單元復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)平面

1、單元:複數(shù)與複數(shù)平面一.i的定義 為虛數(shù)單位. 所有負(fù)數(shù)的正平方根都可用i表示之 如：, , , . 循環(huán)性質(zhì):二.複數(shù)的由來(lái):凡是可以寫(xiě)成i的實(shí)數(shù)倍bi ()者,稱(chēng)之為純虛數(shù)任何數(shù)均可以a+bi表示,其係由實(shí)數(shù)a和純虛數(shù)bi相加,如a+bi的數(shù),稱(chēng)之為複數(shù),其中a稱(chēng)為a+bi的實(shí)部,b稱(chēng)為a+bi的虛部共軛複數(shù)複數(shù)a+bi中,稱(chēng)之為複數(shù),將虛部加負(fù)號(hào),得a-bi稱(chēng)此為共軛複數(shù),記為根式運(yùn)算性質(zhì):三.複數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)則1.2.3.4.設(shè)則例1.化簡(jiǎn)下列各複數(shù):(1)(2) (3)1+i+i2+×××××+ i99解: 答:(1); (2) (

2、3)0例2. 設(shè),若,求a, b.解:答: 例3.設(shè),若 有實(shí)根,求a解:答:0或-1例4.設(shè), 若,求x.解: 答: 例5.設(shè)a0b0列何者正確(A)× (B)a (C) (D)a2 (E)a3解:答:(D)例6.設(shè)w則下列何者錯(cuò)誤(A)(B) (C)1(D)w2w10(E)解: 答:(B)例7.設(shè)f (x) =，求f ()之值解: 答:i例8.設(shè) (87推)解: 答:1例9.下列何者不正確(A) 為ax2bxc0之二根abc皆為實(shí)數(shù),若則(B)為ax2bxc0之二根且abc皆為複數(shù)若23i則23i(C)若abc皆為複數(shù)且abc0則abc0 (D)若abab均為實(shí)數(shù)則ab均為實(shí)數(shù)(

3、E)設(shè)abc皆為實(shí)數(shù)則有實(shí)根解:答:(A)(B)(C)(D)練習(xí)1.將下列複數(shù)化成a + b i的形式：(1) (2)(1+i)(2-i) (3)-5 (4) 答:練習(xí)2.(1) 的實(shí)部為 ; (2) 的共軛複數(shù)為 .答: (1) -1; (2) 練習(xí)3.將下列複數(shù)化成a + b i的形式：(1) 1+ 2i + 3i2+×××××+ 100i99 (2) 答:(1)-50-50i (2) 練習(xí)4.將下列複數(shù)化成a + b i的形式： (1) (2) (3) (4) 答:練習(xí)5.設(shè)abÎR若72i則數(shù)對(duì)(a,b)? 答:(3,5)練習(xí)

4、6.設(shè)abÎR若則數(shù)對(duì)(a,b)=? 答:(4,2)練習(xí)7.一複數(shù)z之實(shí)部為a，虛部為b，則之虛部為(A) (B) (C) (D) (E) 答：(A)練習(xí)8.選出正確的 (A)若a0b0則 (B)若a0b0則 (C)若ab0則 (D)若ab0則 (E)abÎR若ab則i答:(A)(D)(E)練習(xí)9.下列何者不正確(A)()2 (B) (C) (D) (E) 答:(A)(C)(D)練習(xí)10.下列何者為真(A)()2 (B)若ab均為實(shí)數(shù)且ba則 (C) (D)若ab0則´(E)若ab0則 答:(B)(E) 練習(xí)11.下列何者錯(cuò)誤？(A) (B) (C) (D) (E

5、) 答：(C)練習(xí)12.設(shè)x,yÎR，且x+y+i=10+xyi，求 答: 8練習(xí)13.設(shè)，求之值 答:9練習(xí)14.設(shè)(2-i)為之一根，則a= _，又另一根為_(kāi)。答：練習(xí)14.設(shè)R , 則a =_ , b = _。 答：52, 50四.共軛複數(shù)複數(shù)z=a+bi中,稱(chēng)之為複數(shù),將虛部加負(fù)號(hào),得a-bi稱(chēng)此為共軛複數(shù),記為 共軛複數(shù)的運(yùn)算性質(zhì): 例1.試求共軛複數(shù)解:答： 例2.設(shè)為複數(shù),a為實(shí)數(shù),下列何者為 的共軛複數(shù)解:答:(D)練習(xí)1.設(shè)求之共軛複數(shù) 答：練習(xí)2.設(shè)為複數(shù),a,b均為實(shí)數(shù),下列何者為 的共軛複數(shù) 答:(D)五.複數(shù)平面：1.定義：以水平線(xiàn)為x軸(實(shí)軸)，鉛直線(xiàn)為y

