21屆希望杯初一2試試題詳細解答

1、第二十一屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初一 第2試一、選擇題（每小題4分，共40分）以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題后面的圓括號內(nèi)1若a-b的相反數(shù)是2b-a，則b=( )(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.2某工廠3月份的產(chǎn)值比2月份增加10%，4月份的產(chǎn)值比3月份減少10%，則( )(A)4月份的產(chǎn)值與2月份相等 (B)4月份的產(chǎn)值比2月份增加(C)4月份的產(chǎn)值比2月份減少 (D)4月份的產(chǎn)值比2月份減少3如圖1，ABC中，A、B、C的外角分別記為，若：:，=3:4:5，則A：B：C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:

2、4:5. (D)5:4:3.4若m=，則m是( )(A)奇數(shù)，且是完全平方數(shù) (B)偶數(shù)，且是完全平方數(shù)(C)奇數(shù)，但不是完全平方數(shù) (D)偶數(shù)，但不是完全平方數(shù)5有兩個兩位數(shù)的質數(shù)，它們的差等于6，且它們平方的個位數(shù)字相同，這樣的兩位質數(shù)的組數(shù)是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area ofthombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C)

3、 43cm2. (D) 53cm2.（英漢詞典：square正方形；thombus菱形）7要將40kg濃度為16%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，則需蒸發(fā)掉水( )(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.8如圖3，等腰直角ABC的腰長為2cm.將ABC繞C點逆時針旋轉90。則線段AB掃過的面積是( ) 9若一個兩位數(shù)恰等于它的各位數(shù)字之和的4倍，則這個兩位數(shù)稱為“巧數(shù)”則不是“巧數(shù)”的兩位數(shù)的個數(shù)是( ) (A)82. (B)84. (C)86. (D)88. 10.如果在一個正方體的每個面內(nèi)寫一個正整數(shù)，然后，在每個頂點處再寫一個數(shù)，該數(shù)等于過這個頂點的三個面內(nèi)的

4、數(shù)的乘積，那么當該正方體各個頂點處的數(shù)之和是290時，各個面內(nèi)的數(shù)之和等于( ) (A)34. (B)35. (C)36. (D)37.二、填空題（每小題4分，共40分）11.甲、乙兩車從A向B行駛，甲比乙晚出發(fā)6小時，甲、乙的速度比是4：3.甲出發(fā)6小時后，速度提高1倍，甲、乙兩車同時到達B則甲從A到B共走了 小時12.若有理數(shù)x,y，歲滿足方程，則 13.圖4是一個六角星，其中 14.加工某種工件，須順次進行三道工序，工作量的比依次是2：1：4甲完成1個工件與第二個工件的前兩道工序，所用時間為t已知甲和乙的加工效率比是6:7，則乙完成一個工件，需要的時間是f的_倍15. -個直四棱柱的三視

5、圖及有關數(shù)據(jù)如圖5所示，它的俯視圖是菱形，則這個直四棱柱的側面積為 16.有這樣一種衡量體重是否正常的算法：一個男生的標準體重（單位：千克）等于其身高（單位：厘米）減去110.當實稱體重在標準體重的90%和110%之間（舍邊界）時，就認為該男生的體重為正常體重，已知男生甲的身高是161厘米，實稱體重是55千克根據(jù)上述算法判定，甲的體重 正常體重（填“是”或“不是”）17. Ifa2-a+1and a2+a-3 are opposite numbers to each other,and themverse number of a is less than the opposite number

6、 of a,then= （英漢詞典：inverse number倒數(shù)；opposite相反的）18.從長度為1的線段開始，第一次操作將其三等分，并去掉中間的一段；第二次操作將余下的線段各三等分，并去掉所分線段中間的一段此后每次操作都按這個規(guī)則進行圖6是最初幾次操作的示意圖，當完成第六次操作時，余下的所有線段的長度之和為 19.已知m，n都是正整數(shù)，且是整數(shù)若的最大值是a，最小值是b，則a+b= 20.從最小的質數(shù)算起，若連續(xù)n（n是大于1的自然數(shù)）個質數(shù)的和是完全平方數(shù)，則當n最小時， 三、解答題 每題都要寫出推算過程21（本題滿分10分）設a=，證明：a是37的倍數(shù)22（本題滿分15分） (

7、1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d直線a，b和c相交于一點直線b，c和d也相交于一點，試確定這4條直線共有多少個交點？并說明你的理由 (2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行，說明：以這5條直線的交點為端點的線段有多少條？ 23.（本題滿分15分） 軌道AB長16.8米，從起點站A到終點站B，每2.4米設一站點甲、乙兩個機器人同時從A站點出發(fā)，到達B站點后，再返回，在A和B兩站點之間反復運動甲、乙運動的速度都是0.8米秒，甲每到達一個站點就休息1秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從A站點出發(fā)后2分鐘結束運動，問：它們出發(fā)后，曾幾次同時到達同一站點（包括起點站和終點站）?答案詳解：1、B a-b

8、=-2b-a=a-2b，b=02、D 設2月份的產(chǎn)值為1，3月份的產(chǎn)值就是1.1，4月份的產(chǎn)值又比3月份減少10%，那么4月份的產(chǎn)值是 1.1×1-10%=0.99，所以4月份的產(chǎn)值比2月份減少0.01，即11003、A 設+=3k+4k+5k=12k，多邊形外角和360度法一：，求出A=90，B=60，C=30，A：B：C=3：2：1法二：180=6k，互為鄰補角之和為180，A：B：C=（6k-3k）：（6k-4k）：（6k-5k）=3：2：14、B m=2009×2010+2010×20112=2010×2009+20112=2010×2

