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文檔簡介
1、第一章 習題解答1、證明 A(BC)(AB)(AC)證明:設xA(BC),則xA或x(BC),若xA,則xAB,且xAC,從而x(AB)(AC)。若xBC,則xB且xC,于是xAB且xAC,從而x(AB)(AC),因此A(BC) (AB)(AC)(1)設x(AB) (AC),若xA,則xA(BC),若xA,由xAB且xAC知xB且xC,所以xBC,所以xA(BC),因此(AB)(AC) A(BC)(2)由(1)、(2)得,A(BC)(AB)(AC) 。2、證明ABA(AB)(AB)BA(BC)(AB)(AC)(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)84(AB)(CD)(AC)(BD)A(
2、AB)AB證明:A(AB)AC(AB)A(CACB)(ACA)(ACB)(ACB)AB(AB)B(AB)CB(ACB)(BCB)(ACB)AB(AB)(AC)(AB)C(AC)(AB)(CACC)(ABCA)(ABCC)A(BCC)A(BC)(AB)C(ACB)CCAC(BC)A(BC)A(BC)AC(BCC)A(CBC)(ACB) (AC)(AB)(AC)(AB)(CD)(ACB)(CCD)(AC)(CBCD)(AC)C(BD)(AC)(BD)A(AB)AC(ACB)A(CAB)(ACA) (AB)(AB)AB3、證明: (AB)C(AC)(BC)85A(BC)(AB)(AC)證明:(AB)
3、C(AB)CC(ACC)(BCC)(AC)(BC)(AB)(AC)(ACB)(ACC)(AA)(CBCC)AC(BC)A(BC)4、證明:()證明:設(),則,于是,、,從而,所以,所以,() 。86設,則、,即,于是,即(),所以 (),由以上兩步得() = 5、證明:()B(B)()B(B)證明:()B()CB(CB)(B)()B()CB=(CB)(B)876、設是一列集合,作=,=-()>1。證明是一列互不相交的集,而且=,=1,2,3,。證明:設,不妨設<,因為,-()=(C)=C(C)=(C)(C)=()= =,互不相交。 , = 。88另一方面,設,則存在最小的自然數,
4、使, -=, = 。7、設=(0,),=(0,),=1,2,求出集列的上限集和下限集。解:。 =(0,),=(0,), 。=()=(0,)=(0,)=(0,)=(0,)=()=89=(0,)= = 。8、證明:=證明:,有, , = 。9、作出一個(1,1)和(,)的11對應,并寫出這一對應的解析表達式。解:y=tg,(1,1),y(,)。10、證明將球面去掉一點以后,余下的點所成的集合和整個平面上的點所成的集合是對等的。90證明:用P表示在球面上挖去的那一點,P與球心O的連線交球面于M,過M作球面的切平面,過P點和球面上任一點引直線,該直線與平面交于,將與對應,P與M對應,則球面上的點與整個
5、平面上的點用上述方法構成一個一一對應,由對等的定義,挖去一點的球面與平面是對等的。11、證明由直線上互不相交的開區(qū)間作為集A的元素,則A至多為可數集。證明:由有理數的稠密性知,在每一區(qū)間中至少含有一個有理數,在每一開區(qū)間中任取一有理數與該區(qū)間對應,由于開區(qū)間互不相交,故不同開區(qū)間對應不同的有理數,但有理數全體為一可數集,其子集至多是可數集,所以直線上互不相交的開區(qū)間作成的集至多是可數集。12、證明所有系數為有理數的多項式組成一可數集。證明:以表示這個集合,表示次有理系數多項式的全體,則= 。91由+1個獨立記號,即次多項式的1個有理系數所決定,其中首項系數為異于0的有理數,其余系數可取一切有理數,因此,每個記號獨立地跑遍一個可數集,所以,是可數集,也是可數集。13、設A是平面上以有理點(坐標為有理數的點)為中心,有理數為半徑的圓的全體,則A是可數集。證明:A中任一元素由三個獨立記號(a,b,r)所決定,其中(a,b)是圓心的坐標,r是圓的半徑,a、b各自跑遍全體有理數,r跑遍大于0的有理數,而且它們都是可數集,故A是可數集。14、證明單調增加函數的不連續(xù)點最多只有可數多個。證明:設是(,)上的單調增加函數,其不連續(xù)點的全體記為E,設E,由數學分析知,
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