思維特訓(xùn)(十)　幾何動態(tài)問題中的相似

1、.思維特訓(xùn)十幾何動態(tài)問題中的相似1我們以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律的問題稱為動態(tài)幾何問題隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)的圖形的位置、數(shù)量關(guān)系的“變與“不變性的試題2點動型就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中產(chǎn)生的數(shù)量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進展研究3解決此類動點幾何問題常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法，也就是通過對兩個或幾個相類似數(shù)學(xué)研究對象的異同，進展觀察和比較，從一個容易探究的研究對象所具有的性質(zhì)入手，去猜測另一個或幾個類似圖形所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步

2、驟：1根據(jù)條件，先從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況；2結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動，運用所學(xué)知識常見的有三角形全等、三角形相似等得出相關(guān)結(jié)論；3類比猜測出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)1如圖10S1，AB90°，AB7，AD2，BC3，在邊AB上取點P，使得PAD與PBC相似，那么這樣的點P共有A1個 B2個C3個 D4個圖10S12如圖10S2，在ABC中，AB7，AC，BC8，線段BC所在直線以每秒2個單位長度的速度沿BA方向運動，并始終保持與原位置平行該直線與AB，AC分別交于點M，N，記x秒時，該直線在ABC內(nèi)的部分的長度為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式：_圖10S23：如圖

3、10S3，在ABCD中，AB3 cm，BC5 cm，ACAB.將ACD沿AC方向勻速平移得到PNM，速度為1 cm/s；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速挪動，速度為1 cm/s；當PNM停頓平移時，點Q也停頓挪動，如圖.設(shè)挪動時間為t s0t4，連接PQ，MQ，MC.解答以下問題：圖10S31當t為何值時，PQMN?2設(shè)QMC的面積為y cm2，求y與t之間的函數(shù)表達式3是否存在某一時刻t，使SQMCS四邊形ABQP14？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由4是否存在某一時刻t，使PQMQ？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由4如圖10S4，OF是MON的平分線，點A在射線

4、OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側(cè)，且PQOA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF，ON于點B，C，連接AB，PB.1如圖，當P，Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數(shù)量關(guān)系2如圖，當P，Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在1中的數(shù)量關(guān)系？假設(shè)存在，請寫出證明過程；假設(shè)不存在，請說明理由3如圖，MON60°，連接AP，設(shè)k，當P和Q兩點都在射線ON上挪動時，k是否存在最小值？假設(shè)存在，請直接寫出k的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由圖10S45如圖10S5，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與坐標原點O重合，且AD8，AB6.

5、如圖，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從點A出發(fā)也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點B向點C運動，當點P到達點C時，矩形ABCD和點P同時停頓運動，設(shè)點P的運動時間為t秒1當t5時，請直接寫出點D，P的坐標；2當點P在線段AB或線段BC上運動時，求出PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍；3當點P在線段AB或線段BC上運動時，過點P作PEx軸，垂足為E，當PEO與BCD相似時，求出相應(yīng)的t值圖10S562019·永州 點O是正方形ABCD對角線BD的中點1如圖10S6，假設(shè)E是OD的中點，F(xiàn)是AB上一點，且使得CEF9

6、0°，過點E作MEAD，交AB于點M，交CD于點N.求證：AEMFEM；F是AB的中點2如圖，假設(shè)E是OD上一點，F(xiàn)是AB上一點，且使，請判斷EFC的形狀，并說明理由3如圖，假設(shè)E是OD上的動點不與O，D重合，連接CE，過點E作EFCE，交AB于點F，當時，請猜測的值請直接寫出結(jié)論圖10S67如圖10S7，在直角坐標系xOy中，直線l：ykxb分別交x軸、y軸于點E，F(xiàn)，點B的坐標是2，2，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A，C，D是線段CO上的動點，以BD為對稱軸，作與BCD成軸對稱的BCD.1當CBD15°時，求點C的坐標2當圖中的直線l經(jīng)過點A，且k時如圖，求點D

7、由點C到點O的運動過程中，線段BC掃過的圖形與OAF重疊部分的面積3當圖中的直線l經(jīng)過點D，C時如圖，以DE為對稱軸，作與DOE成軸對稱的DOE，連接OC，OO，是否存在點D，使得DOE與COO相似？假設(shè)存在，懇求出k，b的值；假設(shè)不存在，請說明理由圖10S7詳解詳析1C解析 設(shè)APx，那么PBABAP7x，當PDACPB時，即，解得x1或x6；當PDAPCB時，即，解得x.那么這樣的點P共有3個應(yīng)選C.2yx83解：1如圖所示在ABC中，AB3 cm，BC5 cm，A90°，由勾股定理，得AC4 cm.假設(shè)PQMN，那么PQAB，.CQPAt cm，CP4tcm，QB5tcm，解得

