六年級(jí)數(shù)學(xué)工程問題(附例題答案)

1、第七講工程問題一、知識(shí)要點(diǎn)在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作總量、工作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的根本數(shù)量關(guān)系是工作總量=工作效率×工作時(shí)間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題.舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子：一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1個(gè)整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天，1天就是一個(gè)單位，因此甲的工作效率是，乙的工作效率是，我們想求兩人合作所需時(shí)間，就要先求兩人合作的工作效率，再根據(jù)根本數(shù)量關(guān)

2、系式，得到所需時(shí)間=工作量÷工作效率 =6天.兩人合作需要6天.這是工程問題中最根本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題開展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可把工作量多設(shè)份額.如上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是30÷3+ 2= 6天實(shí)際上我們把這個(gè)算式，先用30乘了一下，都變成整數(shù)計(jì)算，就方便些.10天與15天，表達(dá)了甲、乙兩人工作效率之間比例關(guān)系.或者說(shuō)“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例.甲、乙工作效率的比是1510=32.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也是

3、非常實(shí)用的.根據(jù)，兩人合作時(shí)，甲應(yīng)完成全部工作的，所需時(shí)間是天.因此，在下面例題的講述中，我們可以采用 “把工作量設(shè)為整體1的做法，也可以“整數(shù)化或“從比例角度出發(fā)、“列方程等，這樣會(huì)使我們的解題思路更靈活一些.二、典型例題例1. 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？解析：甲的工效：1÷91/9 乙的工效：1÷61/6 甲三天做了的：1/9 × 31/3 余下的工作：1 1/3 2/3 乙需做的天數(shù)：2/3 ÷ 1/64天例2. 有一工程，甲隊(duì)單獨(dú)做24天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做3

4、0天完成，甲、乙兩隊(duì)合做8天后，余下的由丙隊(duì)做，又做了6天才完成。這個(gè)工程由丙隊(duì)單獨(dú)做需幾天完成？解析：1-1/24+1/30×8=2/5 6÷2/5=15天例3. 某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成，假設(shè)由甲乙兩人合作，需48天完成，現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么還需要多少天？解析：某工程先由甲單獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天可以完成,可看成甲乙合作28天，甲再另外做了35天所以甲的工效為(1-28/48)/35=1/84，乙的工效為1/48-1/84=1/112甲先單獨(dú)做42天，然后由乙接著做，還需(1-42*1/84)/(1/112)

5、=56天另一個(gè)方法：令甲每天做工程的百分比為x，乙每天做工程的百分比為y那么63x+28y=1 48(x+y)=1求得x=1/84 y=1/112假設(shè)甲獨(dú)做42天，那么完成工程的42/84，即1/2，剩下1/2由乙完成，需要1/2÷1/112=56天例4. 一項(xiàng)工程，甲乙兩人合作4天后，再由乙單獨(dú)做5天完成，甲比乙每天多完成這項(xiàng)工程的，甲乙單獨(dú)做這項(xiàng)工程各需要多少天？甲單獨(dú)做需X天，乙單獨(dú)做需y天4*(1/X + 1/Y)+5/Y=1 1/x -1/y=1/30 X=10 Y=15甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天設(shè)甲單獨(dú)做需X天，那么甲平均每天完成工程的1/X；因?yàn)榧妆纫颐刻於嗤瓿?/p>

6、這項(xiàng)工程的30分之一，就是說(shuō)，乙平均每天完成1/X-1/30；按照條件，甲乙合作4天，4/X+4*(1/x-1/30)，隨后，乙單獨(dú)做了5天，5*(1/x-1/30)，加在一起，完成了這項(xiàng)工程，即，4/X+4*(1/x-1/30) + 5*(1/x-1/30) =1x=10乙每天完成 1/10-1/30=1/15，即，乙單獨(dú)做需15天例5. 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了3天，乙隊(duì)休息了假設(shè)干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊(duì)休息了多少天？16天中甲實(shí)際休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要時(shí)間：