6、軸(虛軸)，P (a+bi )«點(diǎn)(a,b)2.複數(shù)的絕對(duì)值：(1) 定義：設(shè) z = a + b i (a,bÎR)，規(guī)定z的絕對(duì)值為，記為ôzô= (2)幾何意義：(2-1)ôzô：複數(shù)z到原點(diǎn)的距離(2-2)ôz1- z2ô：複數(shù)z1與z2之間的距離 (3)性質(zhì)： (3-1)ôzô=ôô³ 0 (3-2) ôzô2= z × (3-3)ôz1×z2ô = ôz1ô×

7、44;z 2ô (3-4) ôô= (3-5)ôz nô=ôzôn例1.設(shè)兩複數(shù),則解: 答:(1)5 (2)1例2.已知複數(shù)平面上有三點(diǎn)P.Q.R分別代表求(1)之周長(zhǎng)? (2)面積?解: 答: 例3.絕對(duì)值的意義-(距離)設(shè),求之值解:答: 10例4.設(shè)z為複數(shù), 求的最小值 解:答: 2例5.設(shè)z為複數(shù)平面上之一點(diǎn),且符合之條件 則求所有的點(diǎn)符合以上z的條件者,在複數(shù)平面所呈現(xiàn)之圖形為何?解:答:3x-2y+5=0(x:實(shí)數(shù)項(xiàng),y:虛數(shù)項(xiàng))例6.複數(shù)平面上設(shè)OABC為正方形,且O(0),A(2+3i),又B在第二象限,

8、則B與C所對(duì)應(yīng)之複數(shù)解: 答:B(-1+5i),C(-3+2i)例7.設(shè)a為實(shí)數(shù),則a=? (86推)解: 答: 例8. 解: 答: 1 練習(xí)1.兩複數(shù),則答:練習(xí)2.化簡(jiǎn) =? 答: 練習(xí)3.已知複數(shù)平面上ABCD為一平行四邊形,其中A(0+i),B(1+i),C(a+bi),D(3-2i), 求a+b=? 答:-1練習(xí)4.試說(shuō)明以下各式之z於複數(shù)平面上的圖形,並敘述其基本的性質(zhì) 答:(1)直線(xiàn)(某兩點(diǎn)之中垂線(xiàn)),(2)圓(圓心.半徑),(3)一線(xiàn)段(兩端點(diǎn)) (4)一射線(xiàn)(一端點(diǎn)),(5)不存在(理由?),(6)雙曲線(xiàn)(焦點(diǎn).軸) (7)橢圓(焦點(diǎn).軸)練習(xí)5.複數(shù)平面上設(shè)O(0),A(4

9、+2i),B(4-2i),求三角形OAB的面積? 答: 8練習(xí)6.複數(shù)平面上設(shè)A(3+4i),B(x+0i),x為實(shí)數(shù),若,求x之值? 答: 6或0練習(xí)7.設(shè)下列何者正確(A) 若kÎR則 (B)若則2 (C)若則(D)若則(E) 答:(A)(E)練習(xí)8.下列何者可比較大小(A)7i與5i (B)32i與 (C)53i與2i (D)與 (E)13i與85i答:(B)(D)(E)練習(xí)9.設(shè)則 答: 練習(xí)10.設(shè)則_。 答：2五.一元二次方程式共軛複數(shù)的根設(shè)則 令則(1)兩根為相異實(shí)根(2)兩根為相同實(shí)根(3)兩根為共軛實(shí)根根所衍生的概念1.根與係數(shù)關(guān)係:兩根2.一元二次方程式,由根造此

10、方程式;兩根3.一元二次方程式兩根 4.技巧:例1. 試解方程式。解:答：例2. 若為之二根,求：解: 答:(1)-6(2)2(3)32(4)-180例3.若為之二虛根 且亦為此方程式之根,求：解: 答: -1例4. 若為之二根,求：解: 答: -1/9例5.設(shè)a為實(shí)數(shù),令為之兩根，若有最小值求a=?解: 答: 2例6.甲與乙兩人同解 甲看錯(cuò)a其餘沒(méi)看錯(cuò)解得2與-3,乙用公式解將D做錯(cuò)得-1與0.5,求正確的兩個(gè)根解: 答:1.5 與-2練習(xí)1.若為方程式之二根,求：(1);(2) 答:(1) -14; (2) -6.練習(xí)2.若為之二根,求： 答:(1)7 (2)18 (3)120練習(xí)3.若為之二根且為之根,求： 答: -2練習(xí)4.若為方程式之二根,求：(1);(2)