9、×20102=20102EM5、D 兩位數(shù)的質數(shù)有11，13，17，19，23，差是6的個位搭配有（1，7），（3，9），（7，13）紅色的這組比較容易忽略，平方的個位數(shù)相同的質數(shù)個位搭配有（1，9），（3，7），綜合兩個條件，符合的質數(shù)組有（17，23），（37，43），（47，53），（67，73）四組6、C 圖中陰影部分為不規(guī)則圖形，常用割補法或作差法，此處使用作差法比較簡單。正方形ABCD面積已知169 cm2，可得BC=13 cm，菱形BCPQ面積已知156 cm2，所以高QE=12 cm，可求得梯形BCMQ面積為126 cm2，作差得陰影面積為43 cm2A1B17、A

10、法一：原鹽水含鹽40kg×16%=6.4kg，水蒸發(fā)后鹽水總質量為6.4kg/20%=32kg 法二：設蒸發(fā)水Xkg，40×16%=（40-X）×20%，解得X=88、B 圖像轉動了90度，線段AB掃過的是個圓環(huán)，如果這是個完整的圓環(huán)，圓環(huán)的面積是以BC為半徑的圓減去以AC為半徑的圓，面積是 222-22=4cm2, 將ABC繞C點逆時針旋轉90度,AB并沒有掃過整個圓環(huán)，但是如果旋轉360度就是完整的圓環(huán)，根據(jù)周期性，可得此時AB掃過的面積是1/4圓環(huán)的面積，就是cm29、C 設ab，有10a+b=4a+4b,得2a=b，巧數(shù)有12，24，36，48，其中10到

11、99共有90個 兩位數(shù)，不是巧數(shù)的兩位數(shù)有90-4=86（個）abcdef10、C 如圖分別設六個面上的正整數(shù)為a,b,c,d,e,f。依題意有abe+abf+bcf+cdf+cde+ade+adf+bce=ab(e+f)+cd(e+f)+bc(e+f)+ad(e+f)=(ab+cd+bc+ad)(e+f)=a(b+d)+c(b+d)(e+f)=(a+c)(b+d)(e+f)=290因為290=2×5×29=1×10×29又因為a,b,c,d,e,f為正整數(shù)，即a+c>1,所以a+b+c+d+e+f=2+5+29=3611、8.4 法一：設甲的速度

12、為4，乙的速度為3，甲經(jīng)過t追上乙 (12+t)×3=6×4+t×8 解得t=2.4 法二：設乙出發(fā)12小時后，甲走了4k，乙走了6k，甲比乙少走2k；甲加速后12小時走16k，乙走6k，甲每追上1k需要12/10k時間，所以甲追上乙需要（12/10k）×2k=2.4小時。 甲后來追上乙的時間，加上原來走的6小時，共8.4小時。P12、8 x+y-2=0x+2y=0x=4y=-2x2+y2=42+-23=813、120° 如圖，P為AD與BF的交點。 因為 AOE=B+BPD, BPD=D+F 所以AOE=B+D+F 同理AOE=A+C+E 所

13、以，A+B+C+D+E+F=2×AOE=120°14、0.6 甲每個工作量需要0.1t，那么乙每個工作量需要0.1t×67，完成一個工件，就是7個工作量，需時0.6tA15、80 ODBC根據(jù)圖示，AC=3cm，BD=4cm，AC與BD相交于O點，勾股定理可得，AO2+BO2=AB2，AB=2.5cm，側面積S=8×AB×4=80cm216、是 90%×55<（161-110）/55<110%×5517、0 a2-a+1=-(a2+a-3)1a<-aa=-1-12009+-12010=018、64729 原

14、長度為1，第一次操作后剩原來的23，第二次操作后是第一次操作后的23，即是原長度的232，完成第六次操作后是原來的236=6472919、1.8 設4m6m-3n=t-2,-1,1,2注意，這里t不能取0， 原式：4m=6mt-3nt (6t-4)m=3nt mn=3t6t-4=12-43t-2,-1,1,2 當mn取最大值時，要求2-43t取最小的正值，t=1，a=32 當mn取最小值時，要求2-43t取最大的正值，t=-1，b=31020、89 將質數(shù)從2開始加，可得2+3+5+7+11+13+17+19+23=100=102所以n=9,|1-n-n2|=8921、解： 而且即是37的倍數(shù)

15、22、解：（1）直線，和共有1個交點。理由如下：設直線，的交點為P，直線，的交點為Q。這意味著點P和點Q都是直線和的交點，由于兩條不同的直線至多有一個交點，因此點P和點Q必是同一個點，即4條直線，相交于同一個點，故4條直線，只有1個交點（不妨記為點O）。（2）作的第5條直線與（1）中的直線平行直線和直線沒有公共點直線不過點O，而直線，與直線相交于點O，直線，與直線都相交（與兩條平行線中的 一條相交的直線必與另一條相交）設直線與直線，分別相交與點A，B和C，這時圖中有A，B，C，O四個不同的點，可以畫出OA，OB，OC，AB，AC，BC共6條線段。23、解：甲在相鄰兩站之間運動需要（秒），每到達一個站點休息