7、7/20÷1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天例6. 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解析1：先讓張某單獨(dú)完成乙，李某單獨(dú)完成甲。乙還剩1-8/15=7/15兩人合作時(shí)間為：7/15/1/15+1/20)=4 所以至少要工作：8+4=12天解析2：小李做甲工效高小李先做甲,小張先做乙,小李完成甲以后再和小張一起做乙至少需要:(1-8/15)÷(1/15+1/20)+8=12天例7. 甲、乙合做一件工作要1

8、5天才能完成，現(xiàn)在甲、乙合做10天后，再由乙獨(dú)做6天，還剩下這件工作的1/10，甲單獨(dú)完成這件工作要多少天？解析： 甲乙合作10天，完成了：10×1/152/3 乙獨(dú)做6天完成了：12/31/107/30 乙每天完成：7/30÷67/180 甲獨(dú)做需要：1÷1/157/18036天例8. 一項(xiàng)工程甲隊(duì)單獨(dú)做15天可以完成，乙隊(duì)獨(dú)坐10天可以完成。現(xiàn)在開始兩隊(duì)合作，但中間乙隊(duì)因另有任務(wù)調(diào)走，從開始到完成任務(wù)，甲隊(duì)工作了9天，乙隊(duì)比甲隊(duì)少工作了多少天？解析：甲獨(dú)做一天的工效為1/15，乙獨(dú)做一天的工效為1/10。合做分想：這項(xiàng)工程甲做了9天，剩下的都是由乙隊(duì)

9、完成的。可以用工作總量減去甲隊(duì)9天的工作量，求出乙隊(duì)工作量，再根據(jù)乙隊(duì)的工作量和工效求出乙隊(duì)的工作時(shí)間：11/15×9÷1/104天。所以乙隊(duì)比甲隊(duì)少工作天數(shù)為：945例9. 甲、乙合做一件工作，合作8天后，乙又獨(dú)做5天，還剩下這件工作的1/6。乙單獨(dú)完成這件工作要30天，那么甲單獨(dú)完成這件工作要多少天？解析：1-1/30×8+5-1/6=12/30=2/5 2/5÷8=1/20 所以需要20天例10. 甲、乙合做一件工作，每天能完成全部工作的1/12，甲單獨(dú)做6天，乙又單獨(dú)做10天后，還剩下全部工作的11/30沒有完成，甲單獨(dú)完成全部工作要多少天？解析

10、：6*1/12=1/2 1-11/30-1/2=2/15 (2/15)/(10-6)=1/30 1/(1/12-1/30)=20例11.一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12天，乙單獨(dú)完成需9天。假設(shè)甲先做假設(shè)干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？解析1：當(dāng)做雞兔同籠問題處理，如果10天都是乙做，能完成：1/9×10=10/9，超出了：10/9-1=1/9，每天，甲比乙少做：1/9-1/12=1/36，甲做了：1/9÷1/36=4天解析2：設(shè)甲做了X天 X×1/12(10-X)×1/91，得出X4甲做了4天例12. 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，

11、丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了假設(shè)干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解析：設(shè)甲做了x天，那么乙做了3x天，丙做了6x天，所以x/12+3x/18+6x/24=1，x/2=1x=2，所以總共用了2+3*2+6*2=20天例13. 一份稿件，甲、乙、丙三人單獨(dú)打字需要的時(shí)間分別是20小時(shí)、24小時(shí)、30小時(shí)，現(xiàn)在三人合打，但甲因中途另有任務(wù)提前撤出，結(jié)果用12小時(shí)完成，甲只打了多少小時(shí)？解析1：甲、乙、丙每小時(shí)單獨(dú)打出稿件的1/20,1/24,1/30，打了12小時(shí)，那么乙和丙分別打了全部稿件的

