無窮級(jí)數(shù)的斂散性及其應(yīng)用

1、無窮級(jí)數(shù)的斂散性及其應(yīng)用摘要：無窮級(jí)數(shù)貫穿于高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分。本文簡單討論了一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性的判別，并會(huì)應(yīng)用其解決問題。著重強(qiáng)調(diào)了無窮級(jí)數(shù)在求極限中以及在數(shù)值計(jì)算中的近似計(jì)算中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞： 級(jí)數(shù) 斂散 極限 判別 近似計(jì)算The Convergence And Divergence Of Infinite Series And Its ApplicationAbstract: Infinite series throughout the higher the various branches of mathematics, mathematical analy

2、sis is an important part in. This paper discusses a series of distinguishing the convergence and divergence, and will apply the solution to the problem. Emphasizes the infinite series in the limit as well as in the numerical calculation of approximate calculation.Keywords: Series ; Convergence and d

3、ivergence ; Limit; Distinguish ; Approximate calculation 1. 級(jí)數(shù)斂散性的定義 1.1定義： 如果數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于（),則稱此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。2. 級(jí)數(shù)斂散性的判定方法 在數(shù)學(xué)分析中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)到了幾種判別法。在本文我主要整理總結(jié)級(jí)數(shù)斂散性的判別法的思想。（1） 對(duì)于一個(gè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，首先應(yīng)判別此級(jí)數(shù)的類型，主要分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)。其中一般項(xiàng)級(jí)數(shù)中再判斷它是否是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。（2） 如果是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，先可以利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判定級(jí)數(shù)是否發(fā)散。 即判斷極限發(fā)散，則不確定級(jí)數(shù)是否收斂，需要再次判別。接著，根據(jù)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)的特性選

4、擇不同的判別方法：a:若一般項(xiàng)中含有階乘項(xiàng)和乘積形式，一般用比式判別法。b:若一般項(xiàng)中含有冪指數(shù)形式，一般用根式判別法。c:若一般項(xiàng)中含有不是整數(shù)，一般用比較判別法。此外還有比式判別法的極限形式，積分判別法，拉貝爾判別法等等。（3） 利用級(jí)數(shù)斂散性的定義判別（4） 特殊類型級(jí)數(shù)的判別方法a:如果一個(gè)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，可以用萊布尼茨判別法b:如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)不符合萊布尼茨判別法條件則可以運(yùn)用狄利克雷判別法和阿貝爾判別法等等。下面看幾個(gè)例子，觀察是如何判別級(jí)數(shù)斂散性的。例1 討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。分析：這道題如果用比式判別法，發(fā)現(xiàn)不能判別出級(jí)數(shù)是否收斂。因此想到用定義是否可以先求出部分和，在判斷其極限的

5、存在性。解：級(jí)數(shù)的第n個(gè)部分和= = 于是，因此，根據(jù)定義，此級(jí)數(shù)收斂。并能求出其和為。例2 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） （2） （3）0.003+解：（1）因?yàn)?< ()而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)收斂。分析：這是運(yùn)用了比較判別法，即把，與收斂性相同。 (2) 分析：由于級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)含有階乘，首先想到用比式判別法能否判別。 因?yàn)樗源思?jí)數(shù)發(fā)散。 （3）分析：這題是利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件的逆否命題：若，則級(jí)數(shù)發(fā)散。所以此級(jí)數(shù)發(fā)散。3. 無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用 無窮級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，無論是在實(shí)數(shù)領(lǐng)域還是復(fù)數(shù)領(lǐng)域，級(jí)數(shù)都占據(jù)著至關(guān)重要的地位。我們可以用無窮級(jí)數(shù)理論來求某些數(shù)列和函數(shù)的極限。另

6、外，對(duì)于一個(gè)很難計(jì)算的數(shù)值如無理數(shù)也可用無窮級(jí)數(shù)逐漸逼近得到較為準(zhǔn)確的值。譬如可以用無窮級(jí)數(shù)逼近的方法求出圓周率的近似值。下面舉例說明級(jí)數(shù)的某些應(yīng)用。3.1利用無窮級(jí)數(shù)求極限（1）利用級(jí)數(shù)斂散性的必要條件例3 求極限分析：我們發(fā)現(xiàn)直接來求解這題顯得比較繁瑣，如果把看作是級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，如果此級(jí)數(shù)收斂，則。解：根據(jù)比式判別法所以<1，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故由級(jí)數(shù)收斂的必要性，得例4 求當(dāng)>>0時(shí)，。分析;用其他方法求這題比較難求，未知。我們先考慮級(jí)數(shù)的收斂性。解 由比式判別法= =<1所以級(jí)數(shù)收斂，則=0（2）（2）通過冪級(jí)數(shù)展式求極限 根據(jù)所求函數(shù)性質(zhì)的不同，可以將函數(shù)的某一項(xiàng)

7、進(jìn)行展開，然后求得極限值。這種方法求極限，可以簡便計(jì)算量。對(duì)于不易求出極限的函數(shù)，可以使用這類方法。下面看一個(gè)例子。例5 （1） (2)分析：第一題我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)x趨于無窮時(shí)，是無窮小量，則可以用泰勒展式將展開求解。第二題可以利用泰勒展式將，展開。解 （1） = （2） =（3） 利用級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限在求極限的過程中，我們通常會(huì)遇到與n有關(guān)的和式極限。對(duì)于這類求極限是較難的。如果可以將這種和式化為一個(gè)已知和式的級(jí)數(shù)。這類問題就能得到簡便化。下面看幾個(gè)例子。例6 求極限分析：將其看作一個(gè)級(jí)數(shù)，由公式，把這題求極限看作是級(jí)數(shù)的求和問題。解 原式=，由級(jí)數(shù)的比式判別法，得=<1。設(shè) ， 利用錯(cuò)位

8、相減法得，兩式相減得， =，=1例7 求極限解 根據(jù)比式判別法，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)，得= =<1所以此級(jí)數(shù)收斂。設(shè)此時(shí)<1已知 ，令，則=3.2 無窮級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用（1）計(jì)算無理數(shù)的近似值例8 計(jì)算的近似值，并使其截?cái)嗾`差不超過。解 用泰勒展式將展開并取，得截?cái)嗾`差R7=<（2）計(jì)算定積分的近似值對(duì)于一些函數(shù)如，它們的原函數(shù)不能用已知的初等函數(shù)表示，計(jì)算它們的定積分很困難。通常解法是先將被積函數(shù)化成冪級(jí)數(shù)展式，再逐項(xiàng)積分，最后求出定積分的近似值。下面看例子例9 計(jì)算積分的近似值，誤差不超過。解 用泰勒展式展開， 由于第四項(xiàng)<所以總之，討論并研究一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的斂散性和應(yīng)用，無論對(duì)級(jí)數(shù)求和問題，一些極限的求解，還是在近似計(jì)算中，都在我們生活生產(chǎn)中占據(jù)著非常重要的作用。從無窮級(jí)數(shù)的框架看，它是一個(gè)嚴(yán)密的網(wǎng)狀體系，與函數(shù)思想、極限思想和化歸轉(zhuǎn)化思想密切聯(lián)系。參考文獻(xiàn)：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 數(shù)學(xué)分析下冊(cè) 第三版 高等教育出版社趙儀娜 無窮級(jí)數(shù)在求極限中的應(yīng)用 高等數(shù)學(xué)季刊 1998年第二期井石峰 高等數(shù)學(xué)（一） 華中科技大學(xué)出版社 2003,9趙