的思路：還需指出的是關于分段函數在分界點的求導問題 例如，有一定義于的函數 其中與分別在區(qū)間與可導，為其分界點，求 時，由于，所以；時，由于，所以；在的左、右鄰域，由于要從兩個不同的表達式與去計值，所以求必須先用左、右導數的定義求與如果它們都存在而且相等，那么=在這里特別注意求左、右導數要按照定義 ， 我們不要因為當時，而認為. 在時，是對的，這在上面已經說過但不能誤認為就是，有時可能不存在，如下例所示：證明函數 在處的導數不存在因為 ， ，所以不存在 問題3 為什么說復合函數求導法是函數求導的核心？復合函數求導法的關鍵是什么？解析 復合函數求導法是函數求導的核心在于：利用復合函數求導法

5、可以解決復合函數的求導問題，而且還是隱含數求導法、對數求導法、參數方程求導法等的基礎 復合函數求導法的關鍵是：將一個比較復雜的函數分解成幾個比較簡單的函數的復合形式. 在分解過程中關鍵是正確的設置中間變量，就是由表及里一步步地設置中間變量，使分解后的函數成為基本初等函數或易于求導的初等函數，最后逐一求導 求導時要分清是對中間變量還是對自變量求導，對中間變量求導后，切記要乘以該中間變量對下一個中間變量（或自變量）的導數當熟練掌握該方法后，函數分解過程可不必寫出例1 設，求. 解 令，由復合函數求導法則有 ，如果不寫中間變量，可簡寫成 ，在相當熟練之后，可進一步簡寫成 問題4 微分概念在實際應用中

6、有何實際意義？微分與導數有何區(qū)別？解析 微分概念的產生是解決實際問題的需要計算函數的增量是科學技術和工程中經常遇到的問題，有時由于函數比較復雜，計算增量往往感到困難，希望有一個比較簡單的方法對可導函數類我們有一個近似計算方法，那就是用微分去近似代替，根據函數的微分定義知 是函數增量的線性主部，它有兩個性質：（1）是的線性函數；（2）與之差是的高階無窮?。ó敚┱怯捎谛再|（1），計算的近似值是比較方便的，同時由于性質（2），當很小時，近似程度也是較好的因此，一些科學工作者、工程師以及在實際工作中必須同函數的增量或導數打交道的人，在自己所要求的精確范圍內，往往就用微分去代替增量，用差商代替導數 微

7、分還有一個重要性質，就是微分形式不變性，即不論是一個自變量還是一個變量的函數，的微分這一形式不變需要說明一點是：當為自變量時，作為定義，；當是另一個變量的函數時，微分與導數是兩個不同的概念微分是由于函數的自變量發(fā)生變化而引起的函數變化量的近似值，而導數則是函數在一點處的變化率. 對于一個給定的函數來說，它的微分跟與都有關，而導數只與有關. 因為微分具有形式不變性，所以提到微分可以不說明是關于哪個變量的微分，但提到導數必須說清是對哪個變量的導數三、例題精解例2 若在點處可導，求 解 因為在點處可導，所以 因此 例3 設當為何值時，在處連續(xù)且可導. 解 因為，所以欲使在處連續(xù)，須有 ，由此解得，又

8、 ， ，要使存在，則故當時，在處連續(xù)且可導例4 設函數可微，求函數的微分解一 因為，所以解二 由一階微分形式不變性得 例5 設，求. 解一 利用乘積求導法則 . 繼續(xù)用乘積求導法則求導得 ，所以 解二 對函數先用和差化積公式得 ， ， ，所以 解三 利用“可導的奇（偶）函數的導數為偶（奇）函數”. 由為奇函數知為偶函數，為奇函數，又因為奇函數在處函數值為零，知. 比較上述方法知解三較優(yōu). 例6已知擺線的參數方程求解一 利用參數方程求導法求導 ， 解二 利用導數為微分之商求得 ， 例7 求由確定的在處的切線方程. 解 方程兩邊取對數，得 ，即，方程兩邊對求導得 ，于是，所以，切線方程為，即例8

9、設有一深為18cm，頂部直徑為12cm的正圓錐形漏斗裝滿水，下面接一直徑為10cm的圓柱形水桶（如圖所示），水由漏斗流入桶內，當漏斗中水深為12cm，水面下降速度為1cm/s時，求桶中水面上升的速度. 解 設在時刻漏斗中水面的高度，漏斗在高為處的截面半徑為，桶中水面高度. 建立變量與的關系，由于在任意時刻，漏斗中的水與水桶中的水量之和應等于開始時裝滿漏斗的總水量，則 ，又因，所以，代入上式得 2 與之間的關系將上式兩邊對求導得 ， 所以 ，由已知，當時，代入上式得 ，因此，當漏斗中水深為，水面下降速度為時， 桶中水面上升速度為. 四、練習題1.判斷正誤 若函數在點處可導，則在點處一定可導； （

10、 × ）解析 函數在一點可導的充要條件是函數在該點的左右導數存在并且相等如函數在處可導，而 在處左右導數存在但不相等，所以在處不可導 若在點處可導，則在點處一定可導； （ × ）解析在一點可導，在該點不一定可導如函數在處可導，但在處卻不可導 初等函數在其定義域內一定可導； （ × ）解析 初等函數在其定義區(qū)間內連續(xù)，但連續(xù)不一定可導如函數是初等函數，其定義區(qū)間為，但 在點處卻不可導 若在可導且為奇（偶）函數，則在該區(qū)間內，為偶（奇）函數； （ ）解析 若為奇函數，即，則由導數定義，所以為偶函數 若為偶函數，即，則由導數定義 ，所以為奇函數 若在點處可微，則在點處也

11、一定可導. （ ）解析 因為函數在一點處可微和可導是等價的，所以命題正確.2.選擇題在處（ A ）；（A）連續(xù)； （B）不連續(xù)； （C）可導； （D）可微 解析 ，所以，且，則，所以函數在處連續(xù)；另一方面， ， ，左右導數存在但不相等，所以函數在處不可導，也不可微的導數為（ D ）；（A）； （B）； （C）；（D） 解析 ，由復合函數求導法下列函數中（ A ）的導數等于；（A）；（B）；（C）；（D） 解析 （A）， （B），（C）， （D）若可導，且，則有（ B ）；（A）； （B）；（C）； （D）解析 可以看作由和復合而成的復合函數由復合函數求導法 ，所以 已知，則（ C ）（A）；

12、（B）； （C）； （D） 解一 ，則，依次類推，可知，所以解二 ，所以3. 填空題1 曲線上點處的切線方程為；解 曲線在點的切線斜率為 ，所以曲線在點處的切線方程為 作變速直線運動物體的運動方程為，則其運動速度為 ，加速度為；解 已知變速直線運動的速度是位移的變化率，加速度是速度的變化率，則有運動速度為 ，加速度為 已知，則；解 （由導數定義）；解 若可導，則的導數為解 由，復合而成，由復合函數求導法，有 4. 解答題 設，求；解 ， 所以 2 已知求；解 時，時，所以 3 求曲線的切線，使該切線平行于直線；解 由隱函數求導法有 ，所以曲線切線的斜率為 ，設切點坐標為，則 ，又知所求切線平行于直線，所以 ，聯立、，解得切點坐標為和，因此，所求切線方程為 和，即 和 設在點處連續(xù)，且（為常數），證明在點處可導；證 ，則 ，又因為在點處連續(xù)，所以，則 ，于是 ，所以在點處可導，且 有一圓錐形容器，高為10cm，底半徑為4cm，現以5cm3/s的速度把水注入該容器，求