8、t.經(jīng)檢驗，t是原方程的解且符合題意故當t的值為時，PQMN.2如圖所示，過點P作PDBC于點D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，PD4tcm.又CQt cm，y×4ttt2t0<t<43存在SQMCS四邊形ABQP14，SQMCt2t，S四邊形ABQPSABCSPCQSABCSQMC×3×4t2t6，14，即t24t40，解得t1t22，當t2時，SQMCS四邊形ABQP14.4存在如圖所示，過點M作MEBC交BC的延長線于點E，過點P作PDBC于點D，那么CPDCBA，.BA3 cm，CP4tcm，BC5 cm，CA4

9、 cm，PD4tcm，CD4tcm.PQMQ，PQDMQE90°.又PDQE90°，PQDDPQ90°，DPQMQE，PDQQEM，即PD·EMQE·DQ.EMPD4tcm，DQCDCQ4ttcm，QEDEDQ5ttcm，t2tt，即2t23t0，解得tt0舍去當t時，PQMQ.4.解：1ABPB.理由：如圖，連接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，AOBBOQAOBBQO.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.2存在證明：如圖，連接BQ.BC垂直平分OQ，BOBQ，BOQBQO.OF平分MON，BOQFON，AOFF

10、ONBQC，BQPAOB.又OAPQ，AOBPQB，ABPB.3如圖，連接BQ.易證ABOPBQ，OABBPQ，ABPB.OPBBPQ180°，OPBOAB180°，AOPABP180°.MON60°，ABP120°.ABPB，BAPBPA30°.BOBQ，BOQBQO30°，ABPOBQ，.AOB30°，當BAOM時，的值最小，最小值為0.5，k存在最小值，最小值為0.5.5解：1D4，3，P12，82當點P在邊AB上，即0t6時，BP6t，SBP·AD6t·84t24；當點P在邊BC上，即6

11、t14時，BPt6，SBP·ABt6·63t18，所以S3易求Dt，t，當點P在邊AB上時，點Pt8，t，假設(shè)，那么，解得t6；假設(shè)，那么，解得t20.0t6，t20不合題意，應(yīng)舍去當點P在邊BC上時，點P14t，t6，假設(shè)，那么，解得t6；假設(shè)，那么，解得t.6<t14，t不合題意，應(yīng)舍去綜上，當t6時，PEO與BCD相似6解：1證明：四邊形ABCD是正方形，ABD45°，BADABCBCDADC90°，AECE.MEAD，MEAB，AMEBMEBAD90°，ENCADC90°，BME是等腰直角三角形，四邊形BCNM是矩形，B

12、MEM，BMCN，EMCN.在RtAME和RtENC中，AECE，EMCN，RtAMERtENCHL，AEMECN.CEF90°，F(xiàn)EMCEN90°.ECNCEN90°，F(xiàn)EMECN，AEMFEM.在AME和FME中，AMEFME90°，AEMFEM，EAFEFA，AEFE.又MEAF，AMFM，AF2AM.E是OD的中點，O是BD的中點，.MEAD，F(xiàn)是AB的中點2EFC是等腰直角三角形理由如下：過點E作MEAD，交AB于點M，交CD于點N.同1得：AECE，RtAMERtENC，AEMECN.，O是DB的中點，.MEAD，.，AF2AM，即M是AF的

13、中點MEAB，AEFE，AEMFEM，F(xiàn)ECE.ECNCEN90°，F(xiàn)EMCEN90°，CEF90°，EFC是等腰直角三角形3當時，.7解：1BCDBCD，CBDCBD15°，CBCB2，CBC30°.如圖，過點C作CHBC于點H，那么CH1，HB，CH2，點C的坐標為2，12如圖，k，設(shè)直線AF的函數(shù)表達式為yxb.直線l過點A2，0，b，那么直線AF的函數(shù)表達式為yx ，OAF30°，BAF60°.在點D由點C到點O的運動過程中，BC掃過的圖形是以點B為圓心，BC為半徑的扇形把點C的坐標代入yx ，知點C在直線l上，BC掃過的圖形與OAF的重疊部分是弓形BCBCAB，ABC是等邊三角形，ABC60°，重疊部分的面積是×2×.3如圖，設(shè)OO與DE相交于點M，那么OMOM，OODE.假設(shè)DOE與COO相似，那么COO是直角三角形在點D由點C到點O的運動過程中，CO