12、 12/24,12/30，12/24+12/30=9/10，那么甲打了稿件的十分之一，(1/10)除以1/20)=2甲打了2小時(shí)解析2：方程法：設(shè)甲打x小時(shí)。那么：x/20+12*1/24+1/30=1，可解出X=2例14. 一項(xiàng)工程甲單獨(dú)完成要30天，乙單獨(dú)完成要45天，丙單獨(dú)完成要90天?，F(xiàn)在由甲、乙、丙合作完成此工程，在工作過(guò)程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙沒有休息，最后把工程完成了，問完成這項(xiàng)工程前后一共用了多少天？解析1：方程法設(shè)是第x天完成的，(x-2)/30 +(x-3)/45 +x/90=1整理，得x=17解析2：(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=

13、17(天)解釋：假假設(shè)甲、乙沒休息，那么應(yīng)該完成總工程的1+2/30 +3/45例15. 一項(xiàng)工程，甲、乙兩人合做4天后，再由甲單獨(dú)做6天才完成全部任務(wù)。甲比乙每天多完成這項(xiàng)工程的1/80,那么甲、乙單獨(dú)完成各需多少天？解析1：思路同第四題，設(shè)乙每天完成的工作占整個(gè)工作的x，4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1x=1/16，x+1/80=3/40，所以甲40/3天完成，乙16天完成解析2：甲比乙多完成全部任務(wù)的：1/80*461/846表示甲一共做了10天1-1/87/8相當(dāng)于兩人均以乙的工效完成的工作量44614天乙每天完成：7/8÷141/16，甲每天完成：1/161/

14、803/40，單獨(dú)完成甲要：1÷3/4013又1/3天例16. 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解析：甲乙合作的效率=1÷36=1/36，乙丙合作的效率=1÷45=1/45，甲丙合作的效率=1÷60=1/60，甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷2=1/30甲工作的效率=1/30-1/45=1/90三、練習(xí)題1. 某工程甲單獨(dú)干10天完成，乙單獨(dú)干15天完成，他們合干多少天才可完成工程的一半？解：天2. 某工程甲隊(duì)單獨(dú)做需48天，乙隊(duì)單獨(dú)做

15、需36天。甲隊(duì)先干了6天后轉(zhuǎn)交給乙隊(duì)干，后來(lái)甲隊(duì)重新回來(lái)與乙隊(duì)一起干了10天，將工程做完。求乙隊(duì)在中間單獨(dú)工作的天數(shù)。3. 一條水渠，甲、乙兩隊(duì)合挖需30天完工?，F(xiàn)在合挖12天后，剩下的乙隊(duì)單獨(dú)又挖了24天挖完。這條水渠由甲隊(duì)單獨(dú)挖需多少天？4. 單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效5. 某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條

16、件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？這樣一來(lái)，問題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。6. 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個(gè)車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個(gè).問丙車間制作了多少個(gè)零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200個(gè)零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8

17、×2=16份，丙完成30-16=14份，就知乙、丙工作效率之比是1614=87.甲、乙工作效率之比是 32= 128.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.當(dāng)三個(gè)車間一起做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400÷12- 8 × 7= 4200個(gè). 7. 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10小時(shí)，乙需要12小時(shí)，丙需要15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B，甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬

18、運(yùn)3小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5小時(shí).解此題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間.此題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為 60.甲每小時(shí)搬運(yùn) 6，乙每小時(shí)搬運(yùn) 5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要60 × 2÷ 6+ 5+ 4= 8小時(shí).甲需丙幫助搬運(yùn)60- 6× 8÷ 4= 3小時(shí).乙需丙幫助搬運(yùn)60- 5× 8÷4= 5小時(shí).8.一件工作，甲獨(dú)做12天完成，乙獨(dú)做18天完成，丙獨(dú)做24天完成。這件工作先由甲做了假設(shè)干天，然后乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作，求這件工作做完共用了多少天？【解析】：解法一：列方程